精品解析：重庆市铁路中学校2025-2026学年下学期高一期中测试数学试题

重庆市铁路中学校2025-2026学年半期测试 高一（下）数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数满足（i为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 故z的虚部是. 2. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰非直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，即. 所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 方法二： 因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 4. 在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 又，则，故. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 6. 在中，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先利用三角形内角和求出，再结合正切的和角公式推出与的关系，最后代入化简即可. 【详解】在中，，因为，所以， 所以，整理得：， 所以. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】易知函数， 因此只需将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变可得到， 再将其向右平移个单位长度可得到. 因此只需将函数的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 再向右平移个单位长度可得到函数的图象. 8. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数和差角公式化简求解，同时注意根据三角函数值确定角的范围 【详解】因为，都是锐角，所以，又，则， 注意到，故，， 所以. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 关于向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的定义判断C，利用相等向量的定义判断AD，利用共线向量的定义判断B． 【详解】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 10. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在方向上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确. 【详解】对于A，由题意可得， 若，则，得，故A正确； 对于B，由题意可得， 若，则，解得，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误； 对于D， 由题意得，，， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 当向量与向量共线时，由得， 此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意， 所以的取值范围是，故D正确. 11. 已知函数，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 B. 若，且的最小值为，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围为 D. 在只有3个零点，则8< 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性和零点取值进行求解, 【详解】利用辅助角公式将化简为：. A选项，若，则，将图象向左平移个单位长度后得到的图象为， 因为为奇函数，所以图像关于原点对称，所以A选项正确； B选项，，则，若，则必有一个取最大值2，另一个取最小值，因为对应的的最小值为，所以，解得：，所以B选项正确； C选项，当时，则，若单调递增，则，解得：，所以C选项错误； D选项，令，得：，解得：，其中， 代入区间得：，即：， 所以在区间内有且仅有三个整数解， 由于该区间中心是，区间长度为，当恰有3个整数时，只能为连续的3个整数， 即，所以，同时成立， 解得：，所以D选项正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为_____． 【答案】2 【解析】 【详解】已知复数是纯虚数， ，解得或， ，解得， 综上，． 13. 已知为复数，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】设，复数在复平面内对应的点记作，故； 表示复平面内，点到的距离；表示复平面内，点到点的距离； 故表示复平面内，点到两点的距离之和， 显然当点在线段上时，其取得最小值，最小值为. 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 16. 已知函数． （1）求的对称轴方程； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1） （2），对应的的取值集合为 【解析】 【小问1详解】 ， 令，则， 故的对称轴方程； 【小问2详解】 由可得， 当即时，函数取得最小值． 所以，对应的的取值集合为 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用、、的意义，利用图象逐个求解即可； （2）利用两角差的正弦，凑角求解即可. 【小问1详解】 由图象可知，， 且，解得， 所以，因为， 所以，则， 由，则仅当时，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 则， 因为，则，所以， 则 18. 在中，内角A、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为2，求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于，的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由及正弦定理， 因为、，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，，即， 由余弦定理可得，即，所以， 故的面积为. 19. 如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中，，． （1）若公园区域是一个占地面积为，且为钝角的三角形，需要修建多长的步道？ （2）在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度． 【答案】（1） （2）最大面积为， 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式和同角基本关系式可得，再利用余弦定理可解； （2）根据正弦函数的值域和三角形面积公式可得，设，，由正弦定理和面积公式以及三角恒等变换得，从而求最值. 【小问1详解】 因为，，所以， 解得，又是钝角，所以， 所以， 所以需要修建的步道. 【小问2详解】 因为，当且仅当时取等号，此时， 设，， 在中，根据正弦定理可得， 所以 ， 由，得， 当，即时，， 此时达到最大，最大值为，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市铁路中学校2025-2026学年半期测试 高一（下）数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数满足（i为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰非直角三角形 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 8. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 关于向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在方向上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 11. 已知函数，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 B. 若，且的最小值为，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围为 D. 在只有3个零点，则8< 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为_____． 13. 已知为复数，则的最小值为______． 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 16. 已知函数． （1）求的对称轴方程； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值. 18. 在中，内角A、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为2，求的面积； 19. 如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中，，． （1）若公园区域是一个占地面积为，且为钝角的三角形，需要修建多长的步道？ （2）在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $