重庆市第八中学校2025-2026学年度下学期期中考试高一年级数学试题

**基本信息** 重庆八中高一下期中数学卷聚焦复数、三角函数、解三角形、向量核心知识，通过无人机测河宽（题6）、血压模型（题10）等真实情境，融合数学眼光观察、思维推理与语言表达，实现基础巩固与创新应用统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数（题1）、三角函数定义（题2）|基础概念辨析，如纯虚数条件判断| |选择题（多选）|3/18|复数性质（题9）、血压模型（题10）|多维度考查，如三角函数应用分析| |填空题|3/15|向量数量积（题12）、解三角形最值（题14）|多空设计（题14两空），综合计算能力| |解答题|5/77|向量动态问题（题18）、新坐标系探究（题19）|分层递进，如矩形动点多问；创新情境，如自定义坐标系应用|

重庆八中 2025-2026 学年度(下)半期考试高一年级 数学试题 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知复数 是纯虚数，则实数 A. -2 B. C. D. 2 2. 已知 是角 终边上的一点,则 A. B. C. D. 3. 在 中,内角 的对边分别为 . 已知 , 且 ,则 A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 4. 已知复数 ( 为实数),且 ,则复数 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在 中,点 在边 上且 是 的中点。设 , 则 A. B. C. D. 6. 如图,一架无人机悬停在河岸上方 高处, 无人机、近岸点 和远岸点 在同一铅垂平面内且垂直于河岸. 无人机测得点 的俯角为 ,测得点 的俯角为 ,则河流宽度 为 A. B. C. D. 7. 在直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形内有一内切圆 是内切圆的直径,点 为三角形三条边上的动点，则 的取值范围为 A. B. C. D. 8. 如图，在四边形 中， ， 为等边三角形， 则 面积的最大值为 A. B. C. 2 D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知复数 ,下列说法正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 . 若 ，则 为实数 D. 10. 血压是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力, 其心动周期中的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压. 根据《中国高血压防治指南》，在未使用降压药物的情况下，18 岁以上成人若收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，可诊断为高血压。李某今年52岁，未使用过降压药，在某日早晨6:00开始检测动态血压(记此时 )， 其动态血压值(单位: )与经历的时间 (单位: )近似满足关系式: ,则下列说法正确的是 A. 当天早晨 ,李某的血压逐渐上升 B. 当天早晨9:00时，李某的血压约为 C. 当天李某的血压未达到高血压诊断标准 D. 当天李某达到收缩压的时刻与下次达到舒张压的时刻相差约 11 设点 为 所在平面内一点,内角 的对边分别为 ,则下列说法正确的有 A. 若 与 共线,且 与 共线,则 是 的内心 B. 若 是 的外心，则 C. 若 ,则 是 的垂心 D. 若 ,则 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. 已知向量 满足 与 的夹角为 ,则 _____, 13. 函数 (其中 的部分图象如图所示,则 _____. 14. 在 中,内角 的对边分别为 . 已知 , ，当 _____最小时， 的面积为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在 中,内角 的对边分别为 ,且满足 . (1)求 ； (2)若 的面积为 ，求 的周长. 16. 已知函数 . (1)求函数 的最小正周期及单调递增区间； (2)若 ,且 ，求 . 17. 在 中,内角 所对的边分别为 ,且满足 . (1)求 ； (2)设点 在边 上， ，且 ， ，求 的面积. 18.如图，在矩形 中， ，点 在边 上运动(含端点)，点 在边 上运动(含端点)， 与 交于点 . (1)若 是 的中点， ， ，求实数 的值； (2)若 是 的中点， ，求实数 的取值范围； (3)若 ， ，求 的最大值. 19.如图,设 是平面内相交成角 的两条数轴, 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量. 若向量 ,则把有序数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标. (1)已知 ，向量 ， 在该坐标系下的坐标分别为 和 ,求 ; (2)在 的坐标系中，点 分别在 轴、 轴的正半轴上，且 ，点 在线段 上运动,设 . (i) 若对于线段 上的任意一点 ,都有 成立 ( 为常数),求 的值; (ii) 在 (i) 的条件下,记向量 在向量 上的投影向量为 ,求 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $重庆八中2025一2026学年度（下）半期考试高一年级 数学试题 参考答案 一、选择题 题号1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案A B D C D A B BD ACD ACD 填空题 题号 12 13 14 答案 19 5 5 1.【解析】z=(2-)1+bi)=(2+b)+(2b-1)i,由于该复数为纯虚数，因此：2+b=0且 2b-1≠0，解得b=-2.故答案为：A. 2.【解析】根据三角函数定义的推广定义：cosa=,其中r=√+y,故 3 cosa= 二2，又由诱导公式：cos(π-a)=-cosa=-3 ,故答案为：B. 32+(-4)2 3.【解新】由正弦定理品中。得：血s恤42生 sinA sin B 2 ,故B=45或135°.若 B=45,则C=105,由c<a可得C<A,不合题意，故B=135°.故答案为：D. 4.【解析】由m+i<2,则√m2+12<√2，得-1<m<1,复数m(3+)-(4+i)化简得 (3m-4)+(m-1)i,故3m-4<0,-1<0,则对应的点在第三象限.故答案为：C. 5.【解析】由E为CD中点，得CD=2CE=2i,由BD:DA=2:1,得CD=CB+2CA, 3 即20=号m+C8,整理得：C⑧=-2m+6m.故答案为：D 6.【解析】如图，设无人机位置为A,A在地面投影为O,则AO=120m.在△AOP中， OPOP =tan303 A0120 3，故OP=403m 重庆八中2025一2026学年度（下）半期考试高-年级数学试题 第1页共8页 在△A0Q中， 09-Oe=tam75°=tan(30+45)=3 =2+5，故 A0120 1- 3 3+1 0Q=240+120W3(m),故PQ=240+120N3-40N3=240+80N3.故答案为：A. 7.【解析】由题意可知内切圆半径为1，即OC=1, 则PC.PD=(P0+0G-(P0+0D)=(P0+0C-(P0-0C)=Po2-0C2=Po-1, 点P在三角形三条边上运动，则|POl为内切圆半径r=1,PO为O到三角形顶点的 距离最大值，则PO=√0，因此PC.PD的取值范围为[0,9].故答案为：C. 8.【解析】在△ADC中，设∠ADC=0,则S△Moc=5×AD×CDsin6=2sin8, 1 2 由余弦定理知：AC2=AD2+CD2-2AD.CD cos0=8-8cos0, △ABC中，S△MBC= 1V3 AC2=2W5-23cos日，又易知△ABD和△BCD全等， 22 故Saam=Sc+5及ae)=sm0-5cos0+5=2sn0-学+5，故当8-号-经 即9=5元时，S6c0=2+V5.故答案为：B. 6 9.【解析】对于选项A:反例：设名，=1,22=-1，满足=22=1，但3+z2=0, 故A错误，对于选项B:由模的性质，乙·Z=2=1,故B正确.对于选项C:设a=a+bi, 配=a-6+2abi,若z<0,则600，当a=b=0时，=0，不符合题意 当a≠0，b=0时，z,2>0,，不符合题意：当a=0,b≠0时，z2<0,符合题意，此时 1=bi是纯虚数，故c错误.对于选项D:设a1=a+bi,则z2=(a2-b2)+2abi, 2=Va2-b22+(2ab=@2+6y=a2+b2.故=2，故D正确.故答案为：BD. 10、【解折】对于选项A:早晨6：0-7：0对应1e0,小，此时名4+号=听径，p0 6 单调递增，故A正确.对于选项B:早晨9：00对应t=3,代入p(t)有： 重庆八中2025一2026学年度（下)半期考试高-年级数学试题第2页共8页 p83)=10+25sng×3+9-10+25x9 4 127.68，故B错误，对于选项C:收缩压 p()mx=110+25=135<140,舒张压p()mm=110-25=85<90,故当天李某的血压未达 到高血压诊断标准.对于选项D:当sin(1+)=1时，达到收缩压，sin(匹1+)=-1时， 4 4 达到舒张压，两个时刻的最小差值即为半个周期，由于T=2r=2刀=12，故相差约6h, 0π 6 故D正确故答案为：ACD. 11.【解析】对于选项A: AB AC 是∠BAC两边单位向量的和，与角平分线共线， AB PA与AB AC 共线，即PA平分∠BAC,同理PB平分∠ABC,则P是△ABC的内心， AC 故A正确：对于选项B:PA.AB=PA:(PB-PA)=PAPB-P,因为P是△ABC的外 心，PA.PB=Rcos2C（∠APB=2C)，并且PA=R,所以PAPB=R2cos2C, PA.AB=PA.PB-PA=R2 cos2C-R2=R2(cos 2C-1)=-2R2 sin2C, =2 RsinC)=4Rsn2C,故PA丽=，故B错误：对于选项C:由于 (PA.PB)·AB+(PB.PC)-BC+(PC.PA)CA=0,则 (PAPB)·AB+(PB.PC)·BC+(PC.PA(BA-BC)=O,整理得 (PA.PB-PC.PA).AB+(PB.PC-PC.PA).BC=0,PA.CB.4B+PC.AB.BC=0: 由于AB与BC不共线，故PA.CB=PC.AB=0即，PA⊥CB,PC⊥AB,则P是△ABC 的垂心，故C正确：对于选项D:由PA+PB+PC=O,可知P是△ABC的重心，对等式 两边平方：PA+PB+P+2(PAP8+PB.PC+PCPA=0,由边长与向量的关系： a2=BC=|Pc-PB=PE+Pd-2Ps.PC,同理： 重庆八中2025一2026学年度（下）半期考试高一年级数学试题第3页共8页 b2=p+|Pd-2PapC,c2=p+Pg-2pA-pB,三式子相加得： ++=2P+PB+PC)-2(PA.PB+PB.PC+PC.PA), a2+b2+c2=3P+P+PC),即|PA+PB+PC=(a2+b2+c),故D正确： 故答案为：ACD 12。【解析】由向量数量积的定义，得a-i=cos60=3, 又a+=+2a-6+=19,所以a+=9.故答案为：i9. 13.【解析】由图象最高点为2，得A=2.最高点x=兀到零点x=刀的距离为乃-=亚 12 3124 对应号，故T=,由@=径，得o=2.函数为/()=2如(2x+,代入最高点（合2] 2如2+92m*9小-1得+p-+2a,结合州取=0，得- f6-=2sim2x+写) 代入=0有：f0=2号=25-=5.微答案为：5. 2 14.由已知条件和正弦定理可得： sin A,sin B 3sin B cosA cos B cos B tan 4+tanC=3tan B=-3tan(+C)=-3x tan 4+tanC ,显然tanA+tanC≠0，故 1-tan Atan C tan 4+tan C=-3x tan 4+tanC ,左右同除tanA+tanC可得：tan Atan C=4,故 1-tan Atan C tan B=-tan(A+C)=- tan A+tan C tan A+tan B 1-tan Atan C 3 故anB=tan4+ianC≥·2√tan Atan C_号，当且仅当anA=tanC即A=C时，B最小 3 3 时，此时am8-号此时如B-号且ac=1,故ccs血8-子，放答案为：号 5 15.【解析】(1)由(a+b+c)(a+b-c=3ab展开得a2+b2-c2=ab,由余弦定理 COsC=+62-c2 1 2b=2,结合0<C<180,得C=60.…5分 重庆八中2025一2026学年度（下）半期考试高一年级数学试题第4页共8页 ()②由盾积公式5 obinC=ad ab=V5,故ab=4,又a+b=4,由余弦定理： 4 cosC-02+-c=可得：ad2+8-c=b=4, 2ab 2 故a2+b2=(a+b)2-2ab=16-8=c2+4=8,故c=2,所以△ABC的周长为 a+b+C=6.… …13分 16.【解析】（1)先化简函数： fe)=smoanix+分osx-n2r+eosix-sm 1 2 sin2x+cos2x=2s 1 1 sn2x+） 2 4 故最小正周期T=2T=元：由-+2m≤2x+s+2km(keZ), 4 2 得单调培区间为+红+]2)… …7分 e油a+引-9na+到-9s2a-要，得co2a=分 因a为锐角，故2a-2,即a=,si如a=5 1 cosa=- 3 2 2 3 4 由cos(a-P)=号，a,B为锐角且a>B,得sim(a-P)=5: sinB=sin[a-(a-B)=sinacos(a-B)-cosasin(a-B), 代入得：9im0=531.43W5-4 …15分 252510 17.【解析】(1)由正弦定理，b=2 RsinB,c=2 RsinC,a=2 RsinA, 原式化为：sin BcosC+sin Ccos B=2 sin AcosA, 即sin(B+C)=sin2A, 因为sin(B+C)=sinA,所以sinA=sin2A=2 sinAcosA, SinA≠0，得cosA=7,A-7 。…6分 3 (2)设DC=x,则BD=2x,BC=3x,AC=b, 重庆八中2025一2026学年度（下）半期考试高一年级数学试题 第5页共8页 在△ABD中：coS∠ADB=D+BD2-AB2_7+4K-94K2-2 2·AD·BD27.2.x4W7x 在△ADC中：cos∠ADC=4D+DC2-AC27+2-b: 2·ADDC2N7·x 由∠ADB+∠ADC=元，得cOS∠ADB=-cOS∠ADC, 整理得6x2-b2=9; 在△4BC中：(3x}=32+62-2-3-bco 3' 即9x=9+b2-36,联立解得6=3，面积S=9 …15分 4 18.【解析】（1)如图，建立平面直角坐标系， G 则40o,re,,D0,B0,0, 所以F-2写.E--, 设点G(x,y),则AG=(x,y), 由4G=证，得c,0=2,争， [x=2 所以 即G2,2, 设DG=kDE,则(21， 3-0=0,-0, 2=k 所以 3 2-1=-k' 解得入=。： …5分 8 （2)易知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),E(1,0),F(2,t),t∈[0,1， 由AG=4AF得：G(24,4W, 重庆八中2025一2026学年度（下)半期考试高-年级数学试题第6页共8页 设DG=kDE,则(24，μ-1)=k(1,-1), 所以 产女可得-由于1e故=，中3写的10分 2μ=k (3)因为A,G,F三点共线，且DG=mDA+nDF, 所以m>0,n>0,m+n=1, 设AE=BF=x,x∈[0,1]· 则A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),E(x,0),F(2,x). 所以DA=(0,-1),DF=(2,x-),DE=x,-1), 所以DG=mDA+nDF=(2n,-m+x-m)=(2,-1+x), 又DG/1DE,所以-2n=-x+x2, 2+7,m=1-n= 所以n= 2-x+2 2+x2, 所以”=2+足 mx2-x+2x2-x+2 2+x2 若x=0.则”=0， m 若x∈(0，小，则”= mX2-x+2x+2-1 2 由于当x∈(0，]时，x+2单调递减，故当x=1时，”取得最大值为 m 综上所述： ”的最大值为 。…17分 19.【解析】(1)己知0=30°，m=(2,1),n=(,-1), 因此m=2g+6,i=g-6,且G:6=cos30°=5 1 则mi=2g+9)-g-g)=2g-g2-66=2-1-5= ;…4分 2 2 重庆八中2025一2026学年度（下）半期考试高一年级数学试题第7页共8页 （2)0若0=60，则-名=6060-方因为线段B上的任意一点P,都有x+句=2 成立，所以端点A,B也满足，点A,B分别在x轴、y轴的正半轴，则A么，0)，B0,弓， 2- AB=0B-0A=-28+202, k 四(-2+2=4+部-8=4+÷× =3, 整理得：k2-4k+4=0,解得k=2;…10分 (ii)由(i)知x=2-2y,且y∈[0,1]， 0P=(2-2y+ye,万=-8+e, 且56g+8-+1-248-+1-2x1x1x1,8 0m.6=2-29+g-+=②y-2++0-20-gg=-1+, 明+ 其中y∈[0,1， 最小值在y=二处取得，最小值为0， 最大值在y=0处取得，最大值为1，故的取值范围为[0，小.…17分 重庆八中2025一2026学年度（下）半期考试高-年级数学试题第8页共8页