精品解析：黑龙江哈尔滨市虹桥初级中学校2025-2026学年下学期九年级期中测试（数学）试卷

虹桥中学2025-2026（下）初三学年期中测试（数学） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于四边形的说法，正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 菱形的对角线相等 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 5. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为3，则斜边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 25 D. 16 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070 C. 2x(x＋1)＝2070 D. ＝2070 9. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则a的值是_______． 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 13. 平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠D＝ _______度 14. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是 ___________． 15. 如图，数轴上点A所表示的实数是________ 16. 如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则的长为__________．     17. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是______． 18. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E是AD的中点，点F是BC边上的点，连接EF，DF，，则DF的长为______． 19. 如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，连接、，则的最小值为__________． 20. 如图，正方形，点是上一点（不与点，重合），过点作交线段于点，垂足为，延长到点，使得，连接，，，．下列结论①；②；③若，则；④．正确的选项是__________． 三、解答题：（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 23. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画以为一边的正方形，点、均在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画以为一边的菱形，点、均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为，连接，并直接写出线段的长． 24. 如图，在平行四边形中，，是对角线，是的平分线，交边的延长线于点． （1）证明：； （2）若，，写出图中长度等于的所有线段． 25. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． （2）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． （3）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 26. 新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①． （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是___________． （2）性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图②，若四边形是垂美四边形，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，则： ①求证：． ②___________． 27. 如图（1），点是的边上的任意一点，点是的中点，点是内一点，，连接、，且； （1）求证：四边形是矩形； （2）如图（2），连接并延长，交边于点，若，求证：； （3）如图（3），在（2）的条件下，连接并延长交边于点，交的延长线于点，，，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹桥中学2025-2026（下）初三学年期中测试（数学） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程转化为一般形式，进行判断即可． 【详解】解：， ∴， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式．熟练掌握一元二次方程的一般形式：，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项，是解题的关键． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：的被开方数含有分母， 不是最简二次根式，故A错误； 对于选项B：，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故B错误； 对于选项C：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故C正确； 对于选项D：，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D错误． 3. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：． 4. 下列关于四边形的说法，正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 菱形的对角线相等 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查矩形、菱形的性质，正方形的判定，熟练掌握矩形、菱形与正方形的性质定理是解题的关键．根据菱形、矩形、平行四边形的性质和正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】A.矩形对角线相等，故不符合题意； B.平行四边形是中心对称图形，故不符合题意； C.菱形对角线互相垂直，故不符合题意； D. 有一个角是直角的菱形是正方形，故符合题意； 故选：D 5. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为3，则斜边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 25 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设斜边长为，结合勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设斜边长为， ∵直角三角形的斜边长比一直角边长大1， ∴直角边长为， ∵另一直角边长为． ∵直角三角形满足勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方， ∴列方程得： 解得， 即斜边长为． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】根据矩形的性质，得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 解得． 故选C． 7. 如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，先求出，再求出，继而可得出答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070 C. 2x(x＋1)＝2070 D. ＝2070 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人， ∴全班共送：（x﹣1）x=2070， 故选A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系是解决问题的关键． 9. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据新运算得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况． 【详解】解：根据题意得， ∆， 方程无实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与∆有如下关系：当∆时，方程有两个不相等的实数根；当∆时，方程有两个相等的实数根；当∆时，方程无实数根． 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则a的值是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键． 直接将代入一元二次方程中可得结果． 【详解】解：根据题意将代入一元二次方程中得： ， ∴， 故答案为：5． 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】依据被开方数大于等于求解即可． 【详解】∵二次根式被开方数大于等于， ∴ ∴． 13. 平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠D＝ _______度 【答案】140 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，对角相等，邻角互补可知可知：∠A+∠D=180°．把∠A=40°代入可求解．． 【详解】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠A+∠D=180°， ∴∠D=180°-40°=140°, 故答案为140． 【点睛】本题考查平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质： ①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 14. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是 ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算出“弦”长，再估算出其取值范围即可． 【详解】解：由题意得“弦”是， ∵，，， ∴10更接近于9， ∴接近于3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 15. 如图，数轴上点A所表示的实数是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴与无理数，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理计算出长度，即长度，进而计算长度，则题目可求． 【详解】解：如图，由勾股定理得：， 则， ， ∴点A所表示的实数是． 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则的长为__________．     【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，由三角形的中位线性质可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 17. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质可得，，，，运用勾股定理可得的长，再根据菱形面积的计算方法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴， ， ． 故答案为：． 18. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E是AD的中点，点F是BC边上的点，连接EF，DF，，则DF的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，先过F作FG⊥AD于G，构造直角三角形，根据勾股定理求得EG的长，再根据勾股定理求得DF的长即可． 【详解】解：①如图所示，当BF＞CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF=4， 在Rt△EFG中，EG==2， 又∵E是AD的中点，AD=BC=8， ∴DE=4， ∴DG=4-2=2， 在Rt△DFG中，DF=； ②如图所示，当BF＜CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF=4， 在Rt△EFG中，EG==2， 又∵E是AD的中点，AD=BC=8， ∴DE=4， ∴DG=4+2=6， ∴Rt△DFG中，DF=， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意分类思想的运用． 19. 如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、，由菱形的性质容易证明是等边三角形，从而计算出．由对称性可得，则，因此当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接、、， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 20. 如图，正方形，点是上一点（不与点，重合），过点作交线段于点，垂足为，延长到点，使得，连接，，，．下列结论①；②；③若，则；④．正确的选项是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，容易判断是等腰直角三角形，则，，从而证明，则；对于②，连接，容易证明，从而判断是等腰直角三角形，则；对于③，作于点，设与的交点为，容易证明，则，代入计算可得；对于④，容易判断四边形是平行四边形，则，在中，，结合，，即可得到． 【详解】解：对于①：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 对于②：如图，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故②错误； 对于③，如图，作于点，设与的交点为， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 整理，得， ∴，故③正确； 对于④：∵，。 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∵，， ∴，故④正确． 三、解答题：（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，熟练掌握分式的化简求值计算法则是解题的关键； 先将原式化简，再将代入，即可求解； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， 解得，． 23. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画以为一边的正方形，点、均在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画以为一边的菱形，点、均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为，连接，并直接写出线段的长． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）利用一线三直角模型依次找到点和点，连接成四边形即可； （2）利用网格可知，，结合面积为，则菱形的高为，故取点和点上5个单位处的格点，即为所求的点和点，连接即可，再使用勾股定理计算出． 【小问1详解】 解：正方形如图所示： 由一线三直角模型，容易证明，由网格可知，， ∴四边形是正方形． 【小问2详解】 解：菱形和线段如图所示： 由图可知，，，， ∵， ∴四边形是菱形， ，符合题意． 24. 如图，在平行四边形中，，是对角线，是的平分线，交边的延长线于点． （1）证明：； （2）若，，写出图中长度等于的所有线段． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出，，进而得出答案； （2）利用等边三角形的判定方法得出和是等边三角形，再证明得出≌（ASA），即可得出，进而可判定为矩形，再利用矩形的性质可得，进而可得答案． 【小问1详解】 证明：如图， 是的平分线， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ． 【小问2详解】 解：， 理由：如图，，， ， ， ， 则是等边三角形， 可得，， ， ， 是直角三角形，， 在和中， ≌（ASA）， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，得出是得出四边形是平行四边形的关键． 25. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． （2）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． （3）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】（1）； （2） （3）销售单价应为元 【解析】 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）根据题意列出关系式即可； （3）将代入（2）中的关系式，解方程求出的值，并根据题意进行取舍． 【小问1详解】 解：根据题意，当销售单价定为每千克55元，月销售量为（千克）， 月利润为（元）； 【小问2详解】 解：根据题意可得，； 【小问3详解】 解：将代入，得， ， 整理，得， 解得，， 当时，月销售量为（千克）； 当时，月销售量为（千克）； ∵， 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：销售单价应为元． 26. 新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①． （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是___________． （2）性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图②，若四边形是垂美四边形，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，则： ①求证：． ②___________． 【答案】（1）菱形、正方形 （2）正确；理由见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，结合垂美四边形的定义，即可求解； （2）由勾股定理得，即可求解； （3）①连接，由正方形的性质得，由即可得证；②由垂美四边形得，，即可求解． 【小问1详解】 解：概念理解：菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形． 故答案为：菱形、正方形． 【小问2详解】 解：性质探究： 正确．理由如下： 连接、 四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理得， ； 【小问3详解】 解：问题解决：①连接， 正方形和正方形， ， ， 即， ； ②， ， 又 ∴，即， ∴四边形是垂美四边形． 由（2）得，， ∵，， ，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等；理解新定义，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 27. 如图（1），点是的边上的任意一点，点是的中点，点是内一点，，连接、，且； （1）求证：四边形是矩形； （2）如图（2），连接并延长，交边于点，若，求证：； （3）如图（3），在（2）的条件下，连接并延长交边于点，交的延长线于点，，，当时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作的外接圆，容易判断为圆的直径，点为圆心，由可得点也在圆上，因此，命题得证； （2）以为直径作圆，圆心为点，容易判断点、都圆上，由可得，则，进而得到，因此，．由可得，从而得到，由可得，因此； （3）设与交于点，作于点，设，结合（2）的结论容易证明，从而得到，．容易判断四边形是正方形，进而证明，则，，结合可得，．利用勾股定理可得，再使用面积法可得，则．由可判定和，从而计算出，．由可判定，则，计算得，在中，利用勾股定理构造方程，解得． 【小问1详解】 证明：如图，作的外接圆， ∵，点是的中点， ∴为圆的直径，点为圆心， ∴， ∵， ∴点也在圆上， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 证明：由（1）可知，， ∴点、都在以为直径的圆上， 如图，以为直径作圆，圆心为点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点，作于点，设， 由（2）可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，，又， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得（负值，舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $