精品解析：山东省烟台市2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024～2025学年度第二学期期中学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据复数的乘法运算及复数相等即可判断. 【详解】设， 由，得， 所以，即，解得 所以，所以复数的虚部为. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解. 【详解】由， 因为，所以上式， 故选：B. 3. 在平面直角坐标系中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式，结合向量的坐标运算即可求解. 【详解】由已知得： 根据在投影向量公式可得：， 故选：C. 4. 在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据向量的线性运算法则，化简得到，结合，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】因为三点共线，设， 又因为， 可得 ， 因为，可得，可得. 故选：D. 5. 斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用三角函数表示出，进而得出，再根据同角三角函数的商数关系及两角差的正弦公式化简即可． 【详解】在中，， 在中，， 所以 ， 故选：A． 6. 若函数在上的最小值为，则t的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，由在区间上的最小值为，得到，求得的范围，进而得到的最大值，得到答案. 【详解】由，可得， 因为， 要使得上的最小值为，则满足， 解得，所以，所以的最大值为. 故选：D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式及同角三角函数的关系求得，再根据二倍角公式求解即可． 【详解】由题得， 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以， 故选：C． 8. 的内角的对边分别为，已知，且，边上的中线相交于点P，且，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角可求角，再利用余弦定理可求得，最后利用面积关系来计算四边形面积即可. 【详解】由，结合正弦定理边化角得：， 因为，所以上式化为，再由内角和为可化为， 利用三角恒等变形得：，因为，所以， 即上式变形为，又因为，所以， 再由余弦定理得： 即，解得， 可得或，因为，所以， 则的面积为， 因为边上的中线相交于点P，所以点P是的重心， 即，， 由，所以， 即四边形的面积为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若向量满足且，则 B. 对于任意向量，都有 C. 对于任意向量，都有 D. 若向量共线，则存在实数，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例即可判断AD；根据平面向量数量积的计算公式即可判断B；由平面向量三角不等式即可判断C． 【详解】对于A，若，则， 若，则，显然，故A错误； 对于B，，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，根据向量三角不等式，，故C正确； 对于D，若，则不存在实数，使得，故D错误； 故选：BC． 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上恰有6个零点 D. 若，在上有n个不同的解，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用图象求出函数解析式，再借助正弦函数的性质，整体分析相位，即可判断ABC，对于D可借助数形结合，利用对称性可求得四根之和，即可求解判断. 【详解】 由图象可得：， 因为，由，可得， 所以，再代入最高点可得： ，即 因为，所以，即， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，当，则，满足正弦函数的递减区间，故B正确； 对于C，当，则，根据正弦函数在该区间内有个零点，故C错误； 对于D，当，作图分析可知; 方程在上存在四个解，可知它们分别关于直线对称， 即有所以有 即故D正确； 故选：ABD. 11. 已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，结合余弦定理，求得和，进而得到，再由正弦定理，得到，可判定A正确；由，求得，可判定B不正确；由，求得，所以，由正弦定理，求得，再由，结合面积公式，可判定C正确；由，求得，得到，结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由余弦定理得， 因为，可得和，可得， 又由正弦定理，可得，即， 所以，所以A正确； 对于B中，由， 可得，解得， 因为，所以或，所以B不正确； 对于C中，由，且，可得，所以， 因为，由正弦定理，可得， 又由， 所以的面积为，所以C正确； 对于D中，由，可得 可得， 则， 当且仅当时，即时，即，等号成立，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积及模的坐标运算即可求解． 【详解】因为，所以，解得， 所以，则， 故答案为：． 13. 已知，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，利用两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，可得， 又由 . 故答案为：. 14. 如图，在四边形ABCD中，，，设.①当时，BF的长为______，②四边形BFDE面积的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到为的中点，且为的平分线，由，得到，结合，再由，可得，求得，，结合为的中点，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】解：由，且， 所以为的中点，且为的平分线， 因为，可得， 所以， 则， 所以. 由，可得，且， 所以，， 因为为的中点，可得， 所以， 因为，可得，则， 当时，即时，可得的最大值为. 四、解答题.本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若为纯虚数，求复数的值； （2）若为虚数且在复平面内对应的点在直线上，求的值. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数定义来求参数即可； （2）利用复数的几何意义可求出参数，即可求复数商的模. 【小问1详解】 由为纯虚数， 可得，解得，此时， 则. 【小问2详解】 由为虚数且在复平面内对应的点在直线上， 则，解得或， 由于为虚数，所以舍去，故则， 则. 16. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. （1）求货船航行速度的大小； （2）若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，利用向量的运算与分解，利用坐标法计算向量的长度，进而求得；（2）货船要垂直到达正对岸B，需使合速度的东向分量为0，进而计算求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示. 货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向. 设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即, 合速度为水流速度与船速的矢量和： 由题意，合速度方向与向量同向，且大小为. 设合速度为，则： 因此，合速度为 . 联立方程： 货船速度大小为： 【小问2详解】 货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0. 设船速为，则： 由（1）知船速大小为 ，故： 合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为： 17. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求的值及函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变形来整理，利用周期性来求，结合正弦函数的单调增区间，即可求出该函数的单调递增区间； （2）利用图象的变换求出函数的解析式，再通过定义域求出值域，从而来找到满足不等式恒成立的条件，最后可求解的取值范围. 【小问1详解】 由， 由其图象的相邻两条对称轴间的距离为，可知最小正周期为， 因为，所以，即， 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度可得，， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 即， 对任意的，有，此时， 此时有， 要使得不等式恒成立，则只需要满足，解得或， 故实数的取值范围这. 18. 在中，内角所对的边分别为a，b，c.从下面两个条件中任选一个作答，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①；②. （1）求角B； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形，可求得角； （2）利用内角和定理和正弦定理边化角，同样借助三角恒等变形，最后化归到角的函数来求值域即可. 【小问1详解】 选①： 由，利用正弦定理边化角得：， 因为，所以有， 可得， 因为，所以； 选②： 由，利用正弦定理边化角得：， 因为，所以有， 可得：因为，所以，且； 【小问2详解】 若，求的取值范围. 用正弦定理边化角可得： ， 因为，所以，即， 则，所以，即， 则. 19. 在中，. （1）求； （2）若的面积为18，的平分线与边BC交于点D，求AD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，求得，再由三角函数的基本关系式，即可的的值； （2）由的面积为18，可得，再由三角恒等变换的公式，得到，由正弦定理，求得，得到，设，结合，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：在中，可得， 所以， 且， 因为，可得， 所以， 又因为，所以， 因为，可得，解得， 又因为，可得，所以. 【小问2详解】 解：由的面积为18，可得，所以， 因为，且，可得为锐角，所以， 又由， 所以， 由正弦定理，可得，即， 联立方程组，可得， 因为，可得， 又因为的平分线与边BC交于点D，设， 因为，所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期中学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上的最小值为，则t的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 的内角的对边分别为，已知，且，边上的中线相交于点P，且，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若向量满足且，则 B. 对于任意向量，都有 C. 对于任意向量，都有 D. 若向量共线，则存在实数，使得 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上恰有6个零点 D. 若，在上有n个不同的解，则 11. 已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则_________． 13. 已知，则_________. 14. 如图，在四边形ABCD中，，，设.①当时，BF的长为______，②四边形BFDE面积的最大值为__________. 四、解答题.本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若为纯虚数，求复数的值； （2）若为虚数且在复平面内对应的点在直线上，求的值. 16. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. （1）求货船航行速度的大小； （2）若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 17. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求的值及函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 在中，内角所对的边分别为a，b，c.从下面两个条件中任选一个作答，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①；②. （1）求角B； （2）若，求的取值范围. 19. 在中，. （1）求； （2）若的面积为18，的平分线与边BC交于点D，求AD的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $