河北省沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题

**基本信息** 涵盖复数、立体几何、向量等模块，通过正方体折叠（第8题）、四棱锥证明（第17题）等问题，考查空间观念与推理能力，适配高一期中综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|充分条件、复数纯虚数、棱柱定义|第3题辨析几何体概念，强化基础认知| |多选题|3/18|复数性质、解三角形|第10题结合正弦定理与面积公式，考查综合应用| |填空题|3/15|复数方程、正方体中点轨迹|第13题动点轨迹问题，提升空间想象| |解答题|5/60|向量共线、四棱锥线面平行、折叠问题|第19题折叠与面面垂直证明，体现推理能力|

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.若复数为纯虚数，则实数的值为(    ) A. B. 或 C. D. 3.下列说法正确的是(    ) A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 4.设非零向量，夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.在复平面内，复数满足，则复数的虚部为(    ) A. B. C. D. 6.在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，，则四面体的体积(    ) A. 与，都有关 B. 与，都无关 C. 与有关，与无关 D. 与有关，与无关 7.已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在边长为的正方形中，，分别是，的中点，是的中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于，下列说法错误的是(    ) A. 若把沿着继续折起，点与点恰好重合 B. C. 四面体的外接球体积为 D. 点在面上的射影为的重心 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设，为复数，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. C. D. 若，则 10.已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则(    ) A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 11.如图，在正方体中，下列结论正确的是(    ) A. B. 平面 C. D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若是关于的实系数方程的一个复数根，则           ． 13.如图所示，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的最小值是          ． 14.如图，扇形中，半径为，的长为，则所对的圆心角的大小为          弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数． 若为实数，求的值； 若为纯虚数，求的值． 16.本小题分 已知，． 求证：，不共线； 若，求实数，的值； 若与平行，求实数的值． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． 证明面； 当平面时，面与交于，求的值； 18.本小题分 在中，内角所对的边分别为，已知，，且． 求角的大小； 若，的面积为，求的周长． 19.本小题分 如图，在直角梯形中，，，且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图．                         图                                         图 求证：平面 求证：平面平面； 求点到平面的距离。 答案和解析 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  【解析】对于，因为，故把沿着继续折起，点与点恰好重合，故A正确． 对于，如图，因为，是的中点，故GD又，，，故平面． 而平面，故又，，平面，所以平面又平面，所以，故B正确． 对于，由翻折的性质可知，，，两两垂直，将其补成相邻三条棱长为，，的长方体，如图，则长方体外接球和四面体外接球相同， 其体对角线长，所以长方体外接球的半径为，故外接球的体积为，故C正确． 对于，设为点在平面上的射影，连接，，则，而，，，平面，故EF平面又平面，故EF，同理可证，即点为三角形高线的交点，所以点在平面上的射影为的垂心，故D错误． 故选D． 9.  10.  【解析】解：，， ，， ，由正弦定理可得， ，， 的面积为， ，， ， 或舍去， 的周长为． 故选ABD． 11.  【解析】解：如图，连接，，，，， 根据正方体结构特征，， 故分别在两个平行平面内，且它们不平行， 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又与相交，所以与是异面直线，故A错误； ，平面，平面， 所以平面 ，故B正确； 因为，则为等边三角形， 夹角为， 又 ，所以成角为， 故C错误； 因为平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面，故D正确． 故选：． 12.  13.  14.  【解析】解：由弧长公式得：， 即所对的圆心角的大小为弧度， 由三角函数定义可建立以点为坐标原点，所在直线为轴的直角坐标系，易得：，， 设，则， 则 ， 又，所以， 当，即时，取得最大值， 故答案为：，． 15.解：由题意得， 解得 由题意得 即 解得．  16.解：根据题意，，， 有，故，不共线； 根据题意，若，且，不共线； 则有，解可得； 根据题意，若与平行，设， 即，则有，则； 故．  17.解：  ，  平面  ，  平面  ，   面  ，                                       又   面  ，面  面  ，   ，                   又   面  ，  面  ，   面                           设  如图，连接  交  于点  ，连接  ，   平面  ，  平面  ，平面  平面  ，   ，                                                      在梯形  中，  ，  ，  ，       ，  ，    作  交  于  ，                                                             故                                    18.解：在中，内角，，所对的边分别为，，， 已知，， 且． 所以， 利用正弦定理整理得：， 所以， 即，由于， 故， 由于，所以． 由于的面积为， 所以，整理得． 利用余弦定理，解得， 所以周长．  19.解：证明：取中点，连结，， 在中，，分别为，的中点， 所以，且， 由已知，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，且平面， 所以平面． 证明：在正方形中，， 因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面． 在直角梯形中，，，， 所以，在中，，， 所以，所以，而平面平面， 得知：平面，即， 因为，，所以，，， 所以，， 设点到平面的距离为，根据，即， ，解得， 即点到平面的距离为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $