吉林延吉市延边第二中学2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题

延边第二中学2023级高三第二次模拟考试 数学学科试卷 052 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 已集合10,-201.则na-) 1. A.{-2,0,1,2} B.0,1,2} C.{2,1,2} D.-2,0,2 2. 设复数2=+5，其中1是虚数单位，三是：的共躬复数，下列判断中正确的是（) 22 A.:虚部为-5 1B.4z>z+ 33 C.z2=1 D.f=1 2 3. 已知集合A={xar=1,a∈R},B={-1,1},则“a∈B”是“A∈B”的（) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.一组数据从小到大排列为：3,4,5,6,7,9,12,14，若该组数据的下四分位数、中位数、 平均数分别是a,b,c,则() A.b<c<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b 线C:r-y=1,椭圆C+y=1(a>)的离心率分别为e,6,若6 A.√2 B.2 C.3 D.5 6在△ABC中，角4，B,C的对边分别为，，满足a(coxR---cC)-(be0cms4,若血B= 则cos(B+C)的值为() A. B. C.- 3 3 D.-7 高三数学试卷第1页，总4页 7.已知数列{a}满足 +1++1=3，则a,的最大值为〈) 442a A. C.1 D. 6 8.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB=2,∠ACB=90°，PA为 球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为() A.√2 B.2W2 C.5 D.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.记Sn为等差数列{a}的前n项和，若S=2%-6,S=-18,则（) A.g<0 B.a>0 C.S,=0 D.当n=4或5时，Sn最大 10.已知f(x)=(2x-3)”=a+a4x+a2x2+…+amx",w)的展开式中只有第5项的二项式系数最大， 则() A.=8 B.f(x)的展开式中所有项的二项式系数和为1 C.f(6)-1是5的倍数 D.4+2a+…+lgn=-8 1.已知界天是椭圆c:f+前-10m>0的两个焦点，点4G)在柄圆c上，8是精圆c上的 动点，BN⊥x轴，垂足为N,且点P为BN的中点，BM⊥y轴，垂足为M,且点Q为BM的中 点，则() A.AF +4F2 =4 B.AP的最小值为E C.△POA面积的最大值为 3 4 D.△PoQ面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12、已知空间向量a=(3,-1,2),b=(-6,2,x),若i在a上的投影向量是-2a,则x的值为 13、已知函数f(x)=3(Inx)+2ax有2个极值，则a的取值范围是 高三数学试卷第2页，总4页 14、盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入 同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在锐角△4BC中，角4，B,C所对的边分别为ab,c,满足a-b c-b sin C sin A+sin B ,且a=2. (L)若⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径R: 2)求锐角△ABC周长I的取值范围. 16.已知数列{a}的前n项和Sn=22-4(n∈N),函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)+f(1-x)=1, 数列拉.}满足.=1o)++f)+"片+f (①)求数列{a}，{色}的通项公式； (2)若数列{cn}满足c=a·b,求数列{cn}的前n项和T. 17.近年来，AI已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地 区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 人数 30 150 90 60 30 （1)利用统计表中的数据试估计该A1工具用户的平均年龄： (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽 取4人，记抽到第一组的人数为m,第二组的人数为m.设X=-刊，求X的分布列： (3)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的t(3≤t≤12，且t∈N)个.若从这20个 问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时t的取值. 高三数学试卷第3页，总4页 18.己知函数f(x)=xhx-x(m∈R). (1)当m=2时，求曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程： (2)当x>1时，不等式(x)+lnx+3>0恒成立，求整数m的最大值. 19.如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为“，截面与圆锥的轴 线的夹角为B,当B=时，截线是圆：当&<B<正时，截线是椭圆；当=B时，截线是抛物线： 当☑>B时，截线为双曲线.如图2所示，P为圆锥的顶点，O为底面圆心，AB为圆O的一条直 径，且PA=AB=4V3,Q为弧AB的中点，点H满足 PH=2HO,点E为线段PB的中点： (1)求直线PO与平面AHE所成角的大小： (2)平面AHE与圆锥PO的截线记为曲线G,在平面 AHE内，以AE所在的直线为x轴（设以AE的方向 图1 图2 为x轴正方向)，以线段AE的中垂线为y轴（设以AE逆时针旋转90°后的方向为y轴正方向)， 建立平面直角坐标系 ①求出曲线G的标准方程： ②设S,T为曲线G上两动点，若∠SHT的平分线与x轴垂直，求证：直线ST的斜率是定值，并求 出这个定值 高三数学试卷第4页，总4页 数学答案 2 3 5 7 8 9 10 11 D B A B D AC AC ACD 12.-4 143 15.【详解】(1)由正弦定理原式a-b,c-b sinC sinA+sinB 可化为：a-bc-b G一a+b,整理得：d2-bP=c2-bc 即公+d-云-c,由余孩定理csA-6次亡，代入得osA死分，因为△AC是锐角三 2bc 角形，故4=由正弦定理可得2R== in133,所以o0的半径R为2 3 2 2》由D得4-了则5：Q-号，即如cm[任小-马m8,由E孩定星可知 siAV3sinB,c=aimC、4 b=asinB 4 sin店sinC,所以 b+c=- (sinB+sinc)=4 a+9oar-9nens- 因为△C为锐角三角形，所以0<B<子，0<否B<子，则gB子子B+名否，则 2’3 6 值范围为2+2W5,6. 16.【详解】(1)由题意，当n=1时，4=S=2+2-4=4,当n≥2时， a=Sn-Sn1=2+2-4-21+4=2”1,当n=1时，4=4也满足上式，a,=2H,neN, 对于数列积3：由久=回+伯+月+10，可得 么=0)+，+，2++得+o两式相加，可得 边-[ro+r[-[rro-11*1-1a+-n1 高三数学试卷第5页，总4页 6sn 2’neN. (2)由(1)，可得c.=4b=2."牛1=(m+1)-2”,则 2 T=G1+C32+…+cn=2.2+322+423+…+(n+1)2” 2Z=222+3·2+4.2+…+n.2”+(1+1)2+1两式相减， 可得-元=22+2+2--2-42a28次=m2. 1-2 17.【小问1详解】估计平均年龄为，×(30×15+150×25+90×35+60×45+30×55)=32.5. 360 【小问2详解】由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有 12 ×30=1（人)， 360 年龄在第二组内的有 12 ×150=5(人)，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4， 360 P(Y-0)-c+ccc P(X-1)-Gocq+CcC-1 C 11, P(X=2)= cc+cc 32 C4 331 P(X=4)= C-1 99则X的分布列为： 0 2 3 4 2 4 32 4 1 11 11 99 33 99 【小问3详解】从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为 Pp-CC,改f0=cc,由3s1≤12，且teN得/>0， 高三数学试卷第6页，总4页 (t+1)！(19-t)！ 所 ft+1）_C2Ct 31t-2!7112-t)！(t+1)(13-t)_-t+12t+13 f() CC- 1! (20-t)！t-2)(20-t)-t2+22t-40' 3!(t-3)！7(13-t) 显然2+12t+13>0,-t2+22t-40>0,令m=（-1+12t+13)-（-t+22t-40）=53-10t, 当31时有m0.。提品1，即+0，时 f(3)<f(4)<f(5)<f(6):当6≤t≤12时，有m<0, 48,即 f(t+1)<f(t),此时f(6)>f(7)>…>f(12),即f(t0)x=f(6),所以t=6. 18.【解析】(1)当m=2时，f(x)=xlnx-2x,f(1)=-2,因为f'(x)=lnx+1-2=nx-1,所以f(1)=-1, 所以曲线y=∫(x)在点(1，f()处的切线方程为y-（-2)=-1×(x-1),即x+y+1=0. (2)由题意，知tr-m+lc+3>0对任意x>1恒成立，可知u<hx+nx+3对任意>1恒成立. 设函数国)=m+(x>,只需m<g·对酒数e求号，得 g)=上+1-x+3)_-r-2.设函数4()--r-2>,对通数h()求导，得 x2 x? M)=1一0，所以函数a(在1)上单调造增.又 A3)1-h3<0a)好0，所以存在），使6)-0，即飞-c-2=0, 所以当x∈(1，x)时，h(x)<0,g'(x)<0,函数g(x)单调递减：当x∈(，+o)时，h(x)>0,g(x)>0, 函数8()单调递增，所以8()。=8()=此+。+3=。-2+名-2+3 +1-1 Xo 所以整数m的最大值为2. Xn 19.【详解】（1)由题设以O为原点，分别以OA,OO,OP所在直线和正方 向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 高三数学试卷第7页，总4页 4e一 5oj-o(...) o亚-(Qa9.正(a小.证25452，设子面4的-个法向量为i,则 7=-26,9+之=0◆1则-0间拔 AE.i=-3V3x+3z=0 cos(Op,n)= OP-n 6W3V5 o网 F+可6子，则O吾故直线0与平面4运所成角为号 2)①由(1)，直线0与圆锥母线所成的角为。且g否子放曲线G为椭圆， 设该椭的力老为号+若=a>60,2a=4=6,放a3:由()可得四 45,2,设P0 3 与4的交点为P,圆FQQ2所Q.04-(,0,易得丽5=0，即1As, 故F0=1, 3 16 4W3 故点H在平面AHE内的坐标为 1, 3 因为点H在曲线G上，故有1+3=1→B=6' 9b2 故曲线G的标准方程为+ -=1 9 6 ②易知直线SH的斜率存在，设其方程为y+ 3=kx,联立” =1得 96 (3k2+2)x2-（6k2+8W3k)x+3+8V3k-2=0,设点S(x,),由韦达定理与H点坐标，则 5-+8-2,∠SHT的平分线与x轴垂直，故直线H与直线H的斜率互为相反数，设直 3k2+2 线H的方程为+-K-,设点T,),同理可每，-张85所-2， 3 3k2+2 高三数学试卷第8页，总4页 -8k 故直线ST的斜率为 -业-（任+-2）-32+2- 为-为3为-水3 16W3k 6，是一个定值 3k2+2 高三数学试卷第9页，总4页