精品解析：山东省烟台市2025-2026学年度高一第二学期期中学业水平诊断数学试题

山东省烟台市2025-2026学年度高一第二学期期中学业水平诊断数学试题 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 3. 一水平放置的四边形，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形，如图所示，若，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. 已知圆台上、下底面半径分别是1和3，体积为，则该圆台的高为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 5. 在中，，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，为测量河对岸两点间的距离，在楼顶A处观察C的俯角为30°，观察点D的俯角为60°，B为楼底一点且平面，若楼高，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，且，下列说法正确的有（ ） A. 是纯虚数 B. 若，则 C. 是虚数 D. 若，则是纯虚数 10. 已知向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若向量，夹角为锐角，则 C. 若，则 D. 若向量在方向上的投影向量为，则或 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则的值为_____. 13. 已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 复数，，其中i是虚数单位，且为纯虚数. （1）求复数： （2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，O为坐标原点，若以O，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，求复数. 16. 如图，圆锥的母线长为，侧面展开图为半圆，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱. （1）若，求剩下几何体的表面积； （2）当挖去的圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积. 17. 如图，观测站C在目标A的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在C处观测到有一轿车从A处沿此公路向B处行驶，行驶后到达D处，此时测得. （1）求A，C两地的距离； （2）若此轿车从D处继续行驶，经过20分钟后到达B处，且，求该车行驶的速度（单位：）. 18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. （注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分） （1）求角的大小； （2）D为上一点，且. （i）若D满足，，求的值； （ii）若D是线段的中点，求的最大值. 19. 在中，，，点平面，，且点B，D位于直线两侧. （1）若，，求的值； （2）若为钝角，，求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台市2025-2026学年度高一第二学期期中学业水平诊断数学试题 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据除法运算可得，结合复数的几何意义运算求解. 【详解】因为，则， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 一水平放置的四边形，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形，如图所示，若，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将直观图复原为原图，求相关长度，即可得结果. 【详解】在等腰梯形中，，，，则， 将直观图复原为原图，如图所示： 则，所以. 4. 已知圆台上、下底面半径分别是1和3，体积为，则该圆台的高为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】设圆台的高为， 则，解得． 5. 在中，，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得参数，即可得结果. 【详解】因为，， 则， 若，则，所以. 6. 如图，为测量河对岸两点间的距离，在楼顶A处观察C的俯角为30°，观察点D的俯角为60°，B为楼底一点且平面，若楼高，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直可得，进而得到，再用余弦定理计算边长即可． 【详解】解：由题可知， 又平面，平面， ， 又，所以， 又，所以． 7. 已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案 【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，，， ，所以， 设，故， 因为，所以， 则，， 所以， 因为，其对称轴为，取得最小值， 当，取得最大值，所以 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，再结合余弦定理运算求解. 【详解】设的外接圆半径为， 则， 因为，即，可得， 又因为， 由余弦定理可得，即， 且，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，且，下列说法正确的有（ ） A. 是纯虚数 B. 若，则 C. 是虚数 D. 若，则是纯虚数 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为复数，且，则. 对于选项A：是纯虚数，故A正确； 对于选项B：若，即， 则，所以，故B正确； 对于选项C：因为， 若，则为实数，故C错误； 对于选项D：若，则 因为，所以是纯虚数，故D正确. 10. 已知向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若向量，夹角为锐角，则 C. 若，则 D. 若向量在方向上的投影向量为，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：求，，根据向量的模长公式运算求解；对于B：根据数量积的符号列式求解，注意排除向量共线的情况；对于C：先求模长，代入运算即可；对于D：根据投影向量结合向量的坐标运算求解. 【详解】因为向量，，则， 对于选项A：因为，， 若，则，解得，故A错误； 对于选项B：若向量，夹角为锐角，则，且向量，不共线， 则，解得，故B正确； 对于选项C：若，则，， 所以，故C正确； 对于选项D：因为向量在方向上的投影向量为， 则，解得或，故D正确. 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】配方分析可得，分析可知，，即可判断AB；利用余弦定理判断C；整理可得，结合二次函数单调性判断D. 【详解】因为，整理可得， 则，即， 且，则，可得， 即，所以，故A正确，B错误； 由余弦定理可得，即， 又因为，则，解得， 且，则，解得， 综上所述：，故C正确； 因为， 且在内单调递增，则， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，结合向量共线的坐标运算求解. 【详解】因为向量，，则， 若，则，解得. 13. 已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为，利用正弦定理求出，再根据求出，进而得到表面积． 【详解】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为， 则，解得， ， 则其外接球表面积为． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可得；利用余弦定理消去b结合基本不等式可得，进而分析的最大值. 【详解】由余弦定理和，可得， 所以，则； 由余弦定理，， 当且仅当，即时，等号成立， 而， 由可得为锐角，且，则， 故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 复数，，其中i是虚数单位，且为纯虚数. （1）求复数： （2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，O为坐标原点，若以O，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，求复数. 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据复数除法运算求，结合纯虚数的定义运算求解； （2）根据复数的几何意义分类讨论平行四边形的可能性情况，结合向量的运算求解即可. 【小问1详解】 因为复数，， 则， 若为纯虚数，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：，，则，， 因为以O，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形， 若为平行四边形，则， 所以，即； 若为平行四边形，则， 所以，即； 若为平行四边形，则， 所以，即； 综上所述：或或. 16. 如图，圆锥的母线长为，侧面展开图为半圆，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱. （1）若，求剩下几何体的表面积； （2）当挖去的圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得圆锥的底面圆半径，结合比例可得圆柱的底面半径和高，进而求表面积； （2）分析可知，，利用基本不等式求侧面积最大，即可求圆柱的体积. 【小问1详解】 设圆锥的底面圆半径为，圆锥的高为，圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为， 因为圆锥的侧面展开图为半圆，则，解得， 则圆锥的高， 若，则，， 所以剩下几何体的表面积为. 【小问2详解】 因为，即，则，， 可得圆柱的侧面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当挖去的圆柱侧面积最大时，圆柱的体积为. 17. 如图，观测站C在目标A的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在C处观测到有一轿车从A处沿此公路向B处行驶，行驶后到达D处，此时测得. （1）求A，C两地的距离； （2）若此轿车从D处继续行驶，经过20分钟后到达B处，且，求该车行驶的速度（单位：）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合两角和差公式可得，再利用正弦定理运算求解； （2）在中，由余弦定理可得，进而可得以及该车行驶的速度. 【小问1详解】 由题意可知：， 且，则为锐角，可得， 则， 在中，由正弦定理可得. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即，可得，解得或（舍去）， 则，所以该车行驶的速度为. 18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. （注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分） （1）求角的大小； （2）D为上一点，且. （i）若D满足，，求的值； （ii）若D是线段的中点，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）若选择①利用正弦定理，结合恒等变形求角即可；若选择②，根据三角恒等变形化简可得，解得即可得到；若选择③，根据二倍角公式及辅助角公式即可求解． （2）（i）由题可知是的角平分线，再根据可得，结合余弦定理解出，得到，然后根据正弦定理求解； （ii）由题可知，再平方，结合余弦定理及基本不等式计算最值即可． 【小问1详解】 解：选择条件①：由正弦定理， 即， ，又，， ，即， 又因为，所以； 选择条件②：， 即， 解得，又，所以， 所以； 选择条件③：， 解得，又，， ，； 【小问2详解】 （i）因为，和分别是与、同向的单位向量， 所以是的角平分线，即， 又，即， 化简得，即， 由余弦定理，可得， 即， 将代入上式可得， 令，则， 即，解得或(舍去)， 所以，则， 由正弦定理，可得，， 所以； （ii）因为是线段的中点，所以， ， ， 由余弦定理，可得，即， 根据基本不等式，可得，即，当且仅当时取等号， 所以，则， 故的最大值为． 19. 在中，，，点平面，，且点B，D位于直线两侧. （1）若，，求的值； （2）若为钝角，，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，即可得结果； （2）在中，利用正弦定理可得，利用面积公式结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【小问1详解】 在中，因为，，则， 由正弦定理可得， 又因为，则， 在中，由正弦定理可得， 又因为，则， 所以. 【小问2详解】 在中，因为，则， 由正弦定理可得， 又因为，则， 且，则， 可得四边形面积 ， 又因为，则， 当，即时，取得最大值， 所以四边形面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $