第二十二章 函数 期末复习一本通 —— 清单・练・测 全程通关 2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十二章 函数 知识点1 常量和变量 1．变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量． 2．常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量． 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化． 知识点2 函数的概念和函数值 1．函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 2．函数值： 在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值． 知识点3 函数自变量的取值范围 1．自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义． 2．常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 ． ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 ． ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 ． ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 ． 3．在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义． 知识点4 函数的表示方法 1．解析式法： 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法． 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系． 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达． 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值． 2．列表法： 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法． 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值． 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系． 3．图像法： 定义：用图像来表示函数关系的方法． 优点：能直观形象的表达函数关系． 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系． 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值．即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 2．函数中自变量x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 3．已知一个函数的图象经过点，则该函数的表达式不可能是（   ） A． B． C． D． 4．下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A． B．C．D． 5．甲、乙、丙、丁四个人步行的路程s（单位：km）和所用的时间t（单位：min）如图所示．按平均速度计算，走得最快的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 7．如图1，一条细线的一端固定，另一端悬挂着一个小球，我们把点称为平衡位置，把小球拉开一个小角度至A处，放开小球后，理想状态下，小球将沿着圆弧左右往返摆动，A、B两点为摆动过程中的最高点（往返摆动一次的时间称为周期）．我们规定小球在平衡位置左侧到平衡位置的水平距离s记为一个正数，小球在平衡位置右侧到平衡位置的水平距离s记为一个负数．通过记录相关数据，描绘了小球到平衡位置的水平距离s（）关于时间t（s）的图象，如图2所示，则下列说法中，正确的是（    ） A．小球摆动一个周期需要 B．当时，小球在最高点B处 C．当时，小球处在下降过程中 D．当时，小球在平衡位置O处 8．，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；②甲出发后被乙追上；③甲比乙晚到；④甲车行驶或，甲，乙两车相距； 其中错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（每小题3分，共12分）9．一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是_____． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 11．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系.用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________ 12．如图1，在中，，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，则的值为________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 晓东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是晓东的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是________________； (2)下表是与的几组对应值： … 0 2 3 … … … 则的值为______________； (3)如图，在平面直角坐标系中，晓东描出表格中各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助晓东画出该函数的大致图象； (4)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_______________． 14．如图，设是边长为6个单位长度的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E在边上运动到点B后折返，点F在边AC上运动到点C后折返，折返时间忽略不计．已知动点E、F在折返前都是每秒1个单位长度运动，折返后都是每秒2个单位长度运动，当返回到点A时运动停止．设运动时间为x秒，点E、F之间的距离为y． (1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图像； (3)当点E、F的距离超过4个单位长度时，结合函数图像，请直接写出x的取值范围． 15．如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 2．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．中，x取 B．y=中，x取 C．中，x取全体实数 D．y=中，x取 3．按如图所示的运算程序，当输入的x的值为时，输出的y的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 5．如图，某链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条的总长度为，则与的关系式是（   ） A． B． C． D． 6．如图，甲、乙两人从M地沿同一路线去相距的N地，、分别表示两人所走的路程S（单位：）与时间t（单位：）的关系．若乙出发a分钟追上甲，则a为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 8．如图1，已知矩形的两条对角线，交于点．动点从点出发，沿矩形的边按的路径匀速运动到点．设点的运动速度为1单位长度秒，运动时间为秒，线段的长为，与函数关系的大致图象如图2所示，其中，分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则的值为（   ） A．5 B．7 C．14 D．16 二、填空题（每小题3分，共12分）9．如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是_____毫米． 10．植物的光合作用受多种因素的影响，小悦在研究某绿色植物光合作用的氧气释放速度v（单位：毫克/小时）与光照强度L（单位：千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置．根据实验结果，绘制了和时，氧气释放速度与光照强度之间的关系图象（如图2），则下列说法正确的是______（填序号）． ①当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快． ②当时，环境下的该绿色植物比环境下2小时后多释放20毫克的氧气． ③光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越慢． 11．作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C．已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离， 与飞行时间t之间的函数关系如图2所示，若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站A离驿站B的距离是__________． 12．为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图表示的是两个社团离社区文化站的距离（）与行驶时间（）之间的关系图象．观察图象回答下列问题： (1)求出“书法社”骑自行车的速度； (2)确定图象中与的值； (3)请说明点表示的实际意义． 14．如图1，，点从出发以每秒的速度沿路线运动，到停止，运动时间为秒．如图2是的面积与（秒）的图像． (1)当点运动到点时，的值为___________； (2)图1中的___________，___________，___________．并求图2中的的值： (3)当时，直接写出的值． 15．数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有理的问题：盒子的体积V（单位：）与底面边长x（单位：）之间有某种函数关系．于是他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整： (1)【建立模型】设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：，∴________（用含x的代数式表示）．① 将①代入长方体的体积公式，得________．② 可知，V是x的函数，自变量的取值范围是； (2)【探究函数】根据函数解析式②，按照下表中自变量x的值计算（精确到0.01），得到了V与x的几组对应值： … 0.25 0.50 0.73 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 … … 0.74 1.44 2.00 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 … 在上画的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象； (3)【解决问题】结合表中数据，并利用所画的函数图象推断： ①当底面边长为________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大； ②这个盒子的体积为2时，底面边长为________（精确到0.01）． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 3．在物理实验中，测量一个物体的重力加速度g，根据公式（其中h为下落高度，t为下落时间），若米，秒，则g的值为（结果保留根号）（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 4．如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为元，后来的结账金额为元，则与的关系式不可能为下列何者？（　　） A． B． C． D． 5．将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在等腰三角形中，，点为中点，连接,若，，则下列能表示与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 7．如图1，在中，，P是边上的一个动点，过点P分别作于点D，于点E，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（） A．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y B．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y 8．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A． B． C．的面积为96 D．当时，的面积为20 二、填空题（每小题3分，共12分）9．若梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为16，则y与x之间的函数表达式是__________（不要求写出x的取值范围） 10．下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是______（填写序号）． 11．根据如图所示的程序计算的值．已知当输入的值是4和7时，输出的值相等，则等于____________． 12．如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为__________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图是某学校安装的围栏平面示意图．已知每根立柱宽为a米，根据围栏中蕴含的数量关系列出了下表： 立柱根数x（根） 2 3 4 5 6 … 护栏总长度y（米） 11 … (1)自变量是______；因变量是______；______； (2)直接写出y与x之间的关系式； (3)已知围栏长度为362米，请求出立柱共有多少根？ 14．小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园．爸爸先出发，一段时间后小明再出发，设爸爸骑行的时间为，两人离家的距离与x的关系如图①所示，两人之间的距离s与x的关系如图②所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)爸爸的速度为______，小明的速度为______； (2)直接写出点P的坐标，并解释该坐标的实际意义； (3)爸爸出发多长时间后，两人相距？ 15．如图1，在平行四边形中，，过点D作于点E，，．点P从点A出发，沿折线运动，点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位．设点P的运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十二章 函数 知识点1 常量和变量 1．变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量． 2．常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量． 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化． 知识点2 函数的概念和函数值 1．函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 2．函数值： 在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值． 知识点3 函数自变量的取值范围 1．自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义． 2．常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 ． ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 ． ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 ． ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 ． 3．在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义． 知识点4 函数的表示方法 1．解析式法： 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法． 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系． 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达． 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值． 2．列表法： 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法． 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值． 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系． 3．图像法： 定义：用图像来表示函数关系的方法． 优点：能直观形象的表达函数关系． 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系． 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值．即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案． 【详解】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选B 2．函数中自变量x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件，是解题的关键．二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，即可进行解答． 函数包含平方根和分母，需满足被开方数非负且分母不为零． 【详解】解：， ∵被开方数， ∴． ∵分母， ∴． 综上，． 故选：D． 3．已知一个函数的图象经过点，则该函数的表达式不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标，如果函数图象经过点，那么这个点的坐标一定使函数的解析式成立．把点的坐标代入函数表达式中，如果表达式成立，则函数的图象经过这个点，否则不经过这个点． 【详解】解：A选项：当时，， 的图象经过点，故A选项不符合题意； B选项：当时，，的图象经过点，故B选项不符合题意； C选项：当时，，的图象经过点，故C选项不符合题意； D选项：当时，，的图象不经过点，故D选项不符合题意． 故选：D． 4．下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义解答即可，在一个变化过程中，给出一个x的值，y有唯一的值与之相对应，此时y叫做x的函数． 【详解】解：由B，C，D中的曲线可知，存在当x取一个值时，对应的y有不唯一的值，所以不符合题意，而A中满足对于x的每一个取值，y都有确定的值与之对应，所以A符合题意． 5．甲、乙、丙、丁四个人步行的路程s（单位：km）和所用的时间t（单位：min）如图所示．按平均速度计算，走得最快的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了平均速度的计算，解题关键是根据图象获取路程和时间，统一单位后计算速度并比较． 平均速度的计算公式是 “速度 = 路程 ÷ 时间”，要比较谁走得最快，需分别计算甲、乙、丙、丁四人的平均速度，再比较大小． 【详解】解：A、甲：路程，时间，速度； B、乙：路程，时间，速度； C、丙：路程，时间，速度； D、丁：路程，时间，速度． 比较可知，甲的速度最快． 故选：A． 6．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 7．如图1，一条细线的一端固定，另一端悬挂着一个小球，我们把点称为平衡位置，把小球拉开一个小角度至A处，放开小球后，理想状态下，小球将沿着圆弧左右往返摆动，A、B两点为摆动过程中的最高点（往返摆动一次的时间称为周期）．我们规定小球在平衡位置左侧到平衡位置的水平距离s记为一个正数，小球在平衡位置右侧到平衡位置的水平距离s记为一个负数．通过记录相关数据，描绘了小球到平衡位置的水平距离s（）关于时间t（s）的图象，如图2所示，则下列说法中，正确的是（    ） A．小球摆动一个周期需要 B．当时，小球在最高点B处 C．当时，小球处在下降过程中 D．当时，小球在平衡位置O处 【答案】C 【分析】本题考查了由函数图象读取相关信息，掌握函数的图象是解题的关键．根据函数的图象解答即可． 【详解】解：由题图可知当小球从点A放开到第一次回到点A处时，需要，即小球摆动一个周期需要，故选项A不符合题意； 由题图可知当时．，即小球摆动到平衡位置左侧最高点A处，故选项B不符合题意； 由题图可知，当时，小球由右侧最高点向平衡位置摆动，结合题意，可知当时，小球处在下降过程中，故选项C符合题意； 由题图可知当时．，即小球摆动到平衡位置右侧最高点B处，故选项D不符合题意， 故选：C． 8．，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；②甲出发后被乙追上；③甲比乙晚到；④甲车行驶或，甲，乙两车相距； 其中错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，能从函数图象中获取准确信息，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①正确；故②正确；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④不正确． 【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是， ∵甲先出发，乙出发后追上甲， ∴， ∴， 即乙车行驶的速度是，故①正确，不符合题意； ②∵当时，乙出发，当时，乙追上甲， ∴甲出发后被乙追上，故②正确，不符合题意； ③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距， ∴甲比乙晚到，故③正确，不符合题意； ④设甲车行驶，甲，乙两车相距， 由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则 解得； 当乙车到达地后时，， 解得， ∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④不正确，符合题意； 综上所述，错误的个数是1个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分）9．一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是_____． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴x小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为20厘米， ∴剩余的高度 总长度燃烧的长度， 即， 故答案为：． 10．若点在函数的图象上，则代数式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及代数式求值，关键是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，得到与的关系式，再通过整体代入法计算代数式的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴得，即， ∴； 故答案为：． 11．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________ 【答案】①④②③ 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 12．如图1，在中，，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，则的值为________． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理和从函数图象获取信息．从函数图象得到，当时，，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，，当时，， 此时． 故答案为： 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 晓东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是晓东的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是________________； (2)下表是与的几组对应值： … 0 2 3 … … … 则的值为______________； (3)如图，在平面直角坐标系中，晓东描出表格中各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助晓东画出该函数的大致图象； (4)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_______________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查函数图象，函数自变量的取值范围． （1）根据分母不为0，求出x的取值范围； （2）把代入函数解析式求出y的值即可； （3）根据所描出的点画出函数图象即可； （4）根据函数图象得出函数性质． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴函数的自变量x的取值范围为：， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴， 故答案为：； （3）解：函数的大致图象如图： （4）解：根据函数图象可知：函数图象关于y轴对称， 故答案为：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）． 14．如图，设是边长为6个单位长度的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E在边上运动到点B后折返，点F在边AC上运动到点C后折返，折返时间忽略不计．已知动点E、F在折返前都是每秒1个单位长度运动，折返后都是每秒2个单位长度运动，当返回到点A时运动停止．设运动时间为x秒，点E、F之间的距离为y． (1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图像； (3)当点E、F的距离超过4个单位长度时，结合函数图像，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了函数在几何中的应用，涉及了等边三角形的性质，抓住是等边三角形是解题关键． （1）由题意得是等边三角形，分类讨论、两种情况即可求解； （2）根据函数解析式即可描点作图； （3）确定点E、F的距离为4个单位长度时x的取值即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： ∵ ∴是等边三角形 当时，， 当时，， ∴； （2）解：如图所示： （3）解：由图可知：当或时，点E、F的距离为4个单位长度 故：当时，点E、F的距离超过4个单位长度 15．如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 2．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．中，x取 B．y=中，x取 C．中，x取全体实数 D．y=中，x取 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数必须非负，判断每个选项的自变量取值范围是否正确． 【详解】解：A、，被开方数，所以，正确； B、，分母，所以，正确； C、，可取全体实数，正确； D、，被开方数且分母，所以，即，但选项说，错误； 故选：D． 3．按如图所示的运算程序，当输入的x的值为时，输出的y的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，函数值，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 根据数的大小选用合适的函数关系式求函数值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴输出的的值为. 故选：B. 4．若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象的识别，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识；已知等腰三角形的腰长为，底边长为，根据三角形的周长可得； 然后根据三角形的三边关系可得且； 接下来根据可确定x的取值范围，根据此范围及函数式即可确定图象． 【详解】解：根据题意，， 所以， 根据三角形的三边关系，， 所以，解得， 所以y与x的函数关系式为， 只有D选项符合． 故选D． 5．如图，某链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条的总长度为，则与的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形和数字类规律探究、列函数解析式，根据题意找规律是解题的关键． 先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意得： 1节链条的长度为， 2节链条的总长度为， 3节链条的总长度， …… x节链条总长度为， 即y与x的关系式是． 故选：D． 6．如图，甲、乙两人从M地沿同一路线去相距的N地，、分别表示两人所走的路程S（单位：）与时间t（单位：）的关系．若乙出发a分钟追上甲，则a为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】此题主要考查了从函数图象正确获取信息及一元一次方程的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键．观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答． 【详解】解：由图知，甲的速度为，乙的速度为， ∵乙出发a分钟追上甲， 则由题意得：， 解得：， 故选：B． 7．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象分析、平行四边形性质、三角形面积计算及勾股定理应用等知识点，解题的关键在于通过函数图象确定点P运动的时间与路径，进而求得各边长，利用三角形面积公式反推出高，最后结合勾股定理计算对角线的长度。 【详解】解：由图象可知，， 四边形是平行四边形， ， 当点P在上运动时，， 设边上的高为h， ，即， 点P从A到D运动时间为， ，即， ， ， ． 如图， 过A作于E，则， 在中，， ， ． 故选：C． 8．如图1，已知矩形的两条对角线，交于点．动点从点出发，沿矩形的边按的路径匀速运动到点．设点的运动速度为1单位长度秒，运动时间为秒，线段的长为，与函数关系的大致图象如图2所示，其中，分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则的值为（   ） A．5 B．7 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题动点问题的函数图象．根据题意可得出，；由矩形的性质可知和是等腰三角形，且当当运动到中点时，取最小值，当运动到中点时，取最小值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，当时，点与点重合，此时， ， 当时，点与点重合， ， 当运动到中点时，取最小值，此时； 当运动到中点时，取最小值，此时； ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分）9．如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是_____毫米． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的求值，熟练掌握函数值的代入计算方法是解题的关键．根据已知的函数关系式，将自变量代入，进而求出对应的函数值． 【详解】已知函数关系式，将代入可得毫米． 故答案为：． 10．植物的光合作用受多种因素的影响，小悦在研究某绿色植物光合作用的氧气释放速度v（单位：毫克/小时）与光照强度L（单位：千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置．根据实验结果，绘制了和时，氧气释放速度与光照强度之间的关系图象（如图2），则下列说法正确的是______（填序号）． ①当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快． ②当时，环境下的该绿色植物比环境下2小时后多释放20毫克的氧气． ③光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越慢． 【答案】①② 【分析】本题主要考查根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象求解是解题关键．根据函数图象获得有用信息，进行解得即可． 【详解】解：①根据函数图象得：当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快，正确，符合题意； ②当时，环境下的该绿色植物得氧气释放速度为50毫克/小时，环境下的该绿色植物得氧气释放速度为40毫克/小时，2小时后多释放毫克氧气，正确，符合题意； ③光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度与温度有关系，选项错误，不符合题意； 综上分析可知：正确的是①②． 故答案为：①②． 11．作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C．已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离， 与飞行时间t之间的函数关系如图2所示，若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站A离驿站B的距离是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是从图中获取信息来解答． 由图可得A到C的距离为20千米，甲2分钟飞行了千米，乙飞行了2分钟后离驿站C还有9千米，可得甲、乙的速度与甲、乙到达C的时间，从而可得B到C的距离，即可求得驿站A离驿站B的距离． 【详解】解：根据图中信息，得到A到C的距离为20千米，甲2分钟行了千米，乙飞行了2分钟后离驿站C还有9千米， ∴甲从A到C用的时间：（分钟）， ∴乙的速度：（千米/分钟） ∴乙从B到C的距离：（千米）， ∴驿站A离驿站B的距离是：（千米）． 故答案为：． 12．为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 【答案】 5 2 【分析】本题考查函数图象的应用，勾股定理，垂线段最短，从图象上获取正确的信息是关键． 当时，，根据函数图象进行填空即可．作，垂足为，设，由函数图象可知，，．根据勾股定理，，解方程求出，进而求出．根据垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴； 如图，作，垂足为，设， 由图象可知，当时，， ∴，， ∴， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴，即， 由垂线段最短可得，的最小值为． 故答案为：；． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图表示的是两个社团离社区文化站的距离（）与行驶时间（）之间的关系图象．观察图象回答下列问题： (1)求出“书法社”骑自行车的速度； (2)确定图象中与的值； (3)请说明点表示的实际意义． 【答案】(1) (2)a的值为5，b为12 (3)点P表示的实际意义是“书法社”同学骑自行车从中央广场到社区文化站的途中，与“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从社区文化站前往中央广场的途中相遇． 【分析】本题考查函数与图像，有理数的计算，一元一次方程，理解图像是解题的关键． （1）由图像，根据速度=路程时间，即可解答； （2）先求出旅游观光车的速度，再根据速度=路程时间，即可解答； （3）根据图像，即可解答． 【详解】（1）解：由图像，可知“书法社”骑自行车的速度为（）． 答：“书法社”骑自行车的速度为 ． （2）解：由题意，得 旅游观光车的速度是 ∴， ∴， 解得：． 答：a的值为，b为． （3）点P表示的实际意义是“书法社”同学骑自行车从中央广场到社区文化站的途中，与“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从社区文化站前往中央广场的途中相遇． 14．如图1，，点从出发以每秒的速度沿路线运动，到停止，运动时间为秒．如图2是的面积与（秒）的图像． (1)当点运动到点时，的值为___________； (2)图1中的___________，___________，___________．并求图2中的的值： (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2)4；6；2； (3)3 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）直接从图象获取信息作答即可； （2）结合图象可知，当时，点与点重合，当时，点与点重合，当时，点与点重合，进行作答即可； （3）利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当点运动到点时，的值为6； 故答案为：6； （2）由图象可知，当时，点与点重合，当时，点与点重合，当时，点与点重合， ∴，，； ∵， ∴当时，； 故所填答案为：4；6；2； （3）的值为3，理由如下： 当时，此时点在上，如图： 由题意，可知：， 由勾股定理，得：， ∴， ∴， 解得：； ∴的值为3． 15．数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有理的问题：盒子的体积V（单位：）与底面边长x（单位：）之间有某种函数关系．于是他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整： (1)【建立模型】设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：，∴________（用含x的代数式表示）．① 将①代入长方体的体积公式，得________．② 可知，V是x的函数，自变量的取值范围是； (2)【探究函数】根据函数解析式②，按照下表中自变量x的值计算（精确到0.01），得到了V与x的几组对应值： … 0.25 0.50 0.73 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 … … 0.74 1.44 2.00 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 … 在上画的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象； (3)【解决问题】结合表中数据，并利用所画的函数图象推断： ①当底面边长为________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大； ②这个盒子的体积为2时，底面边长为________（精确到0.01）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②或 【分析】本题考查了函数图象以及分式的乘法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1）把代入计算即可得解； （2）用平滑的曲线连接即可得解； （3）①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得对称轴,此时处于最高点，即可判断求解，②由当时，，当时，，结合图形判断求解即可. ②根据函数图象求解即可 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：作图如下， ； （3）解：①∵当时，此时处于最高点， ∴结合图象可得，底面边长为时，这个盒子的体积最大， 故答案为：； ②∵当时，，当时，， ∴结合图形得这个盒子的体积为2时，底面边长为或. 故答案为：或. （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应． 【详解】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值， ∴ ①y是x的函数； ∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ②y不是x的函数； ∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ③y不是x的函数； ∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值， ∴ ④y是x的函数； ∴ ①和④是函数，共2个， 故选：B． 2．如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【答案】D 【分析】本题考查了变量与常量的概念，解题关键是区分“变化的量”和“固定不变的量”． 要判断变量和常量，需明确：变量是在变化过程中数值发生改变的量，常量是数值固定不变的量，结合关系式分析即可． 【详解】解：在关系式中： （身高）和（一拃长）的数值会随不同的人发生变化，因此与是变量； 和是固定不变的数值，因此是常量． A、是变量，是常量，错误，不符合题意； B、是变量，是常量，错误，不符合题意； C、与是变量，与是常量，错误，不符合题意； D、与是变量，与是常量，正确，符合题意． 故选：D ． 3．在物理实验中，测量一个物体的重力加速度g，根据公式（其中h为下落高度，t为下落时间），若米，秒，则g的值为（结果保留根号）（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】C 【分析】本题考查函数解析式，将，代入求出对应的的值即可．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：（米/秒）． 故选：C． 4．如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为元，后来的结账金额为元，则与的关系式不可能为下列何者？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式的应用，分类讨论思想，根据题意，需要对第一次买的蛋糕进行讨论，和后来添加的黑樱桃蛋糕的价格进行对比，再进行解答． 【详解】解：阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，后来多买了一个50元的黑樱桃蛋糕，优惠方式为：价格最低的蛋糕免费． ①若原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格等于50元或高于50元，最后买的黑樱桃蛋糕是最便宜的，免费， ∴此时原本结账金额等于后来结账的金额，即； ②如果原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格低于50元，则这个最便宜的蛋糕就变成免费，改以黑樱桃蛋糕计费，价格发生变化． 如果原本四个蛋糕中最便宜的是40元（伯爵茶蛋糕），买了黑樱桃蛋糕后，伯爵茶蛋糕变成免费，需要付黑樱桃蛋糕，多付10元， 此时，； ③如果原本四个蛋糕中最便宜的是45元，买了黑樱桃蛋糕后，多付5元， 此时，． 故选：D． 5．将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案. 【详解】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢， ∴符合题意的图象是B选项中的图象． 故选：B． 6．如图，在等腰三角形中，，点为中点，连接,若，，则下列能表示与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象、等腰三角形的性质及直角三角形中两锐角互余的性质．根据题意，先得出与的函数关系式，再结合的取值范围进行判断即可． 【详解】解：∵，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴观察四个选项，C 选项符合题意， 故选：C ． 7．如图1，在中，，P是边上的一个动点，过点P分别作于点D，于点E，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（） A．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y B．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，先由勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于，由等面积法得到，则，再证明四边形是矩形，得到，，则当时，最小，即此时最小，即的最小值为，再由点到点的距离可以无限小，得到点与的距离为，点到点的距离可以无限小，得到点与的距离为，据此可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵在中， ， ， ， 如图所示，连接，过点作于， ， ， ， ， ，，， ∴四边形是矩形， ， ∴当时，最小，最小值为的长，此时最小， ∴的最小值为，此时， 而点到点的距离可以无限小， ∴由函数图象可知点与的距离为，而点到点的距离可以无限小， ∴由函数图象可知点与的距离为， 故选：A． 8．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A． B． C．的面积为96 D．当时，的面积为20 【答案】D 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息． 由图可得当点P运动到点B处时，，当点P运动到点D处时，，由此可判断A选项；当点P运动到点D处时，，由此可判断B选项；作，根据等腰三角形三线合一及勾股定理，可求出，当时，点P运动到的中点处，，由此可判断C，D选项． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即， 当点P运动到点D处时，， ∴， 故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即， ∴， 故B正确，不符合题意； 当时，点P运动到的中点处，如图： 此时， 作， ， ∴， ∴， ∴的面积， 故C正确，不符合题意； ∴， 故D选项错误，符合题意； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共12分）9．若梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为16，则y与x之间的函数表达式是__________（不要求写出x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了函数的应用，直接利用梯形面积公式求出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：∵梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为16， ∴， 整理得：， ∴y与x的函数关系是：， 故答案为：． 10．下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是______（填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了图象的读图能力．要理解图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．根据值随的变化情况，逐一判断． 【详解】解：①当货车开始进入隧道时逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时不变且最大，当货车开始离开隧道时逐渐变小．故①符合题意； ②往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，水的体积从某一数值逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少至0，杯中水的体积与所用时间，变量与之间的关系不符合图象，故②不符合题意； ③小明距离家先逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即逐渐变小，故③正确符合题意； 故答案为：①③． 11．根据如图所示的程序计算的值．已知当输入的值是4和7时，输出的值相等，则等于____________． 【答案】 【分析】此题考查了函数值，用关系式表示变量间的关系，弄清程序中的关系式是解本题的关键． 把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 当时，， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12．如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为__________． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键．过点作于点，连接，由图象可知；当点N与点B重合时， ；，先求得，推出，在利用勾股定理求得． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： 由图象可知；当点N与点B重合时， ；． 在中，由勾股定理，可得． ， ． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图是某学校安装的围栏平面示意图．已知每根立柱宽为a米，根据围栏中蕴含的数量关系列出了下表： 立柱根数x（根） 2 3 4 5 6 … 护栏总长度y（米） 11 … (1)自变量是______；因变量是______；______； (2)直接写出y与x之间的关系式； (3)已知围栏长度为362米，请求出立柱共有多少根？ 【答案】(1)立柱根数x（根）；护栏总长度y（米）； (2) (3)135根 【分析】本题考查用表格和函数关系式表示变量之间的关系，解题的关键是求出函数关系式． （1）根据题意和表格数据，得到立柱每增加1根，护栏总长度增加米，进而求出a的值即可； （2）根据（1）中的规律，写出函数关系式即可； （3）令，求出x的值即可． 【详解】（1）解：自变量是立柱根数x（根）；因变量是护栏总长度y（米）； 由题意，每两根立柱之间的距离相等， ∴每增加1根立柱，总长度增加的长度相同， 由表格可知：当立柱从2根变成3根时，总长度增加米， ∴； 故答案为：立柱根数x（根）；护栏总长度y（米）； （2）解：y与x之间的关系式为； （3）解：当时，，解得． 答：立柱共有135根． 14．小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园．爸爸先出发，一段时间后小明再出发，设爸爸骑行的时间为，两人离家的距离与x的关系如图①所示，两人之间的距离s与x的关系如图②所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)爸爸的速度为______，小明的速度为______； (2)直接写出点P的坐标，并解释该坐标的实际意义； (3)爸爸出发多长时间后，两人相距？ 【答案】(1)12；18 (2)点P坐标为，点P的实际意义为：小明到达公园，小明和爸爸之间的距离为 (3)爸爸出发或后两人相距 【分析】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，明确题意，从图象中获取信息是解题的关键． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得爸爸和小明的速度； （2）根据题意可以求出点P坐标以及点P的实际意义； （3）由图象可知小明和爸爸相距有两种情况，然后分别计算即可． 【详解】（1）解：根据图②和题意可知，爸爸骑行了， ∴爸爸的速度为：， ∴爸爸骑行的路程为：， ∴小明的速度为：， 故答案为：12；18； （2）解：设点P坐标为， 由图象①可知， ∴， ∴点P坐标为， ∴点P的实际意义为：小明到达公园，小明和爸爸之间的距离为； （3）解：设爸爸出发x小时后两人相距， ①小明出发后，根据题意得：， 解得：； ②小明到达终点后，， 解得：； 综上所述，爸爸出发或后两人相距． 15．如图1，在平行四边形中，，过点D作于点E，，．点P从点A出发，沿折线运动，点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位．设点P的运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质等，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）分“点P在线段上”“点P在线段上”两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）根据（2）中图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，， 是等腰直角三角形，，， ， ， 点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位, ，， 时，点P在线段上，时，点P在线段上． 当点P在线段上时，如图，作于M，于N，得矩形， 在平行四边形中，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 当点P在线段上时，如图， ， ， 综上可得，； （2）解：函数图象如图所示， 由图可知，当时，y随x的增大而减小； （3）解：由（2）中图象可得，当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $