专题11平行四边形复习讲义（11大核心题型+重点知识梳理）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题11平行四边形复习讲义 高效复习◆重点 1. 深刻理解平行四边形的定义，熟练掌握其核心性质与判定定理，明晰概念本质与逻辑关联。 2. 能够灵活运用平行四边形的性质与判定，规范完成几何证明、线段长度及角度计算。 3. 精准掌握三角形中位线定理，熟练应用其解决线段平行证明与线段倍分关系问题。 4. 全面把握等腰梯形的定义、性质及判定，厘清平行四边形与等腰梯形的核心区别。 5. 掌握平行四边形、等腰梯形的常用辅助线作法，突破几何综合题解题瓶颈。 6. 规范几何语言书写格式，培养严谨的逻辑推理与规范的几何论证能力。 核心题型◆归纳 题型1利用平行四边形的性质求解 题型2利用平行四边形的性质证明 题型3等腰梯形的性质定理 题型4添一个条件成为平行四边形 题型5证明四边形是平行四边形 题型6利用平行四边形的判定与性质求解 题型7平行四边形性质和判定应用 题型8与三角形中位线有关的求解问题 题型9与三角形中位线有关的证明 题型10三角形中位线的实际应用 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、平行四边形的定义 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中， AB∥CD，AD∥BC， 四边形ABCD是平行四边形。 2.核心要点：平行四边形的定义兼具性质与判定双重作用，是推导其相关结论的基础依据。 知识点二、平行四边形的性质 1.边的性质 ：两组对边分别平行且相等； 几何语言:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 2.角的性质：两组对角分别相等，邻角互补； 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠ C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°. 3.对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，∴OA=OC，OB=OD。 4.对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为其对称中心，不具备轴对称性。 5.面积公式：基本公式：S=底×对应底边上的高； 拓展结论：平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的三角形。 知识点三、平行四边形的判定定理 1.边的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2.角的判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3.对角线的判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 判定速记：判边看平行与相等，判角看对角相等，判对角线看互相平分。 知识点四、三角形中位线定理 1.定义：连接三角形任意两边中点的线段，叫做三角形的中位线，一个三角形有三条中位线。 2.核心应用：证明线段平行关系、推导线段倍分与等量关系、求解线段长度、构造平行四边形转化问题。 3.概念辨析：三角形中位线是两边中点连线，中线是顶点与对边中点连线，二者定义与作用截然不同。 知识点五、等腰梯形 1.相关定义 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形；平行的两边称为上、下底，不平行的两边称为腰。 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2.等腰梯形的性质 （1）边的性质：上、下底互相平行，两腰长度相等。 （2）角的性质：同一底边上的两个内角相等； 不同底上的邻角互补。 （3）对角线的性质：等腰梯形的两条对角线长度相等。 （4）对称性：等腰梯形是轴对称图形，上下底中点的连线所在直线为其对称轴，无中心对称性。 3.等腰梯形的判定定理 两腰相等的梯形是等腰梯形（定义判定）； 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 对角线相等的梯形是等腰梯形。 4.面积公式 S=(上底+下底)×高 知识点六、解题技巧与辅助线作法 1.平行四边形问题：连接对角线，将四边形转化为全等三角形，借助全等性质解题； 2.中点类问题：优先构造三角形中位线，直接应用定理推导线段位置与数量关系； 3.等腰梯形问题：平移一腰，转化为平行四边形与三角形组合图形； 过顶点作底边高线，转化为矩形与直角三角形组合图形； 延长两腰交于一点，转化为相似三角形求解。 题型解析◆精准备考 题型1利用平行四边形的性质求解 1．如图，在平行四边形中，，对角线与相交于点，若，则的周长为（  ） A．5 B．7 C．9 D．14 2．如图，是平行四边形的边的中点，，点从点出发沿射线以的速度匀速运动，连接，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则点运动的时间是______秒． 3．如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； (2)在图2中，在边上确定一点，使得． 题型2利用平行四边形的性质证明 1．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则________°． 3．如图，在中，对角线，相交于点O，，．求证：． 题型3等腰梯形的性质定理 1．如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 2．如图，在梯形中，，．若，则__________ 3．如图，在等腰梯形中，已知，，且，，求等腰梯形的高的值． 题型4添一个条件成为平行四边形 1．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，点为对角线和的交点，已知，，当___________时，四边形是平行四边形． 3．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 题型5证明四边形是平行四边形 1．已知四边形，与交于点O，那么不可以判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在四边形中，，，若，则________． 3．已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F 分别是和上的点， 且． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)求证：经过点O． 题型6利用平行四边形的判定与性质求解 1．如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 2．如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 3．如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型7平行四边形性质和判定应用 1．在中，，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（     ） A．四个内角平分线围成的四边形 B．过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C．以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D．以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 2．如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 3．综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 题型8与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在中，点D，E，F分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 2．如图，为的中位线，点F在上，已知，，且．若，则______． 3．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 题型9与三角形中位线有关的证明 1．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 2．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有______． 3．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 题型10三角形中位线的实际应用 1．如图，A，B两地被房子隔开，小明先在外选一点，然后步测出，的中点分别为M，N，并步测出的长约为45米，由此可知A，B间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 2．校园池塘周围种了几棵垂柳，数学实验小组为测量点，处的两棵垂柳的距离，先在地面上选一点，连接，，分别取边，的中点，测得的长为，则这两棵垂柳的距离为__________． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 过关检测◆提升 一、单选题 1．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．中，对角线，交于点，，，，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．13 3．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 4．如图，在四边形中，点，分别在边，上，线段，相交于点，且互相平分．若，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 5．四边形中，若，则这个四边形是（   ） A．一般梯形 B．等腰梯形   C．直角梯形 D．任意四边形 6．设四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 7．如图，在中，点D、E、F在边上，点G、H、I在边上，且，，如果，那么______． 8．如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是_______． 9．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 10．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，再找到、的中点、，测得的长度为米，则，两点间的距离为______． 11．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为中点，，，则平行四边形的周长为 _______． 12．如图，梯形中，，，平分．若，，则的长为__________． 13．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 三、解答题 14．如图，在中，是对角线，，，垂足分别为点E、F，连结，交于点O． (1)求证：． (2)若，，求的长． 15．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． (1)如图1，E是格点，先作平行四边形，再在边上画点，使． (2)如图2，在延长线上找到一格点，使得，连接，为网格线上一点，在上找一点，使得． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 17．如图，在中，，平分，，点是的中点，若，，求的长． 18．如图，在中，点O为对角线的中点，过点O且分别交、于点E、F，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)在四边形中，若，，则的周长为______． 19．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 20．已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11平行四边形复习讲义 高效复习◆重点 1. 深刻理解平行四边形的定义，熟练掌握其核心性质与判定定理，明晰概念本质与逻辑关联。 2. 能够灵活运用平行四边形的性质与判定，规范完成几何证明、线段长度及角度计算。 3. 精准掌握三角形中位线定理，熟练应用其解决线段平行证明与线段倍分关系问题。 4. 全面把握等腰梯形的定义、性质及判定，厘清平行四边形与等腰梯形的核心区别。 5. 掌握平行四边形、等腰梯形的常用辅助线作法，突破几何综合题解题瓶颈。 6. 规范几何语言书写格式，培养严谨的逻辑推理与规范的几何论证能力。 核心题型◆归纳 题型1利用平行四边形的性质求解 题型2利用平行四边形的性质证明 题型3等腰梯形的性质定理 题型4添一个条件成为平行四边形 题型5证明四边形是平行四边形 题型6利用平行四边形的判定与性质求解 题型7平行四边形性质和判定应用 题型8与三角形中位线有关的求解问题 题型9与三角形中位线有关的证明 题型10三角形中位线的实际应用 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、平行四边形的定义 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中， AB∥CD，AD∥BC， 四边形ABCD是平行四边形。 2.核心要点：平行四边形的定义兼具性质与判定双重作用，是推导其相关结论的基础依据。 知识点二、平行四边形的性质 1.边的性质 ：两组对边分别平行且相等； 几何语言:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 2.角的性质：两组对角分别相等，邻角互补； 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠ C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°. 3.对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，∴OA=OC，OB=OD。 4.对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为其对称中心，不具备轴对称性。 5.面积公式：基本公式：S=底×对应底边上的高； 拓展结论：平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的三角形。 知识点三、平行四边形的判定定理 1.边的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2.角的判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3.对角线的判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 判定速记：判边看平行与相等，判角看对角相等，判对角线看互相平分。 知识点四、三角形中位线定理 1.定义：连接三角形任意两边中点的线段，叫做三角形的中位线，一个三角形有三条中位线。 2.核心应用：证明线段平行关系、推导线段倍分与等量关系、求解线段长度、构造平行四边形转化问题。 3.概念辨析：三角形中位线是两边中点连线，中线是顶点与对边中点连线，二者定义与作用截然不同。 知识点五、等腰梯形 1.相关定义 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形；平行的两边称为上、下底，不平行的两边称为腰。 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2.等腰梯形的性质 （1）边的性质：上、下底互相平行，两腰长度相等。 （2）角的性质：同一底边上的两个内角相等； 不同底上的邻角互补。 （3）对角线的性质：等腰梯形的两条对角线长度相等。 （4）对称性：等腰梯形是轴对称图形，上下底中点的连线所在直线为其对称轴，无中心对称性。 3.等腰梯形的判定定理 两腰相等的梯形是等腰梯形（定义判定）； 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 对角线相等的梯形是等腰梯形。 4.面积公式 S=(上底+下底)×高 知识点六、解题技巧与辅助线作法 1.平行四边形问题：连接对角线，将四边形转化为全等三角形，借助全等性质解题； 2.中点类问题：优先构造三角形中位线，直接应用定理推导线段位置与数量关系； 3.等腰梯形问题：平移一腰，转化为平行四边形与三角形组合图形； 过顶点作底边高线，转化为矩形与直角三角形组合图形； 延长两腰交于一点，转化为相似三角形求解。 题型解析◆精准备考 题型1利用平行四边形的性质求解 1．如图，在平行四边形中，，对角线与相交于点，若，则的周长为（  ） A．5 B．7 C．9 D．14 【答案】C 【分析】根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，得出，，进而求解的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， 、、， ， ， 的周长为． 2．如图，是平行四边形的边的中点，，点从点出发沿射线以的速度匀速运动，连接，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则点运动的时间是______秒． 【答案】 或 【分析】设运动时间为秒，根据平行四边形的性质得出且，由中点定义得出，根据平行四边形的判定定理可知当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分点在线段上和点在的延长线上两种情况列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间是秒，则， 四边形是平行四边形， ，， 点是的中点， ， 点在射线上， ， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 分两种情况讨论： 当点在线段上时，， ， 解得； 当点在的延长线上时， ， ， 解得； 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点运动的时间是秒或秒． 3．如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； (2)在图2中，在边上确定一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移思想，确定格点即可； （2）找到的中点即可． 【详解】（1）解： （2）如图2，点即为所求； 题型2利用平行四边形的性质证明 1．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线与相交于点O， ∴，，， 但无法证明． 2．如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则________°． 【答案】110 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理及外角性质等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得的度数，进一步求出的度数即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ 故答案为：110． 3．如图，在中，对角线，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据，得到，根据即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ． 题型3等腰梯形的性质定理 1．如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】A 【分析】本题考查梯形中求线段长，平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键. 过作, 交延长线于，根据梯形为等腰梯形，可得，即可得到,根据等腰直角三角形性质即可求出长，然后根据从而得到答案. 【详解】过作, 交延长线于, 如图所示:、 ∵, ∴四边形是平行四边形, ∴, , ∵是等腰梯形， ∴, ∵, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, 在中,, ∴, ，此时①正确； 由， ∴， ∴，故②错误； 故选A 2．如图，在梯形中，，．若，则__________ 【答案】 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补求出，再利用等腰梯形同一底上的角相等，得到． 【详解】解：，， ， ， 梯形是等腰梯形， ． 3．如图，在等腰梯形中，已知，，且，，求等腰梯形的高的值． 【答案】DF=8 【分析】设OA＝OD＝x，OC＝OB＝y，则根据题意面积AC×BD（AD+BC）×DF，从而可求出DF的值． 【详解】解：设OA＝x，OC＝y， ∵四边形是等腰梯形 ∴∠BAD=∠CDA ∵， ∴△ADC≌△DAB ∴∠DAC=∠ADB ∵ ∴∠DAC=∠ADB=45° ∴OA＝OD＝x 同理可得：OC＝OB＝y， ∵ ∴xy＝16，x+y＝8， ∴等腰梯形ABCD的面积SAC•BD8（AD+BC）×DF16×DF， 即8DF＝64， ∴DF＝8． 【点睛】本题考查等腰梯形的性质，有一定难度，注意掌握梯形面积的两种表示形式，从而解出梯形的高． 题型4添一个条件成为平行四边形 1．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：若添加或，结合，四边形可能是等腰梯形，无法判定是平行四边形； 若添加，无法判定是平行四边形； 若添加，结合，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形． 2．如图，在四边形中，点为对角线和的交点，已知，，当___________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，已知 ，只需 即可． 【详解】解：根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， 在四边形 中， ， 要使四边形 是平行四边形，只需 ， ， ． 即当时，四边形是平行四边形． 3．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明，得到，，推出，添加①，得到，可证明四边形是平行四边形；添加③， 由，可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：点为的中点，， 在和中， ， ， ，， ， 添加①，理由如下， ， ， 四边形是平行四边形； 添加③，理由如下， ， 四边形是平行四边形． 题型5证明四边形是平行四边形 1．已知四边形，与交于点O，那么不可以判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由，不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 2．在四边形中，，，若，则________． 【答案】/50度 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，根据已知条件先判定四边形的形状，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解: 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 解得． 3．已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F 分别是和上的点， 且． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)求证：经过点O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）连接，根据平行四边形的性质可得，结合四边形是平行四边形，得到经过点O． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：连接， ∵点O是平行四边形的对角线的中点， ∴，即点是的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即经过点O． 题型6利用平行四边形的判定与性质求解 1．如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】利用平行四边形的判定与性质，分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， 同理可证四边形是平行四边形， ∵与的面积分别为与面积的一半， 又四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：长度随、移动改变； 选项B：随位置改变； 选项C：、等边长随、移动变化，周长不定； 综上，四边形的面积是定值，故选项D符合题意． 2．如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】运用平行四边形的性质以及，求出，再证明四边形是平行四边形，故，，最后运用勾股定理得，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 则 ∴ 过点M作交于点，交于点，如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 则． 3．如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行四边形的性质得到，，再利用，即可得到四边形是平行四边形，进而得到，根据线段的和差解答即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再根据三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，． 题型7平行四边形性质和判定应用 1．在中，，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（     ） A．四个内角平分线围成的四边形 B．过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C．以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D．以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 【答案】D 【详解】解：A、的四个内角平分线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； B、过四个顶点作对边的高线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； C、以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； D、以一条对角线上的两点与另两个顶点为顶点的四边形不一定是平行四边形，符合题意，选项正确． 2．如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 3．综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)图见解析；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质，结合对顶角相等，即可得解； （2）观察可得：，即可得出比值； （3）将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 是边上的中点， ， ， ； （2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ， ； （3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形； 理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形， ，， ， ∴点在同一直线上， 同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 题型8与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在中，点D，E，F分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线定理进行求解即可. 【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是，，的中点， ∴， ∵的周长， ∴的周长. 2．如图，为的中位线，点F在上，已知，，且．若，则______． 【答案】35 【分析】根据三角形中位线定理求出的长及，进而求出的长，结合D为中点可得，利用等腰三角形的性质及平行线的性质即可求解． 【详解】为的中位线， 且， ，， D为中点， ， ， ． 3．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）判断是的中位线，是的中位线，则，，，，因此，且，命题得证； （2）作，垂足为，判断是等腰直角三角形，则，根据含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，因此，结合即可计算出结果． 【详解】（1）证明：∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，作，垂足为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在中，，且， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 题型9与三角形中位线有关的证明 1．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，，，； ∴，，； ∴四边形是平行四边形，； ∵ ∴， ∴， 故选：C 2．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，确定是的中位线是解题的关键．首先可知是等边三角形，得，再利用平行线的性质可得，可知①正确，由，得平分，故②正确；由平行四边形的性质得是的中位线，利用三角形中位线定理可对③进行判断．根据等底同高的三角形面积相等可得，再由③可知，进而可得，可对④进行判断． 【详解】解：是的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ，， ， 平分， 故②正确； 平行四边形的对角线，相交于点， ， 是的中点， 是的中位线， ， 又， ， ， 故③正确； ， ， ，， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③ 3．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 题型10三角形中位线的实际应用 1．如图，A，B两地被房子隔开，小明先在外选一点，然后步测出，的中点分别为M，N，并步测出的长约为45米，由此可知A，B间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】根据三角形中位线求解即可； 【详解】解：根据题意，得是的中位线， 故（米）； 2．校园池塘周围种了几棵垂柳，数学实验小组为测量点，处的两棵垂柳的距离，先在地面上选一点，连接，，分别取边，的中点，测得的长为，则这两棵垂柳的距离为__________． 【答案】16 【分析】根据题意可知、分别为、的中点，从而判断为的中位线，利用三角形中位线定理可得，代入数据计算即可求解． 【详解】解： 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是关键． （1）作平行四边形并利用平行四边形的性质进行作点E即可； （2）利用三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质进行作图即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）所作图形如图所示： 过关检测◆提升 一、单选题 1．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 2．中，对角线，交于点，，，，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】A 【分析】利用平行四边形对角线互相平分求出与的长度，即可计算出的周长． 【详解】解∵ 四边形是平行四边形，对角线，交于点，，， ∴，， ∴的周长为． 3．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 4．如图，在四边形中，点，分别在边，上，线段，相交于点，且互相平分．若，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与交于点且互相平分，得，证明，再证出四边形是平行四边形，根据等量关系，得，即可求出四边形的周长． 【详解】解：线段与交于点且互相平分， 得， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为 ． 5．四边形中，若，则这个四边形是（   ） A．一般梯形 B．等腰梯形   C．直角梯形 D．任意四边形 【答案】C 【分析】先根据四边形内角和定理求出四个内角的度数，再利用同旁内角互补判断对边的平行关系，进而确定四边形的形状． 【详解】解：∵四边形内角和为，且， 设，则， ∴， 解得， ∴，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴不平行于，四边形是梯形， ∵梯形内角，符合直角梯形的特征， ∴这个四边形是直角梯形． 6．设四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：如图， A项：∵，，即四边形两组对边分别平行，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B项：∵，，即四边形两组对边分别相等，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C项：∵，，即四边形对角线互相平分，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D项：当，时，四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，不能判定一定是平行四边形，本选项符合题意． 二、填空题 7．如图，在中，点D、E、F在边上，点G、H、I在边上，且，，如果，那么______． 【答案】 【分析】设，是的中位线，同理可证，是的中位线，求解即可． 【详解】解：设， ，， 是的中位线， ； 同理可证，是的中位线， ； ， ， 解得， 故． 8．如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是_______． 【答案】26 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：26． 9．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：∵木条，的中点O重叠， ∴， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形 10．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，再找到、的中点、，测得的长度为米，则，两点间的距离为______． 【答案】米 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵是中点，是中点， ∴是中位线， ∴， ∴（米）， ∴，两点间的距离为米． 11．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为中点，，，则平行四边形的周长为 _______． 【答案】20 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质可得点O是的中点，从而可得是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：点E为中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即点O是的中点， 又∵点E为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：20． 12．如图，梯形中，，，平分．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰梯形的性质和判定，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键； 先通过辅助线构造矩形和全等三角形，利用梯形的性质、角平分线的性质得出线段之间的关系，再借助勾股定理求出相关线段长度，进而求得BD的长． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形． ， ． 平分， ， ， ． ， 梯形是等腰梯形． 又，， 由梯形的轴对称性可知，． 四边形是矩形， ，． 又， ． 在中，， ， ， ． 在中， ． 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：以分别为对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，由中点坐标公式列方程求解；以为对角线时；以为对角线时；以为对角线时． 【详解】解：设点的坐标为, ①若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， ②若四边形为平行四边形， 则对角线与互相平分， ， 解得， ， ③若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， 综上所述点坐标为或或． 故答案为：． 三、解答题 14．如图，在中，是对角线，，，垂足分别为点E、F，连结，交于点O． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）先由已知得，则，在中，由勾股定理求出，再根据得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，是对角线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值已舍去）， 由（1）知，， ∴， ∴． 15．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． (1)如图1，E是格点，先作平行四边形，再在边上画点，使． (2)如图2，在延长线上找到一格点，使得，连接，为网格线上一点，在上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移的性质将点向上平移2个单位，得到点，连接，即可得到平行四边形，取格点，连接，交于点，使得，，再根据平行四边形的性质可得，，进而得到，易证，即可得到； （2）连接，由勾股定理得到，将点向上平移5个单位，得到点，连接，可得，利用网格的特征取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，由等腰三角形三线合一可得垂直平分，可得，推出，结合，证明，推出，进而得到，再求出，得到，由三角形内角和定理可得，可得． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示为所求： 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据图形旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平行四边形的判定方法结合网格特点画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 17．如图，在中，，平分，，点是的中点，若，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】延长与相交于点，然后证明，所以，，再通过中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长与相交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 18．如图，在中，点O为对角线的中点，过点O且分别交、于点E、F，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)在四边形中，若，，则的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质结合全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到； （3）根据（2）求出的值，再由三角形的周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵在中，点O为对角线的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 19．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明为的中位线，得出，，由为的中点，得到，由四边形为平行四边形，得到，从而得到，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， 为的中位线， ，， 为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 20．已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，设点P到的距离为，利用三角形面积公式和平行四边形面积公式求出和，进而探究二者的数量关系即可； （2）过点D作于点E，根据勾股定理求出长，利用“等面积法”求出长，进而求出，由（1）知，，据此解答即可； （3）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，利用求出，进而求出长，利用，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，垂直于D， ， 设点P到的距离为， 、， ； （2）解：如图，过点D作于点E， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 由（1）知，， ； （3）解：设交于点M， 四边形是平行四边形， 、， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在内部， ， ， 整理得：， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $