11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间几何体的基本元素，系统讲解点、线、面及其位置关系，通过流星划空、雨刷转动等生活实例导入，引导学生从“点动成线、线动成面、面动成体”的运动观点理解几何体构成，搭建从生活到数学抽象的认知支架。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象核心素养，通过情境问题、自我诊断、典型例题（如三种语言转化、长方体中平行垂直关系分析）及分层课时作业，帮助学生掌握符号表示与空间关系判断。采用实例模拟与问题驱动教学，学生能提升空间观念，教师可高效落实课标要求。

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 1 1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系（数学抽象）. 2.掌握空间中点与直线、直线与直线的位置关系（直观想象）. 3.掌握空间中直线与平面、平面与平面的位置关系（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　在现实生活中，有很多自然现象值得我们深入思考，也有一些生活细 节需要大家用心体会.夜晚一颗流星突然划破长空，形成一道美丽的弧 线；雨雪天气中行驶的汽车，不时地转动着雨刷；清晨起床后洗漱挤出的 牙膏……看似风马牛不相及的事物，其实都包含着“点动成线”“线动成 面”“面动成体”的数学规律. 【问题】　（1）天空中飘浮的气球是空间几何体吗？ （2）它是否是由点、线、面构成的？ 　 　　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点一　空间中的点、线、面 1. 构成空间几何体的基本元素： ⁠. 2. 从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成 ，线动 成 ，面动成 ⁠. 点、线、面　 线　 面　 体　 数学·必修第四册（B版） 目 录 下列不属于构成几何体的基本元素的是（　　） A. 点 B. 线 C. 曲面 D. 多边形（不含内部的点） 解析：本题考查了构成空间几何体的基本元素，关键是对概念的理解.由于一个几何体是由点、线、面组成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，故而只有D不属于构成几何体的基本元素，故选D. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点二　点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法 位置关系 符号表示 图形 点、 线 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点、 面 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 数学·必修第四册（B版） 目 录 位置关系 符号表示 图形 线、 线 两直线平行 ⁠ 两直线异面 ⁠ ⁠ ⁠ 两直线相交 ⁠⁠ a∥b a∩b＝ ∅且a与b 不平行 a∩b＝P 数学·必修第四册（B版） 目 录 位置关系 符号表示 图形 线、 面 直线a在平面α内 ⁠ 直线 在平面外 直线a与平面α平行 ⁠ a⊂α a∥α 数学·必修第四册（B版） 目 录 位置关系 符号表示 图形 线、 面 直线 在平 面外 直线a与平面α斜交于点A a∩α＝A 直线a与平面α垂直 ⁠ a⊥α 数学·必修第四册（B版） 目 录 位置关系 符号表示 图形 面、面 两平面平行 ⁠ 两平面相交 ⁠ α∥β α∩β＝l 数学·必修第四册（B版） 目 录 　　提醒：对异面直线的理解：①异面直线是不同在任何一个平面内的两 条直线；②注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面， 因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过 a，b两条直线. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【想一想】 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 提示：不一定.可能平行、相交或异面. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两直线若不是异面直线，则必相交或平行.（　√　　） （2）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交， 并记作α∩β＝a.（　√　　） （3）两个平面ABC与DBC相交于线段BC. （　×　） 2. 点P在直线a上，直线a在平面α内可记为（　A　） A. P∈a，a⊂α B. P⊂a，a⊂α C. P⊂a，a∈α D. P∈a，a∈α 3. 长方体和正方体都有 个顶点， 条棱， 个面. √　 √　 × A 8 12 6 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 若A∈α，B∉α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有 个公共点. 解析：∵A∈α，A∈l，∴直线l与平面α有公共点A，∴直线l⊂平面α 或直线l∩平面α＝A. 下面用反证法证明直线l不可能在平面α内，假设直线l⊂平面α，∵B∈l，∴B∈α，这与已知条件“B∉α”矛盾，故“直线l⊂平面α”不能成立，∴直线l∩平面α＝A，直线l与平面α有唯 一公共点（如图所示）. 1 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点三　直线与平面垂直 1. 定义：如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内 ⁠一条过 点A的直线m，都有 ，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的 一条 ，α是直线l的一个 ），记作 ，其中点A称 为 ⁠. 任意　 l⊥m　 垂线　 垂面　 l⊥α　 垂足　 数学·必修第四册（B版） 目 录 概念 对应图形 投 影 给定空间中一个平面α及一个点A，过点A可以作而且 只可以作平面α的一条 .如果记垂足为B，则 称 为A在平面α内的射影（也称为投影） 距 离 点 、 面 线段 为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离 垂线　 B　 AB　 2. 距离 数学·必修第四册（B版） 目 录 概念 对应图形 距 离 线、 面 当直线与平面 时，直线上 ⁠一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离 面、 面 当平面与平面 时，一个平面上 ⁠一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离 平行　 任意　 平行　 任意　 数学·必修第四册（B版） 目 录 【想一想】 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？ 提示：不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后 者仅指直线与平面平行. 数学·必修第四册（B版） 目 录 线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂 线方向向下移动3 cm后记为C'D'，再将C'D'沿水平方向向左移动4 cm后记 为A'B'，依次连接构成长方体ABCD-A'B'C'D'. （1）该长方体的高为 cm； 解析：如图，（1）该长方体的高为3 cm. （2）平面A'B'BA与平面D'C'CD间的距离为 cm； 解析：平面A'B'BA与平面D'C'CD间的距离为4 cm. （3）点A到平面BCC'B'的距离为 cm. 解析：点A到平面BCC'B'的距离为5 cm. 3 4 5 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜图形语言、文字语言、符号语言的相互转化 【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形： （1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别 相交于A，B； 解：用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图. （2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上. 解：用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 三种语言的转换方法 （1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个 平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用 符号语言表示； （2）要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或 “∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. 提醒　根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的 区别. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系： （1）点C与平面β： ⁠； （2）点A与平面α： ⁠； （3）直线AB与平面α： ⁠； （4）直线CD与平面α： ⁠； （5）平面α与平面β： . ⁠ C∉β A∉α AB∩α＝B CD⊂α α∩β＝BD 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜从运动观点认识几何体 【例2】　如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的 空间图形. 解：线的运动可以形成平面或曲 面，观察AB和l的位置关系及旋转 的方式和方向，可以尝试画出形成 的图形，如图所示. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 用运动观点认识几何体 （1）点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如 果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形 成圆锥面； （2）在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借 助身边的实物来模拟. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 若AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形. 解：如图所示. 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜长方体中基本元素之间的关系 【例3】　在长方体ABCD-A'B'C'D'中，把它的12条棱延伸为直线，6个面 延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中. （1）与直线B'C'平行的平面有哪几个？ 解：与直线B'C'平行的平面有平面ABCD，平面ADD'A'. （2）与平面BB'C'C平行的平面有哪几个？ 解：与平面BB'C'C平行的平面为平面ADD'A'. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）在本例中其他条件不变. （1）与直线B'C'垂直的平面有哪几个？ 解：有平面ABB'A'，平面CDD'C'. （2）与平面BC'垂直的平面有哪几个？ 解：有平面AB'，平面A'C'，平面CD'，平面AC. 2. （变设问）本例中与棱A'D'相交的棱有哪几条？它们与棱A'D'所成的角 是多少？ 解：有A'A，A'B'，D'D，D'C'. 由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A'D'所成角都是90°. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 1. 平行关系的判定 （1）直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成 “长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行； “长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1 相互平行； （2）直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，棱所在的直线与某一平面不相交就平行； （3）平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行. 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 垂直关系的判定 （1）直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线 与平面有且只有一个公共点，则二者垂直； （2）平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共 点，则二者垂直. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，请写出： （1）三对平行的平面； 解：平面ABB1A1与平面DCC1D1，平面ADD1A1与平面BCC1B1，平面 ABCD与平面A1B1C1D1分别平行. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）三对垂直的平面； 解：平面ABB1A1与平面ABCD，平面ABB1A1与平面ADD1A1，平面ABCD 与平面BCC1B1分别垂直. （3）直线AD1与平面BCC1B1的位置关系； 解：直线AD1与平面BCC1B1平行. （4）直线AD与平面ABB1A1的位置关系. 解：直线AD与平面ABB1A1垂直. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是（　　） 解析：选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　） A. 异面或平行 B. 异面或相交 C. 异面 D. 相交、平行或异面 解析：可参考长方体中各条线的位置关系判断. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平 面位置关系如何？试画图分析. 解：这两个平面平行（如图①）或相交（如图②）. 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 下列图形中不一定是平面图形的是（　　） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 四边相等的四边形 解析：　三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边相等的四 边形可能不是平面图形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 如图，平面α，β，γ可将空间分成（　　） A. 五部分 B. 六部分 C. 七部分 D. 八部分 解析：　由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分， 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则（　　） A. P∉α，Q∈α B. P∈α，Q∉α C. P∉α，Q∉α D. Q∈α 解析：由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（　　） A. 1或2 B. 2或3 C. 1或3 D. 1或2或3 解析：　若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同 一条直线，则有3条交线. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 下列命题中的真命题是（　　） A. 若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交 B. 若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面 C. 若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面α D. 若a∥α，b⊂α，则a∥b 解析：　若a⊂α，b⊄α，则a与b平行或异面，B错；对直线AB上两点 A，B虽然都不在α内，但直线AB与平面α可能有公共点，故直线AB与平 面α也可能相交，C错； ⇒a∥b或a，b异面，D错. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 〔多选〕下列关于长方体ABCD-A1B1C1D1的说法中，正确的有（　　） A. 它有3组对面互相平行 B. 与AB垂直的棱只有AD，BC和AA1 C. 它可看成是由一个矩形平移形成的 D. 棱AA1，BB1，CC1，DD1相互平行且相等 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平 面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面 BCC1B1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，故A说法正确； 与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1， A1D1，BB1，CC1和DD1，故B说法错误；这个长方体可看成矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动与AA1长度相等的距离所形成的几何体，故C说法正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度等于长方体中平面ABCD和平面A1B1C1D1间的距离，它们相互平行且相等，故D说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. 如图所示，用符号语言表示以下各概念： （1）点A，B在直线a上 ⁠； 解析：根据点、线、面位置关系及其表示方法可知（1） A∈a，B∈a， （2）直线a在平面α内 ⁠； 解析：根据点、线、面位置关系及其表示方法可知（2）a⊂α， A∈a，B∈a a⊂α （3）点D在直线b上，点C在平面α内 ⁠. 解析：根据点、线、面位置关系及其表示方法可知（3） D∈b，C∈α. D∈b，C∈α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 把下列符号叙述所对应的图形的编号填在题后横线上. （1）A∉α，a⊂α ⁠； 解析：图③符合A∉α，a⊂α； （2）α∩β＝a，P∉α且P∉β ⁠； 解析：图④符合α∩β＝a，P∉α且P∉β； ③ ④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （3）a⊄α，a∩α＝A ⁠； 解析：图①符合a⊄α，a∩α＝A； （4）α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O ⁠. 解析：图②符合α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O. ① ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的直线共有 条. 解析：如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形. 解：图①可看成平面β被α挡住一 部分；图②可看成三棱锥；图③ 可看成是一个正方体，添加虚线 即可（如图所示）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 与空间不共面的四个点距离相等的平面有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 无数个 解析：把问题分成两类：首先是一点对应其余共面的三点，由这点向其余三点确定的面作垂线，则垂线的中垂面满足要求，这样的平面有4个；其次是异面直线，异面直线的公垂线的中垂面满足要求，而异面直线有3对，所以有3个平面.这样一共有7个平面. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 12. 〔多选〕下列说法中错误的有（　　） A. 平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线 B. 如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面 C. 直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线 D. 如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β 解析：A错误，平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线.B错误，如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.C错误，直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面α内无数条直线平行.D正确，如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 13. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，哪几条棱所在直线与棱AB所在直线是异面直线？哪几条棱所在直线与直线B1C是异面直线？哪几条棱所在 直线与直线BD1是异面直线？ 解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱A1D1，D1D，B1C1，C1C所在直线 与棱AB所在直线是异面直线；棱A1D1，D1D，DA，AA1，AB，D1C1所 在直线与直线B1C是异面直线；棱AD，AA1，A1B1，B1C1，C1C，CD所 在直线与直线BD1是异面直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 在如图所示的长方体ABCD-A'B'C'D'中，互相平行的平面共有 ⁠ 对，与A'A垂直的平面是 ⁠. 解析：平面ABCD与平面A'B'C'D'平行，平面ABB'A'与平面DCC'D'平行，平 面ADD'A'与平面BCC'B'平行，共3对.与AA'垂直的平面是平面ABCD，平面 A'B'C'D'. 3 平面ABCD、平面A'B'C'D' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 如图是课桌的大致轮廓. （1）请从这个几何体中寻找一些点、线、面，并将它们列举出来； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：点列举如下： 点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2. 列举如下： 直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线B2C2，直线C2D2，直线A2D2，直线A1B1，直线B1C1，直线C1D1，直线A1D1. 面列举如下： 平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）判断下列说法是否正确. ①直线AA1与直线CC1平行； ②直线AA1与平面C1D1D2C2相交； ③点A1与点B1到平面A2B2C2D2的距离相等. 解：①正确，由于直线AA1与直线CC1同在平面AA1C1C内，且没有交点，因此直线AA1与直线CC1平行. ②不正确，直线AA1与平面C1D1D2C2没有交点，因此直线AA1与平面C1D1D2C2平行. ③正确，点A1到平面A2B2C2D2的距离为A2A1的长，点B1到平面A2B2C2D2的距离为B2B1的长，又A2A1＝B2B1，所以距离相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 $