精品解析：陕西榆林市靖边县靖边中学2026年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷(一) 数学

2026年普通高等学校招生全国统一考试・冲刺押题卷（一） 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，. 所以的虚部是． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据真子集的定义，结合交集定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以，，即， 又，但，所以，故. 3. 已知为双曲线：的左焦点，直线过点与的右支有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，得到渐近线方程，据此可得直线的斜率的取值范围为，再得到直线的倾斜角的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，双曲线的渐近线方程为， 又直线过点与的右支有公共点， 则直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为. 4. 已知两非零向量，满足，，则与夹角的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量线性运算的几何意义、平面向量夹角的定义进行求解即可. 【详解】，两边同时平方，得， 得，所以， 令，（如图），则， 所以与的夹角为， 故与夹角的正切值为. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 6. 已知实数且，，函数，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式形式，构造新函数，根据新函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 则， 所以， 所以， 所以， 因为，所以. 7. 已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，进而得到点，求出直线，的方程，再化简即可． 【详解】解：设，则，且，，不失一般性， 圆与轴交于点，，则，， 直线，的方程分别为，， 相乘得，所以， 即点的坐标满足. 8. 在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，分析可得四边形必为等腰梯形，即可求出所需长度，分析可得，梯形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，必有平面，则球心在上，根据勾股定理，求出半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，且，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，为随机事件，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由二项分布的期望及方差公式求解；对于B，由正态分布的对称性判断即可；对于C，根据正态分布的原则判断；对于D，由并事件的概率公式即可判断． 【详解】对于A，因为，则，，解得，故A正确； 对于B，C，由正态分布的对称性知当，时，，， 所以，当时，，故B错误，C正确； 对于D，当，互斥时，成立，否则不成立，故D错误． 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是上的动点，，则（ ） A. 过点与仅有1个公共点的直线有3条 B. 满足的点仅有2个 C. 满足的点仅有3个 D. 满足到点距离与到距离之和为的点有2个 【答案】AB 【解析】 【分析】对A判断过A点的切线及平行抛物线对称轴的直线可得；对B判断过A点且与垂直的直线与抛物线的交点个数可得；对于C构造以为直径的圆，判断圆与抛物线交点个数可得；对于D将点到点距离与到距离之和转化为，从而判断点是线段与抛物线的交点可得. 【详解】对于A，由题意知点在抛物线外，过点与的对称轴平行的直线与有1个公共点， 过点可作2两条直线与相切，故过与仅有一个公共点的直线有3条，故A正确； 如图： 对于B，因为，且， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即， 联立，消去x得，， 所以直线与仅有2个交点，故点仅有2个，故B正确； 对于C，因为，得， 以为直径作圆，该圆的圆心为，半径为， 如图： 圆与有2个交点，点仅有2个，故C错误； 对于D，由抛物线定义知点到点距离与到距离d之和为 ， 当，共线且点在线段上时取等号，故点仅有1个，如图：故D错误． 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 当方程在上有6个实根时，的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性，结合辅助角公式和正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，因为，所以是偶函数， 因为， 所以，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于BC，由是偶函数，且最小正周期为， 得在上的值域等于在上的值域， 当时，， 因为，所以，故B错误，C正确； 对于D，由上知，在上有唯一实根，由的图象关于直线对称，得方程在上的实根为， 由的周期性可得在上的前7个实根分别为，，，，，，，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】2 【解析】 【详解】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， ． 13. 两批次同种规格的产品，第一批占60%，次品率为4%，第二批占40%，次品率为5%，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，若取到的产品为合格品，则该合格品是第一批产品的概率为________.（结果精确到0.001） 【答案】0.603 【解析】 【分析】利用全概率公式，结合条件概率公式进行求解即可. 【详解】记事件为从混合产品中取出的是第批产品，事件为取出的产品为合格品， 则，，， 所以 . 14. 设函数，若对任意，，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意得恒成立，设，利用导数确定最值的范围即可求解． 【详解】要满足对任意，， 只需当时，恒成立，即恒成立. 设，则， 易得当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，，所以， 因为，所以， 又，所以的最小值为2． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 下表为品牌新能源汽车2025年月在地区的销售量（单位：百辆）： 月份 1 2 3 4 5 6 销售量 5.1 6.6 7.0 7.6 9.8 若关于的经验回归方程为，且相关系数. （1）求的值（精确到0.01）； （2）求的值（精确到0.1）. 附：，相关系数. 参考数据：，. 【答案】（1）0.86 （2）8.6 【解析】 【分析】（1）根据相关系数公式、的求解公式，结合题中数据进行求解即可； （2）根据在回归直线上进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， ， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，关于的经验回归方程为， ，， 因为在回归直线上，所以， 所以. 16. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义，分类讨论进行求解即可； （2）根据等比数列前项和公式，分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以构成以2为公比的等比数列， 也构成以2为公比的等比数列， 又，所以， 所以，， 所以； 【小问2详解】 当为偶数时，中奇数项和偶数项均为项， 所以 . 当为奇数时，中奇数项有项，偶数项有项， 所以 . 所以. 17. 如图，在几何体中，四边形为正方形，平面，，，. （1）求证：平面平面； （2）若点在平面内，且. （i）求点的轨迹的长度； （ii）设直线与平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先证平面，得到，利用勾股定理可得，再由线面垂直的判定得到平面，进而可证平面平面； （2）（i）以为原点建立空间直角坐标系，设，根据垂直向量的坐标表示求解即可； （ii）利用空间向量法求线面夹角即可． 【小问1详解】 证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由题意求得，， 所以，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 解：由题意知，直线，，两两垂直，以直线，，分别为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系， 则，，，，. （i）设，则，， 因为，所以， 即， 所以点的轨迹是以棱为直径的圆，其长度为. （ii）由（i）知，，， 设平面的一个法向量，则 即 令，得，，所以， 则. 由（i）知，所以， 因为，得， 所以，所以的取值范围是. 18. 已知椭圆：的一个长轴端点和一个短轴端点，且线段的中点为. （1）求的方程； （2）已知垂直于的直线与在第四象限交于点，点在上，且与共线. （i）若点的横坐标为1，求四边形的面积； （ii）若直线与交于另外一点，判断直线是否过定点，并证明你的结论. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）直线过定点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意求出、，即可得解； （2）（i）首先求出，依题意线段的中点在上，则，求出点坐标，即可求出到直线的距离，从而求出面积；（ii）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出点坐标，再由求出与的关系，即可得解. 【小问1详解】 因为为的长轴端点，为的短轴端点，且线段的中点为， 所以，，所以，， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，，，直线的方程为， 因为与共线，所以线段的中点在上， 所以四边形的面积. 因为点的横坐标为1，代入的方程可得， 所以点到的距离， 所以， 所以四边形的面积. （ii）设，，直线的方程为， 由得， 所以， 且，. 因为，关于直线对称， 设，则 解得，， 因为，，且，，共线，所以， 所以 ， 整理得 ， 整理得. 若，则，直线为，此时，两点重合，不合题意， 所以，即，代入得， 所以直线过定点. 19. 已知函数. （1）求的最小值； （2）证明：； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）0； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由并对其求导，根据其区间符号确定函数的区间单调性，进而求其最小值； （2）应用放缩及分析法，将问题化为证明上即可； （3）由题设恒成立，构造，应用导数及分类讨论研究其在的单调性，判断函数的符号，即可得参数范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以，故在上单调递增， 所以的最小值为； 【小问2详解】 因为，所以，所以，即， 要证，而，只需证，即证， 设，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以，得证. 【小问3详解】 由，即， 令，且、在上单调递减， 所以在上单调递减，， 当，即时，在上单调递减，，满足； 当，即时，，又时， 当时，，则存在，使得， 当时，，所以在上单调递增，则，不满足， 当时，，在上，在上单调递增，则，不满足， 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试・冲刺押题卷（一） 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为双曲线：的左焦点，直线过点与的右支有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两非零向量，满足，，则与夹角的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 6. 已知实数且，，函数，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，且，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，为随机事件，则 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是上的动点，，则（ ） A. 过点与仅有1个公共点的直线有3条 B. 满足的点仅有2个 C. 满足的点仅有3个 D. 满足到点距离与到距离之和为的点有2个 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 当方程在上有6个实根时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 13. 两批次同种规格的产品，第一批占60%，次品率为4%，第二批占40%，次品率为5%，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，若取到的产品为合格品，则该合格品是第一批产品的概率为________.（结果精确到0.001） 14. 设函数，若对任意，，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 下表为品牌新能源汽车2025年月在地区的销售量（单位：百辆）： 月份 1 2 3 4 5 6 销售量 5.1 6.6 7.0 7.6 9.8 若关于的经验回归方程为，且相关系数. （1）求的值（精确到0.01）； （2）求的值（精确到0.1）. 附：，相关系数. 参考数据：，. 16. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求的前项和. 17. 如图，在几何体中，四边形为正方形，平面，，，. （1）求证：平面平面； （2）若点在平面内，且. （i）求点的轨迹的长度； （ii）设直线与平面所成的角为，求的取值范围． 18. 已知椭圆：的一个长轴端点和一个短轴端点，且线段的中点为. （1）求的方程； （2）已知垂直于的直线与在第四象限交于点，点在上，且与共线. （i）若点的横坐标为1，求四边形的面积； （ii）若直线与交于另外一点，判断直线是否过定点，并证明你的结论. 19. 已知函数. （1）求的最小值； （2）证明：； （3）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $