专题02不等式与不等式组 压轴专练讲义2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题02不等式与不等式组压轴专练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.含参数不等式取值范围 题型02.不等式组有解无解问题 题型03.不等式组整数解求参数问题 题型04.不等式组解集相同求参数问题 题型05.不等式与一次函数综合问题 题型06.不等式与方程组综合问题 题型07.新定义运算题 题型08.不等式组方案选择问题 题型09.不等式组行程问题 题型10.不等式组工程问题 题型11.不等式组经济问题 题型12.不等式组分配问题 题型01.含参数不等式取值范围问题 题型特征 1. 不等式/不等式组里面带有字母参数（常为m、k、a） 2. 题目给出解集、整数解个数、有解/无解、解集大小关系 3. 根据已知条件，反求字母参数的取值范围 解题思路 1. 先正常解不含参数的不等式，化简出基础解集 2. 把含参数的解集在数轴上表示出来 3. 根据有解、无解、整数解个数，确定参数临界点 4. 最后判断端点能不能取等号（能取带等号，不能取空心不含） 【典例】一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【跟踪专练3】已知时，代数式的值恒大于，则的取值范围为_____． 【跟踪专练4】已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围． 题型02.不等式组有解无解问题 题型特征 1. 题目是一元一次不等式组，式子里面带有字母参数 2. 题干直接给出条件：不等式组有解 / 无解 3. 已知有解或无解，反过来求字母的取值范围 4. 常考两个不等式联立，考查数轴分界、端点能不能取等号 解题思路 1. 分别解出两个不等式，化成最简解集形式 2. 在数轴上分别标出两个解集的范围 3. 有解：两个范围有重叠、相交的部分 4. 无解：两个范围完全分开、没有重叠交叉 5. 最后重点判断：分界点能不能取等号，确定最终范围 【典例】如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是_______． 【跟踪专练1】若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 【跟踪专练3】若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【跟踪专练4】已知关于的不等式组：． (1)若，求这个不等式组的解集． (2)若这个不等式组无解，求的取值范围． 题型03.不等式组整数解求参数问题 题型特征 1. 一元一次不等式组中含有字母参数 2. 题目明确给出有几个整数解、或指定具体是哪几个整数解 3. 已知整数解的数量，反求字母参数的取值范围 4. 必考易错点：端点能不能取等号 解题思路 1. 分别解两个不等式，化简得出基础解集 2. 在数轴上画出解集的区间范围 3. 根据题目规定的整数解个数，卡住左右临界点 4. 往左右微调边界，精准锁定参数范围 5. 最后单独检验端点，严格判断能不能取等号 【典例】若关于的不等式组只有3个整数解，则实数的取值范围是_________． 【跟踪专练1】已知关于的不等式组有且只有四个整数解，则满足条件的所有整数的值之和为_________． 【跟踪专练2】关于的不等式的整数解只有个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【跟踪专练4】已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 题型04.不等式组解集相同求参数问题. 题型特征 1. 给出两个一元一次不等式（组），式子中带有字母参数 2. 题干明确给出条件：两个不等式/不等式组解集完全相同 3. 利用解集一模一样的条件，反向求出字母参数的值 4. 常考两个化简后的解集完全对等，直接对应边界数值 解题思路 1. 分别把两个不等式，各自化简成最简解集形式 2. 根据解集完全相同，让两边的边界数值直接相等 3. 列式计算，直接求出字母参数的值 4. 最后代入原式检验，避免出现增根、范围不符的情况 【典例】不等式组：的解集为，则m的取值范围是______． 【跟踪专练1】定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【跟踪专练2】若不等式组的解集为，则的值是__________． 【跟踪专练3】若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 题型05.不等式与一次函数综合问题 题型特征 1. 题干同时给出一次函数图像、解析式和一元一次不等式 2. 给出两条一次函数相交、平行图像，结合图像位置关系出题 3. 求自变量x的取值范围、谁大谁小、图像上下位置对应的解集 4. 常结合交点横坐标，判断函数图像在上方/下方对应的不等式范围 5. 不用纯计算解方程，靠图像看图直接求不等式解集 解题思路 1. 先找准两个一次函数的交点横坐标 2. 分清图像谁在上方、谁在下方 3. 图像在上方，对应函数值更大；图像在下方，对应函数值更小 4. 以交点为分界点，左右分别判断x的取值范围 5. 看清题目不等号方向，准确写出最终解集 【典例】若直线和直线相交，且交点在第一象限内，则和的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【跟踪专练1】如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义运算：当时，则；当时，．例如．记，，当时，始终满足，则的取值范围是_____． 【跟踪专练3】已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练4】如图，直线经过点，，且与直线交于点． (1)关于的不等式的解集是______； (2)若点的横坐标为1，请完成下面的问题． ①关于的不等式的解集是______； ②求的值． 题型06.不等式与方程组综合问题 题型特征 1. 题干同时给出二元一次方程组和一元一次不等式（组） 2. 方程组中含有字母参数，求解后得到含参数的未知数表达式 3. 题目给出解满足：解为正数、负数、不大于/不小于、解的和差满足范围 4. 利用方程组解的取值条件，反求字母参数的取值范围 5. 常考两个解同时满足大小要求、正负要求，结合不等式组求解 解题思路 1. 先正常解二元一次方程组，把未知数用含参数的式子表示 2. 根据题目给出的正负、大小、范围条件，列出不等式（组） 3. 解不等式组，求出字母参数的取值范围 4. 严格核对不等号方向，精准确定端点能否取等号 【典例】已知满足，则的取值范围为______． 【跟踪专练1】已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 【跟踪专练3】若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组，求的取值范围． 【跟踪专练4】综合与探究 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． (1)a＝ ，b＝ ． (2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． (3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． (4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 题型07.新定义运算题 题型特征 1. 题目会自定义一个陌生运算符号，不是课本常规加减乘除 2. 新运算式子里面含有未知数、字母参数 3. 结合不等式、不等式组，列出新运算的不等关系 4. 根据新定义运算的规则，求解解集或者反求参数范围 5. 完全贴合课本不等式考点，只是套用陌生运算外壳 解题思路 1. 严格照着题目给的新定义规则，一步一步代入替换，不自己乱改公式 2. 把陌生的新运算，转化成普通的一元一次不等式/不等式组 3. 按常规解法，正常化简、移项、合并同类项求解 4. 若是含参数题型，再根据条件求参数取值范围，判断端点等号 【典例】我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 【跟踪专练1】定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式的“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 【跟踪专练2】对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③若，则x的取值范围为．其中正确结论_____________（只填写序号）． 【跟踪专练3】定义一种新运算， ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； 以上说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练4】定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 题型08.不等式组方案选择问题 解题思路 1. 先找准题目里两种及以上分配、采购、生产、调配的物品/项目，设唯一核心未知数 2. 紧扣实际限制条件：总数量、总钱数、总人数、原料总量、承载上限，找出双向不等约束 3. 不用硬套路程、工程公式，只抓总量不超、最低满足、不能不足的实际限制列不等式组 4. 求解范围后，结合生活实际，只取正整数解（方案类必须是整数，不能是小数） 5. 每个合规整数对应一套完整可行方案，逐一罗列 6. 求最优最省钱/最大利润：代入计算，对比数值选出最优方案 【典例】某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． (1)沙包和篮球的单价各是多少元？ (2)若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【跟踪专练1】为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【跟踪专练2】某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 题型09.不等式组行程问题 解题思路 1. 牢记行程核心公式：路程=速度×时间，找准三个基础量 2. 根据提前/迟到、不超过/至少的题意，找时间、路程的不等关系 3. 设速度或时间为未知数，套行程公式列出不等式组 4. 正常求解不等式范围 5. 结合实际：速度、时间为正数，舍去不符合实际的数值 【典例】已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【跟踪专练1】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【跟踪专练2】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 题型10.不等式组工程问题 解题思路 1. 牢记工程核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，常规把总工程量看作单位1 2. 梳理清楚单独做、合作做、分段施工的各部分工作量 3. 根据工期限制、人数限制、完工要求找准不等关系 4. 设效率、施工人数或时间为未知数，列出不等式组 5. 求解范围后，结合实际情况取正整数、正数合规数值 【典例】沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【跟踪专练1】某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【跟踪专练2】2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 题型11.不等式组经济问题 解题思路 1. 熟记经济核心公式：利润=售价-成本、总利润=单件利润×销售数量 2. 分清进价、定价、售价、销量、总利润各个量，理清增减变化 3. 根据盈利、亏损、成本限额、利润最低要求，找准不等关系 4. 设进货数量或商品定价为未知数，代入利润公式列不等式组 5. 求解范围后，结合实际商品数量取正整数，筛选合理数值 【典例】某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【跟踪专练1】年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 【跟踪专练2】A超市要用不超过元的资金采购进货价每千克4元的番茄和每千克8元的油豆角共计千克（重量取整数），且油豆角的重量不少于番茄重量的3倍．该超市计划将所进蔬菜加价进行销售． (1)求A超市有多少种进货方案； (2)求获利最多的方案及最多获利多少元； 题型12.不等式组分配问题 解题思路 1. 先设分配的人数、组数为未知数 2. 根据分完有剩余、分则不够分两种分配情况 3. 分别列出大于、小于的不等关系，组合成不等式组 4. 正常求解未知数的取值范围 5. 结合分配实际意义，只取范围内正整数，求出人数和物品总数 【典例】（1）解方程：； （2）把一些书分给同学，若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本．则共有多少名同学？ 【跟踪专练1】某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【跟踪专练2】我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02不等式与不等式组压轴专练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.含参数不等式取值范围 题型02.不等式组有解无解问题 题型03.不等式组整数解求参数问题 题型04.不等式组解集相同求参数问题 题型05.不等式与一次函数综合问题 题型06.不等式与方程组综合问题 题型07.新定义运算题 题型08.不等式组方案选择问题 题型09.不等式组行程问题 题型10.不等式组工程问题 题型11.不等式组经济问题 题型12.不等式组分配问题 题型01.含参数不等式取值范围问题 题型特征 1. 不等式/不等式组里面带有字母参数（常为m、k、a） 2. 题目给出解集、整数解个数、有解/无解、解集大小关系 3. 根据已知条件，反求字母参数的取值范围 解题思路 1. 先正常解不含参数的不等式，化简出基础解集 2. 把含参数的解集在数轴上表示出来 3. 根据有解、无解、整数解个数，确定参数临界点 4. 最后判断端点能不能取等号（能取带等号，不能取空心不含） 【典例】一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确非负整数的定义，再根据不等式有且只有两个非负整数，确定符合条件的非负整数，进而推导的取值范围。 【详解】解：∵非负整数为 ，不等式的解集有且只有两个非负整数， ∴符合条件的两个非负整数只能是和， ∵解集需要包含和，且不能包含下一个非负整数， ∴可得． 【跟踪专练1】已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解方程得到x关于a的表达式，再根据根的取值范围列出不等式，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解： 若时，方程化为，无解，故； 当时， ∵ 方程的根在和之间 ∴ ∴， ∵为正数， ∴ ∴ ． 【跟踪专练2】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解，得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 【跟踪专练3】已知时，代数式的值恒大于，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．将代数式视为关于的一次函数 ，根据一次函数的单调性，结合的取值范围，分情况讨论 的符号，求出自变量的取值范围． 【详解】解：代数式可化为． 当，即 时，随增大而增大，需，即，解得，所以． 当，即 时，随增大而减小，需，即，解得，所以． 当，即 时，，恒成立． 综上所述，的取值范围为 ． 故答案为：． 【跟踪专练4】已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先解方程得到，再根据方程的解为非负数得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 方程的根是非负数， 解得． 题型02.不等式组有解无解问题 题型特征 1. 题目是一元一次不等式组，式子里面带有字母参数 2. 题干直接给出条件：不等式组有解 / 无解 3. 已知有解或无解，反过来求字母的取值范围 4. 常考两个不等式联立，考查数轴分界、端点能不能取等号 解题思路 1. 分别解出两个不等式，化成最简解集形式 2. 在数轴上分别标出两个解集的范围 3. 有解：两个范围有重叠、相交的部分 4. 无解：两个范围完全分开、没有重叠交叉 5. 最后重点判断：分界点能不能取等号，确定最终范围 【典例】如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先化简不等式组，然后再根据不等式组无解确定m的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式组可化为， ∵该不等式组无解， ∴． 【跟踪专练1】若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 【跟踪专练2】已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组有解列出关于的不等式式子求解即可． 【详解】解：由解得：， 由解得：， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴． 【跟踪专练3】若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围，再解关于的一元一次方程，根据方程有非负整数解找出符合条件的整数，最后计算所有符合条件的整数的和． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， 化简方程得， ∵， ∴， ∴方程的解为， ∵方程有非负整数解，且不满足方程， ∴为正整数，即为负整数，且是的因数， ∵， ∴， ∴的可能取值为， ∴对应整数为． ∴符合条件的所有整数的和为． 【跟踪专练4】已知关于的不等式组：． (1)若，求这个不等式组的解集． (2)若这个不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，解不等式组即可得到答案； （2）先解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组无解求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集是； （2）解：， 解不等式①得； 解不等式②得； 该不等式组无解， ∴， 解得， 的取值范围是． 题型03.不等式组整数解求参数问题 题型特征 1. 一元一次不等式组中含有字母参数 2. 题目明确给出有几个整数解、或指定具体是哪几个整数解 3. 已知整数解的数量，反求字母参数的取值范围 4. 必考易错点：端点能不能取等号 解题思路 1. 分别解两个不等式，化简得出基础解集 2. 在数轴上画出解集的区间范围 3. 根据题目规定的整数解个数，卡住左右临界点 4. 往左右微调边界，精准锁定参数范围 5. 最后单独检验端点，严格判断能不能取等号 【典例】若关于的不等式组只有3个整数解，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵关于的不等式组只有3个整数解， ∴， 解得． 【跟踪专练1】已知关于的不等式组有且只有四个整数解，则满足条件的所有整数的值之和为_________． 【答案】 【分析】先解不等式组，然后根据不等式组有且只有四个整数解，确定的值，即可解答． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ， 不等式组的解集为， 关于的不等式组有且只有四个整数解， ，解得， 所有满足条件的整数的值为：，，，， 满足条件的所有整数的值之和为． 【跟踪专练2】关于的不等式的整数解只有个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再得到不等式组的公共解集，结合整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得，， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解只有个，且， 这个整数解为， ． 【跟踪专练3】定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 【跟踪专练4】已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】a为19或20或21 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为19或20或21． 题型04.不等式组解集相同求参数问题. 题型特征 1. 给出两个一元一次不等式（组），式子中带有字母参数 2. 题干明确给出条件：两个不等式/不等式组解集完全相同 3. 利用解集一模一样的条件，反向求出字母参数的值 4. 常考两个化简后的解集完全对等，直接对应边界数值 解题思路 1. 分别把两个不等式，各自化简成最简解集形式 2. 根据解集完全相同，让两边的边界数值直接相等 3. 列式计算，直接求出字母参数的值 4. 最后代入原式检验，避免出现增根、范围不符的情况 【典例】不等式组：的解集为，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式，再根据已知解集，结合一元一次不等式组的解集法则，即可求出参数的取值范围 【详解】解： 解不等式①，去括号得， 移项合并同类项得，即， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 根据“同大取大”的解集法则，得． 【跟踪专练1】定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，再分别解两个一元一次不等式，最后根据已知解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法确定a的取值范围． 【详解】解：根据新定义，关于x的不等式组可化为： ， 解不等式①可得：， 解不等式②移项可得：， 因为该不等式组的解集为， 根据同大取大的解集确定法则，可得， 解得：． 【跟踪专练2】若不等式组的解集为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据已知的不等式组解集，建立关于，的一元一次方程，求出，的值后代入计算即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②：得 因此不等式组的解集为 不等式组的解集为 ， 解得， ． 【跟踪专练3】若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以时，不等号的方向改变，可知，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：． 故选：B． 【跟踪专练4】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)整数的值为 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，可得，结合，可列出关于m的不等式，求解即可； （2）根据不等式的解集为得到，再结合（1）可求出m的取值范围，找出整数m即可解答． 【详解】（1）解： ，得， ∴． ， ， ∴． （2）解：不等式可变形为． ∵的解集为， ， ， 由（1）有， ∴ ∴整数的值为． 题型05.不等式与一次函数综合问题 题型特征 1. 题干同时给出一次函数图像、解析式和一元一次不等式 2. 给出两条一次函数相交、平行图像，结合图像位置关系出题 3. 求自变量x的取值范围、谁大谁小、图像上下位置对应的解集 4. 常结合交点横坐标，判断函数图像在上方/下方对应的不等式范围 5. 不用纯计算解方程，靠图像看图直接求不等式解集 解题思路 1. 先找准两个一次函数的交点横坐标 2. 分清图像谁在上方、谁在下方 3. 图像在上方，对应函数值更大；图像在下方，对应函数值更小 4. 以交点为分界点，左右分别判断x的取值范围 5. 看清题目不等号方向，准确写出最终解集 【典例】若直线和直线相交，且交点在第一象限内，则和的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】联立两条直线的方程求出交点横坐标，再根据第一象限内点的横坐标为正，推导得到和的大小关系. 【详解】解：联立直线方程得，则 = ， 移项得， ∵两直线相交， ∴， ∴， ∵交点在第一象限，第一象限内点的横坐标大于，所以， 即， ∴， ∴. 【跟踪专练1】如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象在交点右侧时的图象在的上方即可得出答案； 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得， ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 【跟踪专练2】定义运算：当时，则；当时，．例如．记，，当时，始终满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意可分为当时，当时，当时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴令，解得；令，解得； 当时，则， ∴当时，有且， 因此当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵当时，始终满足， ∴，解得，故成立； 当时，同理可得， 由得，成立； 故当时，对于所有，始终满足； 当时，，不满足； 当时，当，有，不满足条件； 综上所述：的取值范围为； 故答案为：． 【跟踪专练3】已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求出，，，得到，得到为直角三角形；求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：①∵直线：与直线：都经过， ∴方程组的解为， 故①正确，符合题意； ②把，代入直线：，可得， 解得， ∴直线：， 把代入直线：，可得， 中，令，则， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， 故②正确，符合题意； ③在直线：中，令，则， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④点A关于y轴对称的点为， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则， ∴当的值最小时，点P的坐标为， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，解答本题的关键要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【跟踪专练4】如图，直线经过点，，且与直线交于点． (1)关于的不等式的解集是______； (2)若点的横坐标为1，请完成下面的问题． ①关于的不等式的解集是______； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据一次函数与不等式的关系来求解． （2）①根据两个一次函数图象的位置关系来确定不等式的解集． ②首先需要求出直线的解析式，然后求出点的坐标，最后将点的坐标代入中求解． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象经过点，且从图象可知， 当时，函数图象在轴下方， 所以不等式的解集是． 故答案为：． （2）解：①已知点的横坐标是，即两函数图象交点的横坐标为， 从图象可知，当时，的图象在的图象下方包含交点， 所以不等式的解集是． 故答案为：． ②已知直线经过点，， 将这两点代入直线方程可得方程组．解得， 所以直线的解析式为． 因为点在直线上，且点的横坐标为， 将代入，可得， 所以点的坐标为． 因为点也在直线上， 将点的坐标代入， 可得， 解得． 题型06.不等式与方程组综合问题 题型特征 1. 题干同时给出二元一次方程组和一元一次不等式（组） 2. 方程组中含有字母参数，求解后得到含参数的未知数表达式 3. 题目给出解满足：解为正数、负数、不大于/不小于、解的和差满足范围 4. 利用方程组解的取值条件，反求字母参数的取值范围 5. 常考两个解同时满足大小要求、正负要求，结合不等式组求解 解题思路 1. 先正常解二元一次方程组，把未知数用含参数的式子表示 2. 根据题目给出的正负、大小、范围条件，列出不等式（组） 3. 解不等式组，求出字母参数的取值范围 4. 严格核对不等号方向，精准确定端点能否取等号 【典例】已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】用第②个方程减第①个得，即得，再解不等式组即可求解． 【详解】解：， ②①，得， ∵ ∴， 即， 解得， ∴的取值范围为． 【跟踪专练1】已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用已知等式用表示，代入不等式求出的范围，再依次推导各选项中代数式的范围，找出错误判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴，因此选项A判断正确． ∴ ， ∴， ∴，因此选项B判断正确． ∵ ， 由得 ， ∴ ，因此选项C判断正确． ∵， 由 得 ， 即 ，不符合选项D给出的范围，因此选项D判断错误． 【跟踪专练2】已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出和的值，然后解一元一次不等式组即可． 【详解】解：， 得， ∴， 解得； 得， ∴， 解得； ∴． 【跟踪专练4】综合与探究 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． (1)a＝ ，b＝ ． (2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． (3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． (4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)2；1 (2)或 (3)m的值为0或1或2 (4) 【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据（1）中求解的a、b的值，结合、x，y为非负整数即可解出答案； （3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解； （4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围； 【详解】（1）解：， 解得：； （2）解：由（1）知，， 则． ∵x，y为非负整数， ∴或． （3）解：依题意， ①＋②化简得． ∵，即 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的值为0或1或2． （4）解：依题意得，解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 【点睛】该题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，理解题意，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组解法是解题的关键；还需注意二元一次方程解答时有多个结果；一元一次不等式组整数解问题也是比较容易出错． 题型07.新定义运算题 题型特征 1. 题目会自定义一个陌生运算符号，不是课本常规加减乘除 2. 新运算式子里面含有未知数、字母参数 3. 结合不等式、不等式组，列出新运算的不等关系 4. 根据新定义运算的规则，求解解集或者反求参数范围 5. 完全贴合课本不等式考点，只是套用陌生运算外壳 解题思路 1. 严格照着题目给的新定义规则，一步一步代入替换，不自己乱改公式 2. 把陌生的新运算，转化成普通的一元一次不等式/不等式组 3. 按常规解法，正常化简、移项、合并同类项求解 4. 若是含参数题型，再根据条件求参数取值范围，判断端点等号 【典例】我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 【答案】 【分析】根据新定义，推出，得到或，分类讨论求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，即， ∴， ∵x，y为不同的整数， ∴或， 当时，或，不符合题意，舍去； 当时，或或或， ∴或． 【跟踪专练1】定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式的“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据“溯源值”的定义，将二次多项式代入方程，求出方程的解（用含m的式子表示），再结合“溯源值”的取值范围，通过不等式的性质求出m的取值范围，进而得到m的最小值． 【详解】解：∵是二次多项式， ∴，，， 将，，代入方程， 得：，即， 解得， ∵二次多项式的“溯源值”的取值范围是， ∴， 解得， 由可知，m的最小值是． 【跟踪专练2】对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③若，则x的取值范围为．其中正确结论_____________（只填写序号）． 【答案】①③ 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， 当时，得； 当时，得，解得； ∴或，故②错误； 当，即时， 不等式为， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 结合，得； 当，即时， 不等式为， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 结合，得； 综上所述，的取值范围为，故③正确； 综上，正确的是①③. 【跟踪专练3】定义一种新运算， ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； 以上说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据新运算中乘积的正负选择对应规则，分情况讨论逐一验证三个结论，结合不等式和绝对值性质计算． 【详解】解：① ，分情况讨论： 当，即时，得，解得，符合条件； 当，即时，得，解得，不符合，舍去； 仅，结论①错误； ②， ，符合， 得，即， 解得或，结论②漏解，错误； ③由，得与异号，且， ∴， 解得， 时，，， ，符合， ， 原式为， ， ，即， 分情况化简： 当时，，原式； 当时，，原式； 原式最小值为，结论③正确； 综上，仅1个结论正确． 【跟踪专练4】定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)整数的最小值为 (3) 【分析】（1）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义进行判断； （2）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解； （3）分别解方程组和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程， ， ， 解得； 解不等式， ， 解得； ， 方程的解是不等式的“内含解”． （2）解：解方程， ， 解得． ， ， 解不等式， ， ， ， 解得． 由“内含解”的定义，得， ， ， 解得， 整数的最小值为． （3）解：， 由，得， ，方程组的解是不等式的“内含解”， ，解得． 题型08.不等式组方案选择问题 解题思路 1. 先找准题目里两种及以上分配、采购、生产、调配的物品/项目，设唯一核心未知数 2. 紧扣实际限制条件：总数量、总钱数、总人数、原料总量、承载上限，找出双向不等约束 3. 不用硬套路程、工程公式，只抓总量不超、最低满足、不能不足的实际限制列不等式组 4. 求解范围后，结合生活实际，只取正整数解（方案类必须是整数，不能是小数） 5. 每个合规整数对应一套完整可行方案，逐一罗列 6. 求最优最省钱/最大利润：代入计算，对比数值选出最优方案 【典例】某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． (1)沙包和篮球的单价各是多少元？ (2)若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【答案】(1)沙包的单价为12元，篮球的单价为30元 (2)一共有三种方案，分别是：方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；方案三：购买沙包54个，购买篮球36个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买沙包个，购买篮球个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据题意得： ， 解得：，， 答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元． （2）解：设购买沙包个，购买篮球个，根据题意得： 解得：， 一共有三种方案，分别是： 方案一：购买沙包52个，购买篮球38个； 方案二：购买沙包53个，购买篮球37个； 方案三：购买沙包54个，购买篮球36个． 【跟踪专练1】为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 (2) 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 【详解】（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 【跟踪专练2】某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)赠甲书包1个，乙书包3个 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据数量＝总价÷单价结合“甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元”列出方程组并解答； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案； （3）先假设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意：总利润=总销售额-总成本，其中赠送的书包不产生销售收入，但其成本已包含在总成本中，则可列出方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得． 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得． 解得． ∵， ∴． ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110． ∴该网店有3种进货方案： 方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：分三种情况： ①购进甲种书包88个，乙种书包112个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立； ②购进甲种书包89个，乙种书包111个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得，， 故甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． ③购进甲种书包90个，乙种书包110个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立． 综上，甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 题型09.不等式组行程问题 解题思路 1. 牢记行程核心公式：路程=速度×时间，找准三个基础量 2. 根据提前/迟到、不超过/至少的题意，找时间、路程的不等关系 3. 设速度或时间为未知数，套行程公式列出不等式组 4. 正常求解不等式范围 5. 结合实际：速度、时间为正数，舍去不符合实际的数值 【典例】已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【答案】（1）所在直线的函数表达式，线段所在直线的函数表达式； （2）F 的坐标为，甲出发小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）利用待定系数法求出线段OD的函数表达式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求出线段EF所在直线的函数表达式； （2）根据线段EF所在直线的函数表达式求出F的坐标，即可说明其实际意义； （3）根据两条线段的函数表达式列不等式解答即可． 【详解】解：（1）设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， ∴线段所在直线的函数表达式， 把代入，得， ∴点的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式； （2）把代入，得， ∴的坐标为， 实际意义：甲出发4.5小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）由题意可得，或者, 当时，， 解得， 又∵当时，乙开始行驶， ∴当时，， ∴, ∴, 当时，， 解得, 又∵当时，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地． ∴当时，， ∴, ∴, 综上所述，乙在行驶过程中，两人距离超过时的取值范围是：或． 【跟踪专练1】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【跟踪专练2】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型10.不等式组工程问题 解题思路 1. 牢记工程核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，常规把总工程量看作单位1 2. 梳理清楚单独做、合作做、分段施工的各部分工作量 3. 根据工期限制、人数限制、完工要求找准不等关系 4. 设效率、施工人数或时间为未知数，列出不等式组 5. 求解范围后，结合实际情况取正整数、正数合规数值 【典例】沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【答案】（1）甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌；（2）甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元 【分析】（1）设乙小组每天各维修x张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案； （2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，得出m的值即可得出答案． 【详解】（1）设乙小组每天维修x张旧课桌， ∴甲小组每天维修1.5x张旧课桌， 根据题意可知： ， 解得：x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解， 答：甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌； （2）由甲单独负责，此时完成工作需要＝10天，需要费用为10×800＝8000元， 由乙单独负责，此时完成工作需要＝15天，需要费用为15×400＝6000元， 故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成， 设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌， ∴， 解得：m＝216， 此时学校需要付费为：800×+400×＝7200元 答：由甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元． 【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确找出等量关系列出方程． 【跟踪专练1】某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50 (2) (3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解； （2）根据题意得到，整理得：，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26天求出自变量取值范围即可解答． （3）由（2）可得，设施工总费用为元，得出与x的关系式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意．得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）根据题意，得：， 整理得：， ∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天， ∴，即 解得 ∴y与x的函数解析式为：． （3）设施工总费用为w万元，根据题意得： ∵， ∴w随x减小而减小， ∵ ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 【跟踪专练2】2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 题型11.不等式组经济问题 解题思路 1. 熟记经济核心公式：利润=售价-成本、总利润=单件利润×销售数量 2. 分清进价、定价、售价、销量、总利润各个量，理清增减变化 3. 根据盈利、亏损、成本限额、利润最低要求，找准不等关系 4. 设进货数量或商品定价为未知数，代入利润公式列不等式组 5. 求解范围后，结合实际商品数量取正整数，筛选合理数值 【典例】某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 【跟踪专练1】年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 【答案】共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 【分析】设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】解：万元元，设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台， 根据题意得， 解第一个不等式得； 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 因为为正整数， 所以的取值为或， 当时，； 当时，， 答：共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 【跟踪专练2】A超市要用不超过元的资金采购进货价每千克4元的番茄和每千克8元的油豆角共计千克（重量取整数），且油豆角的重量不少于番茄重量的3倍．该超市计划将所进蔬菜加价进行销售． (1)求A超市有多少种进货方案； (2)求获利最多的方案及最多获利多少元； 【答案】(1)有6种进货方案 (2)购进番茄千克，油豆角千克获利最多，获利元 【分析】本题考查了一元一次不等式组实际应用中的经济问题，一次函数的性质，分析题目列出不等式组和利润函数表达式是解题关键． （1）根据蔬菜总量表示出油豆角的重量，再结合资金的不等关系与油豆角重量的不等关系列出不等式组求解即可． （2）分别计算番茄和油豆角的利润，写出总利润的函数表达式，利用一次函数的增减性判断最值即可． 【详解】（1）解：设购进番茄x千克，则购进油豆角千克， 依题意得：， 解得：． 又∵x为整数， ∴x可以取120，121，122，123，124，125． ∴A超市共有6种进货方案． （2）设获利w元，则． ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当，w取得最大值，最大值为； 此时． 答：购进番茄120千克，油豆角380千克获利最多，获利880元． 题型12.不等式组分配问题 解题思路 1. 先设分配的人数、组数为未知数 2. 根据分完有剩余、分则不够分两种分配情况 3. 分别列出大于、小于的不等关系，组合成不等式组 4. 正常求解未知数的取值范围 5. 结合分配实际意义，只取范围内正整数，求出人数和物品总数 【典例】（1）解方程：； （2）把一些书分给同学，若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本．则共有多少名同学？ 【答案】（1）；（2）6名 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式组的应用，熟练掌握方程的解法和不等式组的应用是解题关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）设共有名同学，根据若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本建立不等式组，解不等式组，结合为正整数求解即可得． 【详解】解：（1）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）设共有名同学， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， 答：共有6名同学． 【跟踪专练1】某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元 (2)购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元 【分析】（1）设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元，列方程组求解即可； （2）设购买甲型机器人a台，则设购买乙型机器人台，根据购买甲、乙两种型号的机器人共10台，且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，列不等式组求出a的取值范围，再设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，根据总费用=每台甲型机器人价格乘以购买的甲型机器人数量+乙型机器人价格乘以购买的乙型机器人数量，列出函数关系式，再根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得 ， 解得：， 答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元． （2）解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人台，根据题意得 ， 解得：， 设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，则 ， ∵ ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最小，最小值 ， ， ∴购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元． 【点睛】解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组，一元一次不等式组与一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【跟踪专练2】我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $