黑龙江哈尔滨市虹桥初级中学校2025-2026学年下学期九年级期中测试（数学）试卷

虹桥中学2025-2026（下）初三学年期中测试（数学） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于四边形的说法，正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 菱形的对角线相等 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 5. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为3，则斜边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 25 D. 16 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070 C. 2x(x＋1)＝2070 D. ＝2070 9. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则a的值是_______． 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 13. 平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠D＝ _______度 14. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是 ___________． 15. 如图，数轴上点A所表示的实数是________ 16. 如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则的长为__________．     17. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是______． 18. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E是AD的中点，点F是BC边上的点，连接EF，DF，，则DF的长为______． 19. 如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，连接、，则的最小值为__________． 20. 如图，正方形，点是上一点（不与点，重合），过点作交线段于点，垂足为，延长到点，使得，连接，，，．下列结论①；②；③若，则；④．正确的选项是__________． 三、解答题：（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 23. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画以为一边的正方形，点、均在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画以为一边的菱形，点、均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为，连接，并直接写出线段的长． 24. 如图，在平行四边形中，，是对角线，是的平分线，交边的延长线于点． （1）证明：； （2）若，，写出图中长度等于的所有线段． 25. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． （2）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． （3）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 26. 新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①． （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是___________． （2）性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图②，若四边形是垂美四边形，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，则： ①求证：． ②___________． 27. 如图（1），点是的边上的任意一点，点是的中点，点是内一点，，连接、，且； （1）求证：四边形是矩形； （2）如图（2），连接并延长，交边于点，若，求证：； （3）如图（3），在（2）的条件下，连接并延长交边于点，交的延长线于点，，，当时，求的长． 虹桥中学2025-2026（下）初三学年期中测试（数学） 一、选择题（每题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题：（每题3分，共30分） 【11题答案】 【答案】5 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】140 【14题答案】 【答案】3 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】或##或 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】①③④ 三、解答题：（共60分） 【21题答案】 【答案】， 【22题答案】 【答案】（1） （2）， 【23题答案】 【答案】（1） 正方形如图所示： （2） 菱形和线段如图所示： 【24题答案】 【答案】（1） 证明：如图， 是的平分线， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ． （2）， 理由：如图，，， ， ， ， 则是等边三角形， 可得，， ， ， 是直角三角形，， 在和中， ≌（ASA）， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【25题答案】 【答案】（1）； （2） （3）销售单价应为元 【26题答案】 【答案】（1）菱形、正方形 （2） 性质探究： 正确．理由如下： 连接、 四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理得， ； （3）①连接， 正方形和正方形， ， ， 即， ； ② 【27题答案】 【答案】（1） 证明：如图，作的外接圆， ∵，点是的中点， ∴为圆的直径，点为圆心， ∴， ∵， ∴点也在圆上， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2） 证明：由（1）可知，， ∴点、都在以为直径的圆上， 如图，以为直径作圆，圆心为点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $