精品解析：贵州省部分学校联考2025-2026学年高二下学期4月期中素养训练数学试题

高二数学素养训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得结果. 【详解】因为，则，故在复平面内对应的点为. 2. 直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线的一个法向量为，且过点， 设直线上任意一点，所以， 所以，即， 直线的方程为：. 3. 在等差数列中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】在等差数列中，，，，也构成等差数列. 根据等差中项性质，， 代入数值得，解得. 4. 已知函数则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由对数性质得，故，满足分段函数的条件. 当时，因此， 又，符合第一段定义域. 当时，结合对数恒等式得. 因此. 5. 在中，，，为的中点，为线段上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为为的中点，所以，， 因为，所以， 则. 6. 春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】先对4人分组，再进行全排列，根据分步计数求解即可.． 【详解】4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班，必然是1,1,2的人数分配. 先分组：从4人中选2人分为1组，且甲、乙两人不同组，有种， 再排列：将3组分配到3天，有种， 所以总方案数为：种. 7. 若定义在上的偶函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及关系式，可求出函数周期，转化为求，利用赋值法即可得解. 【详解】因为，所以， 又函数为偶函数，所以，则， 两式相减可得，即， 所以函数一个周期为，故， 令，由可得，即， 令，可得，所以， 所以. 故选：A 8. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限的一点，，的内切圆的圆心为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据内切圆的性质及双曲线定义可得，再求出，结合直线的斜率得到即可求解． 【详解】由题可知，， ，又， ，则， 当时，，解得， ，为双曲线上位于第二象限的一点， ，又直线的斜率为， ， 解得，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 在某场比赛中，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为、、、、、、，下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的众数为 B. 该组数据的分位数为 C. 变量，则 D. 变量，已知，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用众数的定义可判断A选项，利用百分位数的定义可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，由众数的定义可知，这组数据的众数为，A对； 对于B选项，因为，故这组数据的分位数为，B错； 对于C选项，， 因为，故，C对； 对于D选项，变量，所以，D对. 10. 已知数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A. （） B. C. 若，则是等差数列 D. 当的项数为时，其奇数项之和为，偶数项之和为，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，当时， ，当时， ， ， 所以， 此时当时， ，说明在时不成立， 所以，故A错误； 对于B，因为当时，，所以，，，，所以，故B正确； 对于C，因为，， 所以 ， 这是一个关于的一次式，公差为 的等差数列，故C正确； 对于D， ， , 所以 ，故D错误. 11. 在四面体中，是正三角形，，，为的中点，点在线段上且满足，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 四面体的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取线段的中点，连接、，则，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；利用锥体体积公式可判断B选项；设球心为，求出球心坐标，结合球体表面积公式可判断D选项. 【详解】因为是正三角形，，，则， 即也是等边三角形，取线段的中点，连接、，则，， 且，同理可得， 又因为，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 根据题意得、、、、、， 对于A选项，，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为，A对； 对于B选项，因为，则， 所以点到平面的距离等于点到平面距离的， 故，B错； 对于C选项，设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以点到平面的距离为，C对； 对于D选项，设外接球球心为， 由可得，解得， 即外接球球心为，外接球半径为， 故四面体的外接球表面积为，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线：（）的焦点为，为上一点，比到轴的距离大2，则________. 【答案】4 【解析】 【详解】对于抛物线，准线方程为. 设点的横坐标为，则到轴的距离为，到准线的距离为， 因此，根据题意有， 代入得，解得. 13. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由得到的取值范围，再利用正弦函数的图像性质与的范围可缩小的取值范围，由此求得，利用整体法即可求得的值. 【详解】因为所以， 又因为，所以， 所以， 故. 故答案为：. 14. 已知数列满足，数列中恰有三项使得成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由，化简得到，求得，结合，得到，令，根据题意，得到，求出，即可求解. 【详解】由，得， 所以， 即，所以. 又，则，所以. 令，只需恰好有三个值满足. 又 ， 所以是严格递增数列. 又，，，， 因为递增，要恰好有三个值满足，则，即. 故的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角的值； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）求出、的值，利用正弦定理求出、的值，即可得出该三角形的周长. 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又因为，故. 【小问2详解】 因为，则为锐角，所以， 所以 ， 由正弦定理可得，所以， ， 故的周长为. 16. 某学校为了解学生喜欢动漫是否与性别有关，从该校学生中随机抽取了200人作为样本进行问卷调查，得到如下列联表： 喜欢动漫 不喜欢动漫 合计 男生 40 80 120 女生 35 45 80 合计 75 125 200 （1）请依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢动漫是否与性别有关； （2）在上述样本男生中，按是否喜欢动漫进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本男生中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人进行线下访谈，记这2人中“不喜欢动漫”的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）喜欢动漫与性别无关 （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望为： 【解析】 【分析】（1）计算的观测值与临界值比对即可. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 零假设：喜欢动漫与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以认为成立，即喜欢动漫与性别无关． 【小问2详解】 由题意得，抽取6人中喜欢动漫的人数为，不喜欢动漫的人数为， 则的可能取值为0,1,2. ，，， 则的分布列为： 0 1 2 数学期望为：. 17. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，为的中点. （1）求证：平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取，中点，，连接，. 因为为等边三角形，所以. 因为平面平面，平面平面，所以平面. 又平面，所以. 直角梯形中，，，点，为中点，所以， 所以，，两两垂直. 以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为的中点，所以. 所以，，. 因为，所以，即. 因为，所以，即. 又平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示得到，，结合线面垂直的判定定理证明即可. （2）求出平面和平面的法向量，根据二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设二面角的平面角为（由图可知，为锐角）， 所以. 故二面角的余弦值为. 18. 已知函数对任意的，，都有成立，且. （1）求，. （2）若令，求证：数列是等差数列. （3）求证：当时，. 【答案】（1）， （2） 已知，对，将代入原函数式得， 即（），两边同除以得，即. 首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. （3） 由（2）可得：，即，从而. 首先用数学归纳法证明当时，： 时，，成立； 假设时，则时，，成立. 因此对，，两边乘，得. 对求和式放缩：， 右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得： ， 因此，得证. 【解析】 【分析】（1）通过对抽象函数赋值，令和，代入已知关系式，直接求得和的值； （2）根据递推关系构造数列，通过计算相邻两项的差为常数，证明其为等差数列； （3）先求出的通项公式，再利用数学归纳法和放缩法，将放缩为等比数列的项，最后求和证明不等式. 【小问1详解】 已知对任意，恒成立. 令，得，移项得； 令，得，已知，代入得，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同. （1）求椭圆的标准方程； （2）是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点. （i）证明：为定值； （ii）若，四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （i）设直线，的斜率分别为，故直线的方程为， 直线的方程为， 设，则，所以， 由得， 设点的坐标分别为，则，． 所以， 同理，所以 ，为定值； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出焦点坐标和离心率，可得、，进而求出值，即可得到椭圆方程. （2）（i）设出直线，方程，结合点在椭圆得，然后让直线与椭圆方程联立求出，同理，进而求得为定值；（ii）先求得，则，结合，利用基本不等式法求出最大值. 【小问1详解】 因为在椭圆上，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为四边形的面积为， 所以，当且仅当，等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学素养训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 在中，，，为的中点，为线段上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 7. 若定义在上的偶函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 8. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限的一点，，的内切圆的圆心为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 在某场比赛中，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为、、、、、、，下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的众数为 B. 该组数据的分位数为 C. 变量，则 D. 变量，已知，则 10. 已知数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A. （） B. C. 若，则是等差数列 D. 当的项数为时，其奇数项之和为，偶数项之和为，则 11. 在四面体中，是正三角形，，，为的中点，点在线段上且满足，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 四面体的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线：（）的焦点为，为上一点，比到轴的距离大2，则________. 13. 已知，则___________. 14. 已知数列满足，数列中恰有三项使得成立，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角的值； （2）若，，求的周长. 16. 某学校为了解学生喜欢动漫是否与性别有关，从该校学生中随机抽取了200人作为样本进行问卷调查，得到如下列联表： 喜欢动漫 不喜欢动漫 合计 男生 40 80 120 女生 35 45 80 合计 75 125 200 （1）请依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢动漫是否与性别有关； （2）在上述样本男生中，按是否喜欢动漫进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本男生中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人进行线下访谈，记这2人中“不喜欢动漫”的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，为的中点. （1）求证：平面. （2）求二面角的余弦值. 18. 已知函数对任意的，，都有成立，且. （1）求，. （2）若令，求证：数列是等差数列. （3）求证：当时，. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同. （1）求椭圆的标准方程； （2）是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点. （i）证明：为定值； （ii）若，四边形的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $