第十章 二元一次方程组单元测试 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组单元复习，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合垃圾分类、双碳目标等社会热点及《九章算术》文化素材，适配抽象能力、运算能力、模型意识等核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程组定义、代入/加减消元法|第10题以《九章算术》追及问题考查数学文化| |填空题|6/18|解的应用、参数问题|第16题结合几何图形考方程组应用，体现几何直观| |解答题|8/72|解法应用、实际建模、创新探究|第20题新定义“邻好关系”考推理意识，第24题以“整体思想”考运算能力与创新意识|

第十章 二元一次方程组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ①②③⑤ 【答案】C 【详解】解：由二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次；可判断①②⑤是二元一次方程组． 2、 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A B. C. D. 【答案】B 【详解】解：将①式代入②式得， ， 3、小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则、的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【详解】利用①×a+②×b消去x， 则5a+2b=0 故a、b的值可能是a=2，b=-5， 4、下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为 ． 5、设，当时，；当时，，则k，b的值分别为（ ） A. ，2 B. ，4 C. 1，0 D. ，6 【答案】B 【详解】解：当时，；当时，，代入得： 解得： 6、已知，则等于（ ） A. B. C. －1 D. 1 【答案】D 【详解】解：由题可知， 解得：， ∴， 7、若关于x、y的方程组的解满足，则等于（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【详解】解： 两式相加可得：，即， ∴k-1=2024 ∴k=2025 8、践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：米乐比琪琪多收集了7节废电池， ； 若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍， ． 根据题意可列方程组为． 9、已知关于x，y的方程组的解是，又有关于x，y的方程组，则这个方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：； 10、《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据题意得： ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知是方程的一个解，那么a的值是_____________． 【答案】 【详解】解：把代入得： ， 解得：． 12、把方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 【答案】 【详解】解：原式为：， 把y移到等号的一边，其它项都移到等号另一边，得， 13、如果方程组的解中与的和等于5，则_______________． 【答案】6 【详解】解： ①＋②，得4x＋4y=4m－4 等式的两边同时除以4，得x＋y=m－1 ∵与的和等于5 ∴m－1=5 解得：m=6 14、已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为___________． 【答案】 【详解】解:∵关于、的二元一次方程组的解为， ∴ 关于、的二元一次方程组的解为：, ∴， 15、关于x、y的方程组的解满足，则m的值为______． 【答案】5 【详解】， ，得：③ 得： 解得， 将代入①得： 解得， 将代入得， 解得，． 16、在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为_______． 【答案】176 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 即小长方形的长为，宽为， 阴影部分的面积为 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 18、 解下列方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解： 由①得 ③， 把③代入②得：， 解得： 把代入①得： ∴； 【小问2详解】 整理得： 由①得 ③， 把③代入②得 解得：， 把代入得：， ∴． 19、在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 将代入②得， 将代入①得， ，． （2）解：由（1）得，， 原方程组为， ①2②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 原方程组的解为：． 20、 新趋势·新定义 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． （1）方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： （2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】（1）具有“邻好关系”，见解析 （2）或6 【小问1详解】 具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； 【小问2详解】 解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 21、为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由A,B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲： 乙： 根据甲、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． （2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【答案】（1）工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度 （2）见解析 【小问1详解】 解：依题意，甲：表示工程队用时的天数， 乙：表示工程队整治道路的总长度； 【小问2详解】 解：选第一种：， 解得， 答：工程队用时10天，工程队用时20天； 选第二种：， 解得：， 工程队用时：（天）， 工程队用时：（天）， 答：工程队用时10天，工程队用时20天． 22、某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，七、八、九三个年级学生捐款数额与受其捐助贫困中学生和小学生人数的情况如下表： 年级 捐款数额（元） 捐助贫困中学生人数（名） 捐助贫困小学生人数（名） 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 7200 （1）求a、b的值； （2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生学习的费用，请求出九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数各是多少？ 【答案】（1）， （2）初三年级学生可捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生 【小问1详解】 由题意得: 解得： 【小问2详解】 设初三年级学生捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生. 由题意得： 解得： 答：初三年级学生可捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生. 23、千佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元． （1）这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决） （2）该班在购买活动奖品时，A奖品每件20元，B奖品每件50元，如果准备用200元购买，A，B两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买A，B两种奖品的购买方案． 【答案】（1）参与活动的教师有 4 人，学生有 46 人 （2）购买A种奖品5件，购买B种奖品2件 【小问1详解】 解：设这个班参与活动的教师人，学生人， 由题意得：， 解得， 答：这个班参与活动教师4人，学生46人． 【小问2详解】 解：设购买种奖品件，种奖品件， 由题意得：， 则， 均为正整数， ， 答：购买种奖品5件，种奖品2件． 24、[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，4 (2)购买20支铅笔、20块橡皮共需160元 (3)1 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故答案为：，4； （2）解：设1支铅笔x元，1块橡皮y元， 由题意得：， 得：， ∴， 即购买20支铅笔、20块橡皮共需160元； （3）解：∵， ∴， 得：， ∴， ∴， ∴． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ①②③⑤ 2、 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A B. C. D. 3、小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则、的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4、下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 5、设，当时，；当时，，则k，b的值分别为（ ） A. ，2 B. ，4 C. 1，0 D. ，6 6、已知，则等于（ ） A. B. C. －1 D. 1 7、若关于x、y的方程组的解满足，则等于（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 8、践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9、已知关于x，y的方程组的解是，又有关于x，y的方程组，则这个方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10、《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知是方程的一个解，那么a的值是_____________． 12、把方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 13、如果方程组的解中与的和等于5，则_______________． 14、已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为___________． 15、关于x、y的方程组的解满足，则m的值为______． 16、在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 18、 解下列方程组 （1）； （2）． 19、在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 20、 新趋势·新定义 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． （1）方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： （2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 21、为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲： 乙： 根据甲、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． （2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 22、某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，七、八、九三个年级学生捐款数额与受其捐助贫困中学生和小学生人数的情况如下表： 年级 捐款数额（元） 捐助贫困中学生人数（名） 捐助贫困小学生人数（名） 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 7200 （1）求a、b的值； （2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生学习的费用，请求出九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数各是多少？ 23、千佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元． （1）这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决） （2）该班在购买活动奖品时，A奖品每件20元，B奖品每件50元，如果准备用200元购买，A，B两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买A，B两种奖品的购买方案． 24、[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $