精品解析：陕西渭南市渭南高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，最大值是2的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】和的最大值都是，没有最大值，的最大值为2． 2. 已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 则与同方向的单位向量为. 3. 函数的图象可以由的图象（ ） A. 向左平移1个单位长度得到 B. 向右平移1个单位长度得到 C. 向上平移1个单位长度得到 D. 向下平移1个单位长度得到 【答案】B 【解析】 【详解】的图象向右平移1个单位长度即可得到的图象． 4. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先将角度转化为弧度，， 所以终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为. 5. 已知的三个顶点分别为，，，则是（ ）． A. 的直角三角形 B. 的直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】，，，，，； ，， ； ，即； 是的直角三角形. 6. 在中，，，交于点，设，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算以及平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】如下图所示： 因为，，即， 故，所以， 又因为，即， 故， 因为、不共线，所以，解得. 7. 已知函数在区间上单调，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，，设的最小正周期为， 则，故，所以， 即，解得，所以． 8. 在中，，，且的面积为，则（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长到，使得，可得，由可得，进而求得，，在中，由余弦定理求得答案. 【详解】如图，延长到，使得， 由，可得，即，所以， 因为，所以，即，得， 由勾股定理可得，则， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，不一定成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，根据向量加法的三角形法则，可知成立，故D正确． 10. 已知函数与的图象的一个公共点的坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 为正整数 B. 若，则的单调递减区间为 C. 若，则的图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变）得到 D. 若，则与的图象在上共有7个公共点 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由的图象经过点，可得，即，故A正确； 对于B，若，则，令， 可得， 所以的单调递减区间为，故B正确； 对于C，若，则的图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到，故C错误； 对于D，当时，在同一坐标系内作出与在上的大致图象，如图，可得共有7个公共点，故D正确． 11. 在中，角的对边分别为，已知，D为的中点，且，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 的周长为28 D. 的内切圆半径为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由结合余弦定理可得一个等式，再由结合余弦定理得另外一个等式，联立两者即可求解；对于B，在A选项的基础上，结合正弦定理即可求解；对于C，由余弦定理变形即可求解周长；对于D，利用三角形周长和面积即可求解内切圆半径． 【详解】对于A，由，得，在中， 由余弦定理可得，所以， 因为为的中点，， 所以，由余弦定理可得， 解得，故A正确； 对于B，设的外接圆半径为，由，得， 由正弦定理得，解得，故B错误； 对于C，由，得， 又，由此可得，所以的周长为28，故C正确； 对于D，的面积为，周长为28，设其内切圆半径为， 则，解得，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某款智能扫地机器人在墙角工作时，会启动“扇形深度清扫”模式：来回清扫一个以墙角为圆心、为半径、圆心角为的扇形区域，该扇形区域的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【详解】该扇形区域的面积为． 13. 若关于的方程在时恰有3个实根，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】如图，作出函数在上的图象，则， 所以． 14. 如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】可先通过面积倍数关系推导各线段长度比例，再借助坐标法对向量进行线性分解，求解系数后计算的值. 【详解】设小等边三角形的边长为，由， 设，则. ∵，且， ∴，即. 由中间小等边三角形性质，， ∴. ∵， ∴化简得， 解得正根，即，. 在中由余弦定理得 ， 解得. 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 得各点坐标：，，. 在中，由正弦定理，得； 由余弦定理得. 又， 则， ， 因此点坐标为， ∴. 则， 所以， 解得，，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，且角的终边与单位圆交于点，角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求得和的值，即可求解. （2）根据三角函数的定义求得，进而利用诱导公式化简，代入三角函数值计算即可求解. 【小问1详解】 因为角的终边与单位圆交于点． 所以． 因为角的终边经过点， 所以． 所以． 【小问2详解】 由题可知， 所以 ． 16. 已知，为不共线的单位向量，，． （1）若且，求，的夹角的余弦值； （2）若，的夹角为，且，求实数的值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的数量积为零，求出，的夹角的余弦值即可； （2）利用的模长，以及向量的夹角为列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 则 则 , 则 , 则 , 则 . 【小问2详解】 , , , , , , 解得： 当时，，成立， 当时， 成立， 或. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若为奇函数，求的值； （3）若在区间上有最小值，无最大值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期公式即可算； （2）由题可推得为偶函数，据此可算； （3）计算出的范围，而最小值点必须在此范围之中，由此列出不等式求解即可． 【小问1详解】 的最小正周期． 【小问2详解】 因为是奇函数，且为奇函数，所以为偶函数， 则，又因为，所以． 【小问3详解】 当时，， 因为，所以， 又在上有最小值，无最大值，所以，解得， 即的取值范围为． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A． （2）已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解； （ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，由正弦定理得：， 因为AD平分， 所以， 因为， 所以， 将代入上式得，解得，， 由余弦定理得，解得. （ⅱ）由， 得， 将代入上式得，即，即， 则， 当且仅当时，等号成立，则的最小值为8； 由余弦定理得， ， 令，则， 因为 ，当时，的最小值为， 则的最小值为， 所以周长的最小值为. 19. 如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点． （1）若，向量与垂直，求实数a的值； （2）若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值； （3）设（且为常数），若的最小值为，求x的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而结合平面向量的数量积运算律求解即可； （2）连接交于点，根据平面向量的线性运算可得，根据三点共线的推论可得，再结合基本不等式“1”的代换求解即可； （3）由题意可得，进而结合平面向量的数量积运算律化简可得，进而结合二次函数的性质可得，进而求解即可. 【小问1详解】 因为向量与垂直， 所以， 则， 而，，则， 即，解得. 【小问2详解】 连接交于点，由于为的重心， 则， 而，， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 【小问3详解】 由于，，则， 所以 ， 函数开口向上，对称轴为， 则时，取得最小值，而的最小值为， 则，又，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，最大值是2的为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 函数的图象可以由的图象（ ） A. 向左平移1个单位长度得到 B. 向右平移1个单位长度得到 C. 向上平移1个单位长度得到 D. 向下平移1个单位长度得到 4. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的三个顶点分别为，，，则是（ ）． A. 的直角三角形 B. 的直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 6. 在中，，，交于点，设，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数在区间上单调，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 在中，，，且的面积为，则（ ）． A. 3 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 已知函数与的图象的一个公共点的坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 为正整数 B. 若，则的单调递减区间为 C. 若，则的图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变）得到 D. 若，则与的图象在上共有7个公共点 11. 在中，角的对边分别为，已知，D为的中点，且，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 的周长为28 D. 的内切圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某款智能扫地机器人在墙角工作时，会启动“扇形深度清扫”模式：来回清扫一个以墙角为圆心、为半径、圆心角为的扇形区域，该扇形区域的面积为___________．（结果保留） 13. 若关于的方程在时恰有3个实根，则___________． 14. 如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，且角的终边与单位圆交于点，角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知，为不共线的单位向量，，． （1）若且，求，的夹角的余弦值； （2）若，的夹角为，且，求实数的值． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若为奇函数，求的值； （3）若在区间上有最小值，无最大值，求的取值范围． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A． （2）已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 19. 如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点． （1）若，向量与垂直，求实数a的值； （2）若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值； （3）设（且为常数），若的最小值为，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $