河北沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题

**基本信息** 以概率统计与排列组合为核心，结合新冠疫情、垃圾分类等现实情境，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、数据分析与运算推理能力，适配期中检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合（医生分配）、条件概率（滑雪与滑冰）|情境真实，基础概念辨析| |多选题|3/18|正态分布（成绩分析）、回归直线（利润预测）|选项分层，考查综合判断| |填空题|3/15|线性回归预测、二项式有理系数|聚焦关键能力，开放题设计（第14题）| |解答题|5/77|独立性检验（配料表关注）、分布列与期望（垃圾分类）、排列组合综合（电影选片、机器人排列）|问题链设计，融合实际应用与逻辑推理|

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年初，某市因新冠疫情面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国各地志愿者纷纷驰援现有名医生志愿者需要分配到两家医院每人去一家医院，每家医院至少去人，则分配方法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2.年月日，在日本千叶县举办的年第届国际数学奥林匹克竞赛公布比赛结果，中国队连续年获得团体第一奖牌榜显示，代表中国参赛的名队员全部获得金牌名队员中有名来自浙江，名来自上海，名来自广东，名来自湖南现在名队员中任意选调名队员介绍备战历程，则选调的名队员均来自浙江的概率为(    ) A. B. C. D. 3.，且的展开式中的系数为(    ) A. B. C. D. 4.某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(    ) A. B. C. D. 5.随机变量的分布列为，，，则 A. B. C. D. 6.甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为(    ) A. B. C. D. 7.根据如下两组数据，下列说法正确的是(    ) A. 和呈正相关，和呈正相关 B. 和呈负相关，和呈负相关 C. 和呈正相关，和呈负相关 D. 和呈负相关，和呈正相关 8.某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为单位：亿元，现统计前年的数据为，   ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为(    ) A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.甲公司从某年起连续年的利润情况如下表所示． 第年 利润亿元 根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下正确的是 A. B. 相关系数 C. 第年的利润预计大约为亿元 D. 第个样本点的实际值比预测值小 10.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩百分制分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是(    ) 附：若随机变量服从正态分布，则． A. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 B. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 C. 若，则甲同学成绩高于分的概率约为 D. 若，则乙同学成绩低于分的概率约为 11.下列结论正确的是(    ) A. B. 多项式展开式中的系数为 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知变量的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，据此模型预测，当时的值为          ． 13.已知随机变量服从正态分布，若，则          ． 14.已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了名男性消费者与名女性消费者，关注配料表的消费者共有人，其中女性人． 用列联表表示上述数据； 依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？ 附：，其中． 16.本小题分 年月日起，北京市垃圾分类管理条例正式实施，某社区随机对种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到如表： 垃圾分类 厨余垃圾 可回收物 有害垃圾 其他垃圾 垃圾种类 辨识率 辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值． Ⅰ从社区调查的种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率； Ⅱ从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记为其中辨识度高的垃圾种数，求的分布列和数学期望． 17.本小题分 某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，型血有人，型血有人，型血有人，型血有人．     从中任选名学生去献血，有多少种不同的选法？     从四种血型的学生中各选名学生去献血，有多少种不同的选法？     从中任选名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？ 18.本小题分 小明和小亮是两名篮球运动爱好者，根据统计数据，他们进行投篮练习时，小明投篮成功的概率为，小亮投篮成功的概率为，每次投篮成功与否相互独立． 小明单独进行投篮练习，一旦投篮成功便停止，求停止时，投篮次数不超过次的概率； 小明和小亮两人同时进行投篮练习，规定每人都投篮次，记他们总共投篮成功的次数之和为，求的分布列及数学期望． 19.本小题分 某大型电影院在春节期间推出了哪吒等部备受瞩目的大片，某天个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法 某市年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了件，件，件机器人进行展览，工作人员需要把台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法 树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“我们班也不是最后一个出场，且在我们班前面出场的班级数不少于后面出场的班级数”请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数． 答案和解析 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  【解答】 解：  ，  ， 所以 则 ，所以  ， 当  时，  亿元． 故选： 9.  10.  11.  【解答】 解：对于， ，故A正确； 对于，的展开式的通项为，要求的系数，， 当时，有，其中的系数为； 当时，有，不存在； 当时，有，其中的系数为； 当时，有，不存在． 故多项式展开式中的系数为，故B不正确； 对于，的展开式的通项为，可知，， 所以， 所以令，有， 因此． 故C正确； 对于， ，故D正确． 故选：． 12.  13.  14.取，，，，中任意一个值均可  【解答】 解：的展开式的通项为，，． 若系数为有理数，则，且． 当时，； 时； 时； 时； 时； 时，； 时，； 时，； 时，， 时，，． 所以可取，，，，中的任意一个值． 故答案为：取，，，，中任意一个值均可 15.解：依题意，列联表如下：                                                                                                           单位：人 性别 配料表 合计 关注 不关注 男性 女性 合计 零假设为：消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此可以认为成立，即认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关．  16.解：Ⅰ由题意可知，样本中垃圾种类一共种， 辨识度高的垃圾种数是：． 所求概率为． Ⅱ的可能取值为，，，． 依题意可知，．， ， ， ． 所以的分布列为 ．  17.解：在一个班级体检合格的学生中，型血有人，型血有人，型血有人，型血有人， 从中任选名学生去献血，有种不同的选法；   从四种血型的学生中各选名学生去献血，有种不同的选法；    从中任选名具有不同血型的学生去献血，有种不同的选法．  18.解：记小明用了次投篮就停止为事件，小明在停止投篮时投篮次数不超过次为事件， 则． 由题意可得的所有可能取值为，，，，． 则， ， ， ， ． 所以的分布列为： 期望．  19.解：个家庭依次选择，均有种方法， 根据分步乘法计数原理，所有不同的方法数为． 由题意知，先可以使用“捆绑法”将家公司的产品排在一起，再与公司的件产品一起组成个不同的元素排列，最后让公司产品插空． 所以符合条件的排法数为． 若甲所在班级第个出场，丙所在班级可以第或第个出场，乙、丁、戊所在班级可以在其他场次出场，符合条件的出场顺序数为， 若甲所在班级不是第个出场，则丁或戊所在班级第个出场，丙所在班级可以第或第个出场，甲在剩余的中间场中选择一场，符合条件的出场顺序数为， 所以所有可能的出场顺序数为   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $