上海市长宁区2025-2026学年下学期九年级数学期中试卷

2025学年第二学期初三数学期中试卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）［每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用28铅笔正确填涂］ 1. 下列实数中，比3小的无理数是（ ） A. B. C. π D. 2. 上海市2025年全年地区生产总值约为万亿元，其中万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（ ） A. 直线l可能经过圆心O B. 直线l可能与相交 C. 直线l可能与相切 D. 直线l可能与相离 4. 在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（ ） A. 平均数是6 B. 中位数是6 C. 众数是6 D. 方差是6 5. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 四边形的周长是 C. 四边形的面积是6 D. 6. 已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：______． 8. 请写出使代数式有意义的a的一个值为：________． 9. 方程的解是________． 10. 数据90、91、92、93、94的标准差是________． 11. 方程组的解是________． 12. 已知线段，，从，，，，5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么，，是某直角三角形三边的长度的概率是________． 13. 如果关于x的方程有一根是，那么该方程的另一根是________． 14. 已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 15. 在正方形中，是其对角线，那么的值为________． 16. 已知正八边形的中心是点，连接，，，点是的重心，如果，那么线段的长等于________． 17. 在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 18. 如图，在中，，．将绕着点旋转，点、的对应点分别是点，，如果点恰好在直线上，且，那么的值为________． 三、解答题（木大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，微在答题低的相应位置上】 19. 计算：． 20. 解不等式组：． 21. 某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． （1）求与的关系式； （2）已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 22. 在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为的等腰三角形称为黄金三角形，它具有的美妙性质．请运用上述信息，解决下列问题： （1）填空：等腰的顶角，且，那么底边________． （2）如图1，在中，，，且，求的长． （3）如图2，已知点P是线段的黄金分割点（），在的延长线上截取，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，请判断是否是黄金三角形？并说明理由． 23. 如图，正方形中，点E在对角线上，点F在边上（点F与点C不重合），且． （1）求证：； （2）在图中延长与交于点H，如果，求证：． 24. 已知抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点． （1）求的面积． （2）如图，点是抛物线第四象限上的一点，直线分别交、于点、，如果，求直线的表达式； （3）在第（2）小题的基础上，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点（点在点的上方）．如果点恰好是线段的中点．求抛物线的表达式． 25. 已知线段是的一条弦，点C是上的一点． （1）连接、，如图1，如果，，且，求的半径长； （2）当圆心在线段上时． ①如图2，已知点D在上，满足，且，如果，求的长． ②如图3，已知点E在线段上，满足，如果沿着弦翻折后的弧线恰好经过点，求的值． 2025学年第二学期初三数学期中试卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）［每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用28铅笔正确填涂］ 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】2（答案不唯一） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】增大 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】或 【18题答案】 【答案】 三、解答题（木大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，微在答题低的相应位置上】 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】（1） （2） （3） 解：是黄金三角形，理由如下： 连接， 由旋转的性质得 ，， ∴， ∴是黄金三角形，且腰长为较短边， ∴， 设， ∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是黄金三角形． 【23题答案】 【答案】（1） 证明：如图，连接， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：如图， 设，则， ， 四边形是正方形， 、， 在中，由勾股定理得：， 由（1）知，， ， ， 解得， ， 四边形是正方形， 、，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【24题答案】 【答案】（1）12 （2） （3） 【25题答案】 【答案】（1）4 （2）①；② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $