21.3 平行四边形的判定及三角形的中位线 期末复习一本通 —— 清单・练・测 全程通关2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.2 平行四边形的判定及三角形的中位线 知识点1 平行四边形的判定 1．平行四边形的判定 元素 文字表述 图形表述 符号表述 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵，∴ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵，，∴ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵，=，∴ 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵=，=，∴ 任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形 ∵+=180，+=180，∴ 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵=，=，∴ 2．平行四边形性质和判定的联系 平行四边形的性质 平行四边形的判定 平行四边形的两组对边分别平行 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的两组对边分别相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的两组对角分别相等 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的对角线互相平分 对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．平行四边形的判定要注意的一些问题 （1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据． （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． （3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． （4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形． 知识点2 三角形的中位线及其定理 1．三角形中位线定理 文字表述 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的的一半 图形表述 符号表述 ， 2．三角形中位线应用策略 （1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据． （2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段． （3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点． 3．中点四边形 （1）顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形； （2）顺次连结矩形各边中点而成的四边形是菱形； （3）顺次连结菱形各边中点而成的四边形是矩形． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 7．如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 10．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得 ，则，两点的距离为______． 11．如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 12．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．请将下列题目的证明过程补充完整：如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 证明：如图，延长，，并截取，， ，，即， …… 14．如图，四边形是平行四边形，点为边上一点，连接． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点，连接，使得四边形是平行四边形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由． 15．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，跷跷板的支柱经过它的中点，且垂直地面于点，．当它的一端着地时，另一端离地面的高度为（    ） A．0.6m B．1m C．1.2m D．1.5m 3．在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，已知线段，线段和射线，且，在射线上找一点C，使四边形是平行四边形，关于甲、乙的作法，下列判断甲：过点D作，与交于点C；乙：以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接正确的是（   ） A．只有甲的作法一定可行 B．只有乙的作法一定可行 C．甲、乙的作法都一定可行 D．甲、乙的作法都不可行 5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 7．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（   ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板左上方所成的是，那么光线与纸板右下方所成的的度数是________度． 10．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 11．如图，点，的坐标分别为，，将线段平移到，点，的坐标分别为，，则线段在平移过程中扫过的面积为_____． 12．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 14．如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接． (1)尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点G恰好是线段的中点，求证：四边形是平行四边形． 15．【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，的对角线，相交于点，，若，，则四边形的周长为（    ） A．10 B．14 C．16 D．20 4．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，，，连接，已知点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是正六边形对角线上的两点，若添加下列选项中的一个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 6．已知四边形的四条边的长分别是m，n，p，q，且满足，则四边形是（   ） A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形 E．以上答案都不正确 7．如图，在边长为8 的等边三角形 中，D，E 分别为，的中点，于点F，G为的中点，连接，则 的长为（  ） A．4 B． C． D．5 8．如图，在中，，为锐角，要在对角线上找点N，M，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：在上取，连接； 乙方案：作分别平分，连接； 丙方案：作于点N，于点M，连接． A．甲，乙，丙都是 B．只有甲，乙是 C．只有甲，丙是 D．只有乙，丙是 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图是由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画___________个平行四边形． 10．如图，某同学在研究“抖空竹”时发现，当空竹在点E处时，，，已知，，且，，则的长为______． 11．如图，中，，，分别是，的中点．若，则的度数为______． 12．如图，在中，，于点D，且，点 M以点 A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点 P从点 B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点 P 的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，当t为_______________时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 14．如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接、． (1)求证：是的平分线； (2)若平分，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 15．如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点． (1)观察猜想：线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到题图2的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； (3)如图3：在（2）的条件下，当点M恰好落在边上时，已知，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.2 平行四边形的判定及三角形的中位线 知识点1 平行四边形的判定 1．平行四边形的判定 元素 文字表述 图形表述 符号表述 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵，∴ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵，，∴ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵，=，∴ 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵=，=，∴ 任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形 ∵+=180，+=180，∴ 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵=，=，∴ 2．平行四边形性质和判定的联系 平行四边形的性质 平行四边形的判定 平行四边形的两组对边分别平行 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的两组对边分别相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的两组对角分别相等 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的对角线互相平分 对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．平行四边形的判定要注意的一些问题 （1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据． （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． （3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． （4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形． 知识点2 三角形的中位线及其定理 1．三角形中位线定理 文字表述 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的的一半 图形表述 符号表述 ， 2．三角形中位线应用策略 （1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据． （2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段． （3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点． 3．中点四边形 （1）顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形； （2）顺次连结矩形各边中点而成的四边形是菱形； （3）顺次连结菱形各边中点而成的四边形是矩形． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假，平行四边形的判定，根据错误的命题是假命题，正确的命题是真命题，以及平行四边形的判定方法进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或者是等腰梯形，原说法是假命题，故该选项符合题意； C、两组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 3．如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 4．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据、是、中点，判定为的中位线，由中位线定理得出，再依据平行线的同位角相等，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 5．如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿着的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D正确，无法判断A，B，C是否正确． 故选：D 6．如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理．根据尺规作图找一点P使得四边形是平行四边形，结合各选项所涉及的判定定理进行分析． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．由尺规作图可知，所作的四边形两组对边分别平行，根据此判定定理可直接判定其为平行四边形，故该选项符合题意； B、题干中未明确体现所作四边形两组对边分别相等这一判定条件，故该选项不符合题意； C、题干中未提及所作四边形的对角线情况，故该选项不符合题意； D、题干中未明确体现所作四边形一组对边平行且相等这一判定条件，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据选项所给的点D的位置，正确作出以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，再利用平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】对于A，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故A不符合题意； 对于B，如图， 此时，，且， ∴四边形是平行四边形，故B符合题意； 对于C，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故C不符合题意； 对于D，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 8．如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 【答案】C 【分析】对于方案一，根据平行四边形的性质证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；对于方案二，通过证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】解：方案一：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 方案二：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，两个方案都正确． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答． 【详解】解：当时， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 10．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得 ，则，两点的距离为______． 【答案】36 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 11．如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，根据平行四边形判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需让即可列方程求解． 【详解】解：∵在四边形中，，要使其成为平行四边形，必须满足， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 12．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．请将下列题目的证明过程补充完整：如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 证明：如图，延长，，并截取，， ，，即， …… 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，，再由等边对等角得到，，即可证明，从而有，再证明即可得证． 【详解】解：补充证明过程如下： ∵，即， 四边形是平行四边形， ，． ，， ，， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 14．如图，四边形是平行四边形，点为边上一点，连接． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点，连接，使得四边形是平行四边形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（）以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，则四边形即为所求； （）由平行四边形的性质得，，进而得，再根据平行四边形的判定即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 15．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，跷跷板的支柱经过它的中点，且垂直地面于点，．当它的一端着地时，另一端离地面的高度为（    ） A．0.6m B．1m C．1.2m D．1.5m 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 过点作交的延长线于，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：过点作交的延长线于， ， ， ， ， ∴是的中位线， ∴, 故选：C． 3．在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和二元一次方程组的求解，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，建立关于和的方程并求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴对角线与互相平分，即， ∴，即；且，即， 联立方程得： 解得： 故选：A． 4．如图，已知线段，线段和射线，且，在射线上找一点C，使四边形是平行四边形，关于甲、乙的作法，下列判断甲：过点D作，与交于点C；乙：以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接正确的是（   ） A．只有甲的作法一定可行 B．只有乙的作法一定可行 C．甲、乙的作法都一定可行 D．甲、乙的作法都不可行 【答案】A 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法对两种方法进行判断． 【详解】解：甲：由作法得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴甲的作法可行； 乙：由作法得， ∵， ∴四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形， ∴乙的作法不一定可行． 综上所述，只有甲的作法一定可行， 故选：A 5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知可证明四边形为平行四边形，可得到 【详解】解：由题意可知： 四边形为平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形为平行四边形. 6．如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边，平行四边形对边平行是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合为中点，判定为中位线，通过平行线的性质得到与相等，进而求出角度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点 ∴是的中点 ∵是边的中点 ∴是的中位线 ∵是的中位线 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ 且 ∴ ， ， ∵ ∴ 故选：B． 7．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 8．综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（   ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，尺规作图—作垂线、作线段，由作图可得，，结合平行四边形的判定定理即可得出四边形为平行四边形，即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴可直接判定四边形是平行四边形的条件是对角线互相平分， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板左上方所成的是，那么光线与纸板右下方所成的的度数是________度． 【答案】68 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先结合两组对边平行的四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等，即可作答． 【详解】解：，依题意，如图： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：68． 10．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积计算，以及三角形面积公式的应用，掌握利用平行线间的距离相等，通过三角形面积求出平行四边形的高是解题的关键． 先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ 且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 11．如图，点，的坐标分别为，，将线段平移到，点，的坐标分别为，，则线段在平移过程中扫过的面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的平移变换，及求平行四边形的面积．熟练掌握坐标变化与图形变换之间的规律是解题的关键．对照点A，B的坐标和，的坐标，找出平移的方式，从而求出，的坐标．连接，，求出的面积，则可知的面积，即线段扫过的面积． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，平移后，的坐标分别是，，可知平移后对应点的横坐标增加了，纵坐标增加了，    ， ∴ 连接，，，则四边形是平行四边形， ， ∴， ， ． ∴线段在平移过程中扫过的图形面积为． 故答案为：． 12．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】本题考查中位线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 14．如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接． (1)尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点G恰好是线段的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别交于一点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于内部一点，连接此点与点D，分别交于点G、E，交的延长线于点F． （2）利用平行四边形的性质得到，，，证明，得到，由此得到结论． 【详解】（1）解：如图，DF即为所求； ； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，作角的平分线，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键． 15．【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．见解析 (2)或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （2）先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （2）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，通过观察，找到拼在一起后能够确定原来平行四边形的两组对边所在位置的两块玻璃的编号是解题的关键．观察图形，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，能够确定原来平行四边形的两组对边所在的位置，所以他带的两块碎玻璃编号是②④，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，延长交于点A，延长交于点C， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴他带的两块碎玻璃编号是②④， 故选：D． 2．如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）以及平行四边形的性质（对边平行且相等），解题的关键在于利用对角线互相平分的性质判断四边形为平行四边形，再应用平行四边形的对边平行且相等的性质．先根据已知条件判断四边形的形状，再根据平行四边形的性质判定即可． 【详解】O是的中点，即， 四边形是平行四边形， ， 故选：． 3．如图，的对角线，相交于点，，若，，则四边形的周长为（    ） A．10 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，，，连接，已知点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及平面直角坐标系中点的坐标，解题的关键是利用平行四边形的性质确定点的坐标． 先根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及点、的坐标确定点的坐标． 【详解】解：因为，， 所以四边形是平行四边形， 在平行四边形中，，， 已知点，所以， 又因为轴，点， 所以点的纵坐标与点的纵坐标相同，为3， 因为，点的横坐标为2， 所以点的横坐标为， 所以点的坐标为． 故选：B． 5．如图，是正六边形对角线上的两点，若添加下列选项中的一个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 证明，得出，根据得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判断A选项；．证明由全等三角形的性质得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判断B选项；连接交于点，证出由对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断C选项；不能证明与全等，则可判断D选项． 【详解】解：连接交于点， ，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故A选项不符合题意， ，， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； 正六边形， ， 和是等边三角形， ， 又， ， 四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； ，，， 与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故D选项符合题意； 故选：D． 6．已知四边形的四条边的长分别是m，n，p，q，且满足，则四边形是（   ） A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形 E．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，平行四边形的判定，中垂线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用完全平方公式将方程变形，分析四边形边的关系，结合几何性质判断形状． 【详解】解：原式变形为， 故且， 若是对边，是对边，则此四边形为平行四边形，如图， 若是邻边，是邻边，根据垂直平分线的判定可知此四边形对角线垂直，如图， ∴四边形是平行四边形或对角线互相垂直的四边形． 故选：C． 7．如图，在边长为8 的等边三角形 中，D，E 分别为，的中点，于点F，G为的中点，连接，则 的长为（  ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理，正确得出的长是解题关键．直接利用三角形中位线定理进而得出，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出以及的长． 【详解】解：连接． ∵是边长为8的等边三角形， ∴，， 又 D，E 分别为，的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设， ∵G 是的中点， ∴， 在 中，由勾股定理，得， ∴，即， 解得 （负值已舍去）， ∴． ∵， ∴． 在中，由勾股定理， 得，即（负值已舍去）． 故选：C． 8．如图，在中，，为锐角，要在对角线上找点N，M，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：在上取，连接； 乙方案：作分别平分，连接； 丙方案：作于点N，于点M，连接． A．甲，乙，丙都是 B．只有甲，乙是 C．只有甲，丙是 D．只有乙，丙是 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． 甲方案：由，可得,则可证，证明一组对边平行且相等即可； 乙方案：由分别平分，可得，则可证，证明一组对边平行且相等即可； 丙方案：由，，可得，则可证，证明一组对边平行且相等即可． 【详解】 解：甲方案：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 故甲方案正确； 乙方案：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故乙方案正确； 方案丙：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵于点N，于点M， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故丙方案正确． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图是由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画___________个平行四边形． 【答案】4 【分析】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，根据平行四边形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 共能作出4个平行四边形． 故答案为：4． 10．如图，某同学在研究“抖空竹”时发现，当空竹在点E处时，，，已知，，且，，则的长为______． 【答案】/130厘米 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，延长交于点F，利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 延长交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，中，，，分别是，的中点．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由三角形内角和定理以及等边对等角可得，再根据等腰三角形的性质、三角形中位线的判定与性质可得、，易得，再根据直角三角形的性质可得，即，最后运用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．如图，在中，，于点D，且，点 M以点 A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点 P从点 B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点 P 的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，当t为_______________时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 分两种情况：①当点在点的上方时，，，，得，由，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可； ②当点在点的下方时，，，，得，由，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图1所示： ， ， ， ，即， ， ， ， ； 分两种情况： ①当点在点的上方时，如图2所示： 由题意得：，，， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， 即：当时，四边形是平行四边形， 解得：； ②当点在点的下方时，如图3所示： 根据题意得：，，， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， 即：当时，四边形是平行四边形， 解得：； 综上所述，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； 故答案为：或． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定以及角度计算，掌握利用平行四边形的角相等性质、折叠的角平分线性质，结合平行线和垂直的角度关系进行推导是解题的关键． （1）先判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的角相等性质，结合折叠的角相等，推出同位角相等从而证平行． （2）利用平行线同旁内角互补求出，结合折叠的角平分线性质求出，再由垂直关系计算． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ． 由折叠知， ， ． （2）解：， ， ． 由折叠知， ． ， ． 14．如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接、． (1)求证：是的平分线； (2)若平分，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，则可得，，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后证出，则可得，最后根据平行四边形的判定即可得证； （3）先求出，再根据等腰三角形的三线合一可得平分，，则可得，然后求出平行四边形的面积为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由（1）已证：， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∵， ∴平分，， ∴（题（2）已证）， ∴， ∴平行四边形的面积为 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 15．如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点． (1)观察猜想：线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到题图2的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； (3)如图3：在（2）的条件下，当点M恰好落在边上时，已知，，求的面积． 【答案】(1)，； (2)是等腰直角三角形；理由见解析； (3)． 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出，得出BD＝CE，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵点P，N是，的中点， ∴，， ∵点P，M是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转知，， ∵，， ∴， ∴，， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，，， ∴， ∴是等腰三角形，同（1）的方法得，， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵，，点M是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是求出EC的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $