2025年上海市长宁区中考数学二模同考点练习试卷

2025年上海市长宁区中考数学二模试卷 同考点练习卷 同考点练习在保持核心考点不变的条件下替换题目，在多样化的题目情境中反复巩固核心知识点。 题号 一 二 三 总分 得分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在，，，这四个数中，属于负整数的是(    ) A. B. C. D. 2.若实数，满足且，则下列式子成立的是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.某校篮球队名场上队员的身高是，，，，单位：，现用两名身高分别为和的队员换下场上两名身高是和的队员，下列关于换人前后场上队员的身高数据描述中，说法正确的为(    ) A. 中位数变大，众数不变 B. 平均数变大，众数变小 C. 中位数不变，方差变小 D. 平均数变小，方差变大 5.如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正边形如图，的半径为，则它的外切正边形的边长是(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知，的半径为点在射线上，的半径为如果直线与相切，且与相交，那么的值可以是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.最简二次根式与可以合并，则的值为______． 8.农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，农村要铺设一条全长为米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工时间天与铺设管道长度米之间的关系用表格表示： 时间天 管道长度米 则施工天后，未铺设的管道长度为          米 9.年月日，嫦娥六号探测器在我国海南文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要将数据精确到千分位并用科学记数法表示为________． 10.对于实数，定义新运算：，例如：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 11.如图，矩形和正方形的顶点，均在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在边上，顶点，都在反比例函数的图象上，若点的坐标为，则点的坐标为_______． 12.有个外观完全相同的不透明试剂瓶，分别装有相同体积的醋酸、稀盐酸和碳酸钠溶液，小明从这个试剂瓶中任意抽取个，抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是______． 13.利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点是点的“加密点”例如，点的“加密点”是点已知点在轴的上方，且，若点的“加密点”在直线上，则的取值范围是______． 14.某厂生产了只灯泡为了解这只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命单位：小时，数据整理如下表，估计这只灯泡中使用寿命不小于小时的灯泡的数量为          只 使用寿命 灯泡只数 15.在菱形中，，，那么 ______． 16.如图，是的外接圆，是的直径，，垂足为点，的平分线交于点，交于点给出下面五个结论：；；；当点与点重合时，若，则阴影部分的面积为；当：：时，与的面积比为：上述结论中，正确结论的序号有______． 17.如图，菱形中，，，点是直线上一动点，点在直线上，若，则的最小值是          ． 18.如图，在梯形中，，，，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得，连接，在左侧有一点，使得为等腰直角三角形，且，连接则的最小值为______． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分计算：． 20.本小题分解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 21.本小题分如图，一次函数为常数，与反比例函数的图象相交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，点的横坐标为． 求的面积；当时，直接写出的取值范围． 22.本小题分我们知道“顺次联结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法如图： 在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； 作，交边于点；作，交边于点；联结． 求证：小明画出的四边形是平行四边形； 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，点在边上，请你仅用一把无刻度的直尺只能作经过两点的直线，画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示 23.本小题分 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材 图是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上． 素材 小华同学按图的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图的方式裁剪，且． 素材 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图， 步骤：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小． 问题解决 任务 请比较小华、小明同学裁出的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务 任务请求出小富同学裁下的矩形各边长． 24.本小题分抛物线交轴于点和点，交轴于点． 求抛物线的表达式； 如图，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； 将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点且与直线另一交点为点，为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点的坐标． 25.本小题分如图，是的直径，是圆上不同于，的任意一点，延长到点，连结过点作，交于点，连结． 求证：． 如图，若，，，求的值． 若，求的值用含的代数式表示． 第6页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市长宁区中考数学二模试卷 同考点练习卷 同考点练习在保持核心考点不变的条件下替换题目，在多样化的题目情境中反复巩固核心知识点。 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在，，，这四个数中，属于负整数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：是负整数， 故选：． 根据有理数的分类及定义即可求得答案． 本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2.若实数，满足且，则下列式子成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：实数，满足， ， ， ，即， ， 解得． 故选：． 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：． 4.某校篮球队名场上队员的身高是，，，，单位：，现用两名身高分别为和的队员换下场上两名身高是和的队员，下列关于换人前后场上队员的身高数据描述中，说法正确的为(    ) A. 中位数变大，众数不变 B. 平均数变大，众数变小 C. 中位数不变，方差变小 D. 平均数变小，方差变大 【答案】C  【解析】解：换人前：中位数为：，众数为：， 平均数为：， 换人后：中位数为：，众数为：， 平均数为：， 用两名身高分别为和的队员换下场上两名身高是和的队员，数据波动变小， 方差变小， 综上所述，中位数不变，众数不变，方差变小，平均数变大．故选：． 5.如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正边形如图，的半径为，则它的外切正边形的边长是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图，设正边形的边与内切圆相切于点，连接、、，则， 在中，，， ， ， 故选：． 根据正多边形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，中心角的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 6.如图，已知，的半径为点在射线上，的半径为如果直线与相切，且与相交，那么的值可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，当与外切时，设切点为，连接． ，， ， ， ， 当两圆内切时，同法可得，解得， 与相交， ， 故选：． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.最简二次根式与可以合并，则的值为______． 【答案】  【解析】解：由题可知，与是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 8.农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，农村要铺设一条全长为米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工时间天与铺设管道长度米之间的关系用表格表示： 时间天 管道长度米 则施工天后，未铺设的管道长度为          米 【答案】  【解析】解：观察表格数据可知：每增加天，多铺设的管道米， ， 当时，， 所以未铺设的管道长度为：米． 故答案为：． 观察表格数据可得，可得施工天后的值，进而求出未铺设的管道长度． 本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是根据表格数据表示函数． 9.年月日，嫦娥六号探测器在我国海南文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要将数据精确到千分位并用科学记数法表示为________． 【答案】  【解析】解：． 故答案为． 10.对于实数，定义新运算：，例如：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】  【解析】解：， ， 方程有个相等的实数根， ， ； 故答案为：． 11.如图，矩形和正方形的顶点，均在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在边上，顶点，都在反比例函数的图象上，若点的坐标为，则点的坐标为_______． 【答案】  【解析】【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，设，易得：，再根据均在反比例函数图象上，列出方程求出的值即可． 【详解】解：矩形和正方形，点的坐标为， ，， 设，则：， ， 顶点，都在反比例函数的图象上， ，解得：或舍去， ； 故答案为：． 12.有个外观完全相同的不透明试剂瓶，分别装有相同体积的醋酸、稀盐酸和碳酸钠溶液，小明从这个试剂瓶中任意抽取个，抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是______． 【答案】  【解析】解：醋酸与稀盐酸是酸性溶液，碳酸钠溶液不是酸性溶液，从这个试剂瓶中任意抽取个，列表如下： 醋酸 稀盐酸 碳酸钠 醋酸 醋酸，稀盐酸 醋酸，碳酸钠 稀盐酸 醋酸，稀盐酸 碳酸钠，稀盐酸 碳酸钠 醋酸，碳酸钠 碳酸钠，稀盐酸 共有种等可能结果，其中抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的有两种， 抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是， 故答案为：． 13.利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点是点的“加密点”例如，点的“加密点”是点已知点在轴的上方，且，若点的“加密点”在直线上，则的取值范围是______． 【答案】  【解析】解：设，则， 在直线上， ，即， 点在轴的上方，且， ， 是直线与半圆的交点，当直线与半圆相切时，  中，，即， 当直线过点时，， ， 故答案为：． 设，则，可得，进而得直线与半圆相切时，，直线过点时，，进而得到答案． 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是理解并运用新的定义“加密点”． 14.某厂生产了只灯泡为了解这只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命单位：小时，数据整理如下表，估计这只灯泡中使用寿命不小于小时的灯泡的数量为          只 使用寿命 灯泡只数 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了频数率分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用． 用乘以使用寿命不小于小时的百分比即可． 【解答】 解：估计这只灯泡中使用寿命不小于小时的灯泡的数量为只． 故答案为：． 15.在菱形中，，，那么 ______． 【答案】  【解析】解：如图， 四边形是菱形， ，，， ，都是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16.如图，是的外接圆，是的直径，，垂足为点，的平分线交于点，交于点给出下面五个结论：；；；当点与点重合时，若，则阴影部分的面积为；当：：时，与的面积比为：上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】  【解析】解：， ，故正确； 不是直径， ， ， 是的直径， ， ， ， ，故错误； ， ， ， ， 的平分线交于点， ， ， ，， ， ，故正确； 当点与点重合时， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积，故错误； 如图所示，过点作交于点， ， ， 设， ， 当：：时， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ∽， ， ， 当：：时，与的面积比：，故正确； 综上所述，正确结论的序号有． 故答案为：． 17.如图，菱形中，，，点是直线上一动点，点在直线上，若，则的最小值是          ． 【答案】    【解析】如图，连接，作的外接圆，连接、、、．四边形是菱形，，，．，，，，，，．，，，点在上运动．，，，易求得，．，的最小值为． 18.如图，在梯形中，，，，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得，连接，在左侧有一点，使得为等腰直角三角形，且，连接则的最小值为______． 【答案】  【解析】解：连接，过作，取，连接，，过作， ，， ，， 为等腰直角三角形，，， ，， ∽，， 是的中点，， ，， 将沿翻折得， ， ， ，， ，， ≌， ，，， ， ， 当、、三点共线时有最小值，最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分计算：． 【答案】解： ．  20.本小题分解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，所有整数解的和为．  【解析】解：， 由不等式得， 由不等式得，所以， 所以它的所有整数解的和为：． 21.本小题分如图，一次函数为常数，与反比例函数的图象相交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，点的横坐标为． 求的面积；当时，直接写出的取值范围． 【答案】的面积为；   或．  【解析】解：把，代入，得， 解得，一次函数的解析式为； 把代入得：， 反比例函数解析式为， 当时，，， ，，，， 的面积为； 由，，即一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．由图象可得：或． 22.本小题分我们知道“顺次联结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法如图： 在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； 作，交边于点；作，交边于点；联结． 求证：小明画出的四边形是平行四边形； 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，点在边上，请你仅用一把无刻度的直尺只能作经过两点的直线，画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示 【答案】见解析．  【解析】证明：，， ，， ，，， ， ，，，四边形是平行四边形； 解：如图，四边形即为所求． 23.本小题分 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材 图是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上． 素材 小华同学按图的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图的方式裁剪，且． 素材 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图， 步骤：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小． 问题解决 任务 请比较小华、小明同学裁出的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务 任务请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】解：任务一：，理由如下： 小华：设正方形的边长为，， 由题意得：∽， ， 解得：， ； 小明：由题意得：， ∽， ， 解得：， ∽， ， 解得：，， ， ， ； 任务二：由题意得：∽， ：：：：， 设，，， 同理：∽， ， 解得，， ， ∽， ， 解得：， ， 矩形的边长为：；．  24.本小题分抛物线交轴于点和点，交轴于点． 求抛物线的表达式； 如图，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； 将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点且与直线另一交点为点，为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】；  有最大值为，；   ，．  【解析】解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为； 过点作轴于点． ， ，直线：， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值为，此时； 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移个单位，则向上平移个单位， 则， 当时，，则， 则， 联立上式和直线的表达式得：，则舍去或， 即点， 当点在下方时， ，则， 则直线的表达式为：， 当点在上方时， 同理可得：直线的表达式为：， 分别联立和新抛物线的表达式得：或 解得：或， 故，． 25.本小题分如图，是的直径，是圆上不同于，的任意一点，延长到点，连结过点作，交于点，连结． 求证：． 如图，若，，，求的值． 若，求的值用含的代数式表示． 【答案】见解析；  ；  ．  【解析】证明：是的直径，是圆上不同于，的任意一点，，交于点，如图，设，交点为， ，， ， ； 解：，，， ， ， ∽， ， ， ， ∽， ，即， ， ， ； 解：过点作于点， ，， ， ，，， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ， ∽， ，即， ，即， ， ， ， ， ． 第6页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$