第二十一章 四边形 单元测试 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】∵过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形， ∴这个多边形的边数是． 2、如图，小林从点P向正西走后向左转，转动的角度为，再走后向左转动……如此重复，小林共走了回到点P，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设边数为，根据题意， ， 则． 3、如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可得，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 4、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为　　 A. 13 B. 17 C. 20 D. 26 【答案】B 【详解】四边形ABCD是平行四边形， ，，， 的周长． 5、如图，△ABC中，，点D，E分别是边的中点，点F在线段上，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴是△ABC的中位线， ∵， ∴． ∵，D是的中点，， ∴， ∴． 6、如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则BC的长为（　　） A 4 B. 6 C. 8 D. 4 【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝4， ∴AC＝2OA＝8， ∴BC＝， 7、下面几种说法正确的（ ） ①对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ②一组对边平行一组邻边相等的四边形是菱形 ③两条对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线相等且垂直的四边形是正方形 A. ①②③ B. ①③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【详解】解：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意； ②一组对边平行一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故不符合题意； ③两条对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意； ④对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故不符合题意； 故正确的是①③， 8、 如图，已知▱ABCD的对角线交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，原结论正确，不符合题意，选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，原结论正确，不符合题意，选项错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原结论正确，不符合题意，选项错误； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原结论不一定正确，符合题意，选项正确， 9、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， ∴AE = AB，∠E =∠B ＝∠Ｄ =90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AB = CD， ∴AE = DC， 而∠AFE =∠DFC， ∵在△AEF与△CDF中， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF = DF； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD = BC = 6，CD = AB = 4， ∵△AEF≌△CDF， ∴FC = FA， 设FA = x，则FC = x，FD = 6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2 = CD2 + DF2， 即x2=42+（6﹣x）2，解得x =， 则FD = 6﹣x =． 10、如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【详解】设交于点，连接， 由作图可知，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴AB=BE， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ,，， ， ， 在中，， ， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形． 【答案】六 【详解】解：设这个多边形边数为x，内角和为， ∵多边形外角和为， ∴， 解得：， 12、 如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件 使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加，可以使四边形是平行四边形，理由如下： 连接，与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 13、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为______． 【答案】125° 【详解】解：Rt△ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°， 由折叠的性质知：∠BEF=∠DEF，而∠BED=180°﹣∠AEB=110°， ∴∠BEF=55°， 易知∠EBC=∠D=∠BC′F=∠C=90°， ∴BE∥C′F，∴∠EFC′=180°﹣∠BEF=125°． 14、如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴矩形的面积为48，， ∴， ∵对角线交于点O， ∴的面积为12， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15、 如图，菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4， S菱形ABCD=24，则___． 【答案】 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 16、如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有__________ 【答案】①②③④ 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在中，H是边的中点， ∴， 故④正确； 连接， 同理可得：， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故②正确； ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 综上可知，正确的有①②③④． 三、解答题：本题共8小题，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为， 根据题意，得 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为； （2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为， ， 这个n边形的内角和为． 18、如图，的周长为相交于点交于点，求的周长． 【答案】 【详解】解： 的周长为, ， 相交于点， ， 又交于点, ． 的周长, 的周长为 19、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵EF垂直平分AC， ∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴AF＝CF＝CE＝AE， ∴四边形AECF是菱形． 20、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB （2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）BN＝CN；证明见解析； 【详解】（1）如图，在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，AC=DB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB． （2）据已知有BN＝CN．证明如下： ∵CN∥BD，BN∥AC， ∴四边形BMCN是平行四边形． 由（1）知，∠MBC=∠MCB， ∴BM=CM， ∴四边形BMCN是菱形， ∴BN=CN． 21、如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC，BE ；若∠AFC＝2∠D，AB＝2，BC＝4． （1）求证：四边形ABEC是矩形； （2）求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，， ∴， ∴， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形ABEC是矩形． （2）四边形ABEC是矩形， ∴，， ∴． 故答案为． 22、如图，中，的平分线交于点，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，试求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线，即，， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ∴ 四边形是菱形； （2）解：过作于，则， ， ， ， 在中，， 四边形是菱形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 23、探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动． 在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． (1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________．证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_______． (2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：猜想与的数量关系为，     取的中点，连接， 四 边 形是正方形， ，， 为中点，点为的中点， ， ， ， 交正方形外角的平分线于点， ， ， ， ， ． ， ， 在和中， ， ， 故答案为：，； （2）解：成立，理由如下： 如图，在上取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，， ， ，是等腰直角三角形， ， ． 是的外角平分线，， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ． （3）如图，延长到，使， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 24、已知，如图O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（10，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒3个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，△BDP的面积为10？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，△BDP的面积为10 （2）t＝，点Q的坐标为（3，4）或t＝，点Q的坐标为（−3，4）或t＝1，点Q（8，4） 【小问1详解】 解：∵B（10，4），点D是OA的中点， ∴BC＝10，OC＝4，OD＝DB＝5， ∵△BDP的面积为10， ∴×BP×4＝10， ∴BP＝5， ∴CP＝5， ∴t＝； ∴当时，△BDP的面积为10 【小问2详解】 ①当点Q线段BC上时，如图1， 若四边形ODPQ是菱形， ∴OQ＝OD＝5， 在Rt△OCQ中，CQ＝＝3， ∴CP＝3＋5＝8， ∴t＝，点Q坐标为（3，4）； 若四边形ODQP是菱形， 同理可得点P（3，4），PQ＝5， ∴t＝＝1，点Q（8，4）； ②当点Q在射线BC上时，如图2， ∵四边形ODPQ是菱形， ∴OQ＝OD＝5， 在Rt△OCQ中，CQ＝＝3， ∴CP＝5−3＝2， ∴t＝，点Q的坐标为（−3，4）． 综上所述：t＝，点Q的坐标为（3，4）或t＝，点Q的坐标为（−3，4）或t＝1，点Q（8，4）． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2、如图，小林从点P向正西走后向左转，转动的角度为，再走后向左转动……如此重复，小林共走了回到点P，则的度数为(    ) A． B． C． D． 3、如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（    ） A． B． C． D． 4、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为　　 A. 13 B. 17 C. 20 D. 26 5、如图，△ABC中，，点D，E分别是边的中点，点F在线段上，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 6、如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则BC的长为（　　） A 4 B. 6 C. 8 D. 4 7、下面几种说法正确的（ ） ①对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ②一组对边平行一组邻边相等的四边形是菱形 ③两条对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线相等且垂直的四边形是正方形 A. ①②③ B. ①③ C. ③④ D. ②④ 8、 如图，已知▱ABCD的对角线交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 9、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ） A. B. C. D. 10、如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形． 12、 如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件 使四边形是平行四边形． 13、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为______． 14、如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为______． 15、 如图，菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4， S菱形ABCD=24，则___． 16、如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有__________ 三、解答题：本题共8小题，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 18、如图，的周长为相交于点交于点，求的周长． 19、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形． 20、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB （2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论． 21、如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC，BE ；若∠AFC＝2∠D，AB＝2，BC＝4． （1）求证：四边形ABEC是矩形； （2）求BE的长． 22、如图，中，的平分线交于点，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，试求的长． 23、探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动． 在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． (1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________．证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_______． (2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． 24、已知，如图O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（10，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒3个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，△BDP的面积为10？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $