第五章分式与分式方程 单元测试卷-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期

2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：分式与分式方程） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列式子中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式要求分母含有字母，据此逐一分析各选项即可得到结果． 【详解】解：A：分母为常数，属于整式，不是分式； B：中分母含有字母，符合分式的定义，是分式； C：中是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式； D：分母为常数，属于整式，不是分式． 2．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，然后代入求解． 【详解】解： ∴设，，， ∴． 3．下列分式计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本运算法则，根据分式的除法，加减，乘法运算法则，分别计算每个选项即可判断正误． 【详解】解：对选项A：，选项A错误； 对选项B：，计算结果与选项一致，选项B正确； 对选项C：，选项C错误； 对选项D：，选项D错误． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减运算，先通分，再按同分母的分式减法法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 【点睛】 5．分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，和的最小公倍数为，的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为因式． 6．关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 7．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据传统配送时间比无人机配送时间多，列方程即可． 【详解】解：∵设传统方式配送速度为，无人机配送速度是传统方式配送速度的倍 ∴无人机配送速度为， ∴传统配送时间为，无人机配送时间为， ∵无人机配送时间比传统方式快，即传统配送时间比无人机配送时间多， ∴列方程得 ． 8．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质和分式乘方运算，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故选项变形错误； B、分式有意义，则，即，可得，故选项变形正确； C、，故选项变形错误； D、是最简分式，，故选项变形错误． 9．改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键． 根据分式只有分子系数为小数，只需要把分子扩大倍数化为整数即可解答． 【详解】解∵中只有分子中系数含有小数，     ∴，， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 10．由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱．某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．则该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是（   ） A．800 B．1000 C．1200 D．1300 【答案】C 【分析】设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，则每天生产“乐融融”的个数是，根据总生产天数生产喜洋洋天数生产乐融融天数列方程求解即可． 【详解】解：设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，则每天生产“乐融融”的个数是 由题意得， 解得 经检验是原方程的解，符合题意 ∴该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．式子有意义的的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， ∵， ∴恒成立， ∴． 12．已知，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的基本性质和比例关系的应用，熟练掌握分式的基本性质和比例关系是解题的关键．利用分式的性质，将拆分为，再代入已知条件求解． 【详解】解：由分式的性质，可得： ， 已知，代入上式： ， 故答案为：． 13．若，则__________． 【答案】3 【分析】先对分子分母进行因式分解，将除法改成乘法后，约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 14．已知（且），，，…，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查式子规律，根据已知式子，找准规律是解决问题的关键． 根据前面几个式子的化简结果，得到规律是计算结果是以、、为循环节进行循环，由，即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， 计算结果是以、、为循环节进行循环， ， ， 故答案为：． 15．已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据分式方程的增根求参数的值，先将原分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程有增根得到增根的取值，再代入整式方程求解即可得到的值． 【详解】解：， 去分母，得， 展开并整理，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， ∴的值为． 16．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再把除法变成乘法，最后计算分式乘法即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案； （3）先把对应分式的分子和分母分解因式，再约分，最后计算分式减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，利用设参法进行求解即可． 【详解】解：， 可设，，， ． 20．通分： (1)，； (2)，，，． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的通分方法是解题关键． （1）先确定两个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得； （2）先确定四个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得． 【详解】（1）解：∵，的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，，，的最简公分母为， ∴，，，． 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解： ， 当时，原式． 22．先化简分式，再从中选取一个合适的整数代入求值． 【答案】；（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式，将代入化简后的分式进行求值即可． 【详解】解：由原式分母不为0， 得， 即 在此条件下，原式． 23．上周蔬菜经营户用90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，黄瓜的批发价为2.4元/千克，茄子的批发价为2元/千克． (1)他上周购买黄瓜、茄子各多少千克？ (2)本周黄瓜和茄子的批发价受各方因素影响发生了变化，茄子的批发价比黄瓜的批发价高0.5元/千克，该蔬菜经营户决定再次购买黄瓜和茄子，这次他用160元购进黄瓜，用120元购进茄子，发现购买的黄瓜、茄子的质量之比为，求本周购买黄瓜多少千克？ 【答案】(1) 购买黄瓜25千克，茄子15千克 (2) 本周购买黄瓜80千克 【分析】（1）设上周购买的黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意列出二元一次方程组，求出解； （2）设本周购买黄瓜的质量为千克，则茄子的质量为千克，根据题意列出分式方程，求出解，再检验得出答案． 【详解】（1）解：设上周购买的黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意，得 ， 解得， 所以上周购买的黄瓜25千克，茄子15千克； （2）解：设本周购买黄瓜的质量为千克，则茄子的质量为千克，根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 所以本周购买黄瓜为80千克． 24．某社区计划安装两种新能源充电桩，用1200米电缆安装快充桩，用360米电缆安装慢充桩．已知每个快充桩使用电缆比每个慢充桩多4米，且快充桩的数量是慢充桩数量的3倍，刚好用完电缆． (1)求快充桩、慢充桩各安装多少个？ (2)已知快充桩每个成本1000元，售价1500元；慢充桩每个成本400元，售价700元．因材料涨价，两种充电桩每个成本增加相同金额，售价不变．若全部投入使用后总利润不低于12000元，求每个充电桩成本最多增加多少元？ 【答案】(1)快充桩安装30个，慢充桩安装10个 (2)每个充电桩成本最多增加150元 【分析】（1）设慢充桩数量为未知数，根据“每个快充桩使用电缆比每个慢充桩多4米”的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果； （2）设每个充电桩成本增加的金额为未知数，根据总利润不低于12000元的不等关系列一元一次不等式，求解后得到最大增加金额． 【详解】（1）解：设安装慢充桩个，则安装快充桩个. 根据题意得： ， 化简得，即， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意. 则． 答：快充桩安装30个，慢充桩安装10个； （2）解：设每个充电桩成本增加元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：每个充电桩成本最多增加150元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：分式与分式方程） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列式子中是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 3．下列分式计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 6．关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A．B．C． D． 8．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 9．改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 10．由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱．某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．则该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是（   ） A．800 B．1000 C．1200 D．1300 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．式子有意义的的取值范围是______． 12．已知，则_______． 13．若，则__________． 14．已知（且），，，…，，则的值为________． 15．已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 16．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 19．已知，求的值． 20．通分： (1)，； (2)，，，． 21．先化简，再求值：，其中． 22．先化简分式，再从中选取一个合适的整数代入求值． 23．上周蔬菜经营户用90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，黄瓜的批发价为2.4元/千克，茄子的批发价为2元/千克． (1)他上周购买黄瓜、茄子各多少千克？ (2)本周黄瓜和茄子的批发价受各方因素影响发生了变化，茄子的批发价比黄瓜的批发价高0.5元/千克，该蔬菜经营户决定再次购买黄瓜和茄子，这次他用160元购进黄瓜，用120元购进茄子，发现购买的黄瓜、茄子的质量之比为，求本周购买黄瓜多少千克？ 24．某社区计划安装两种新能源充电桩，用1200米电缆安装快充桩，用360米电缆安装慢充桩．已知每个快充桩使用电缆比每个慢充桩多4米，且快充桩的数量是慢充桩数量的3倍，刚好用完电缆． (1)求快充桩、慢充桩各安装多少个？ (2)已知快充桩每个成本1000元，售价1500元；慢充桩每个成本400元，售价700元．因材料涨价，两种充电桩每个成本增加相同金额，售价不变．若全部投入使用后总利润不低于12000元，求每个充电桩成本最多增加多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $