11.1.2 构成空间几何体的基本元素 课时1课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

11.1.2 构成空间几何体的基本元素 课时1 点动成线，线动成面，面动成体 观察下面动画，体会点、线、面之间的关系 一、空间中的点、线、面 二、空间中的点、线、面的特征及表示方法 构成空间几何体的基本元素是点、线、面. 特征：无大小 1.点： 表示：A,B,C… 特征：无粗细、无限延伸 表示：,b,c…或AB,BC… 2.线： A B 注意：顶点A与B确定的直线可记为直线AB，为了简洁，一般用小写字母表达直线。如将直线AB记作l。 3.平面： ①平 ②无限延展 ③不计大小 ④不计厚薄 （没有边界） （无所谓面积） （没有质量） （不是凹凸不平） （1）平面是一个只描述而不定义的最基本的概念,它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化的模型. 杨科文 (authorId_420724289) - 加生活平面，图 （2）平面的命名 如图，在长方体中，长方形ABCD所在的平面可记作面ABC，也可以记作ABD或面ABCD。习惯上，用小写希腊字母表示平面。因此，面ABCD可以记为。 直线是由点构成，直线可以看成点的集合；面是由线运动生成的，所以面可以看成直线的集合，进一步，面也是点的集合，因此可以用集合符号来表示空间中的点、线、面之间的关系。 例1：如图所示的空间体中的基本元素该如何表示？ 解析：在长方体中，基本元素的表示如下： 8 个顶点： A，B，C，D，A1，B1，C1，D1； 12 条棱： AB，BC，CD，DA，AA1，BB1， CC1，DD1，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1； 6 个面 ：ABCD，ABB1A1，BCC1B1， CDD1C1，DAA1D1，A1B1C1D1； 长方体： ABCD - A1B1C1D1. 三、空间中点、直线与直线的位置关系 A B C D A1 B1 C1 D1 1.点与直线的关系： 如图所示长方体中，顶点 A 与 B 确定的直线可记作直线 AB，也可简记为 l； 由图可知，A，B 是 l 上的点，且 A1，B1 都不是 l 上的点，故可用符号简写为： A∈l，B∈l ，A1l，B1l. 观察右图，说说长方体中的点与直线，直线与直线间分别存在怎样的位置关系？又该如何表示这些位置关系？ 2.直线与直线的关系： 如果记图中顶点 B，B1 确定的直线为 m，顶点 C，C1 确定的直线为 k，则有 m 与 l 相交 (即有公共点)，k 与 l 不相交 (即没有公共点)； 则 m ∩ l ≠ ，k ∩ l = ； 因为 m 与 l 相交于点 B，所以 m ∩ l = {B}，可简写为 m ∩ l = B. A B C D A1 B1 C1 D1 l m k 思考：空间中的两条直线如果不相交，就一定平行. 这一结论正确吗？ 同一平面内的两条直线，如果不相交，就一定平行，这一结论可以推广到空间中的两条直线吗？观察图中立方体中的直线，总结空间中两条直线的位置关系. 不能，空间中还存在既不相交也不平行的情况。如图直线l和直线k既不相交也不平行。 （1）异面直线：一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面，如图所示，直线l与k异面. （3）异面直线的画法： 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托. a b A b a （2）直线与直线的位置关系： 如果是空间中的两条直线，则 a∩b ≠ 与 a∩b = 有且只有一种情况成立；且 当 a∩b = 时，a 与 b 要么平行(记作a∥b)，要么异面. 例2：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中,判断下列直线间的位置关系: （1）直线AB与直线AC 　 ;  （2）直线AC与直线A'C'　 ;  （3）直线A'B与直线AC 　 ;  （4）直线A'B与直线C'D 　 . 相交 平行 异面 异面 四、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 长方体中的直线与平面、平面与平面间分别存在怎样的位置关系？又该如何表示这些位置关系？ 1.点与平面的关系： 如图，长方形ABCD所在的平面可记作面ABC、面ABD或面ABCD，也可用α，β，γ…表示平面；(面ABCD可以记为α) 由图可知，A是平面α内的点，A1不是平面α内的点，简写为A∈α，A1∈α. 2.直线与平面的关系： 如图，点 A，B 确定的直线 l 上的所有点都在平面 α 内，则称直线 l 在平面 α 内 (或平面 α 过直线 l )，记作 l ⊂ α； 点 B，B1 确定的直线 m 上至少有一个点不在平面 α 内，这称为直线 m 在平面 α 外，记作 m ⊄ a. 注意：图中的 m 与 α 有且只有一个公共点 (称为直线 m 与平面 α 相交)，即 m ∩ α = {B}，简写为 m ∩ α = B. 3.平面与平面的关系： 如图，记长方形 ADD1A1 所在的平面为 β，点 A，D 确定的直线为 k，则 α 与 β 有公共点，这称为平面 α 与平面 β 相交，记作 α ∩ β ≠ . A B C D A1 B1 C1 D1 l m k α β 1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q ,b , β 之间的关系可记作(　　) A.Q∈b∈β B.Q∈b⊂β C.Q⊂b⊂β D.Q⊂b∈β 答案: B 解析: 因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以Q∈b.又因为直线b(集合)在平面β(集合)内,所以b⊂β.所以Q∈b⊂β. 2.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一平面的位置关系为(　　) A.平行 B.相交 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 答案: D 解析:由题知这条直线可能在另一平面内也可能与另一平面平行。 3.一个正方体的展开图如图所示,图中四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中的位置关系是什么? 解析:选择一个面为底面,将图形向上折成正方体,如图,点G与点C重合,点F与点B重合,则AB与EF相交,HG与CD相交,EF与CD平行,AB与CD异面,AB与GH异面,EF与GH异面. 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点个数 _______ ____ ____ 符号语言描述 ______ _____ ______ 图形语言描述 无数个 1个 0个 a a ∩α=A a∥α 1.空间中直线与平面的位置关系 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形语言描述 符号语言描述 公共直线 两平面平行 _______ 无 两平面相交 _________ _______________ α∥β α∩β=a 有一条公共直线 $