9.1.2 第1课时 经验回归方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型及经验回归方程，通过恩格尔系数实例导入，从生活现象引出变量线性相关问题，衔接统计中相关关系知识，搭建从实际问题到模型建立的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如学生成绩、气温与用电量）为载体，通过自我诊断、典例解析和分层作业，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理计算、用数学语言表达预测的核心素养，助力学生系统掌握知识，教师可高效开展教学。

9.1.2　一元线性回归模型 1 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件（数学抽象、数学建模、数据分析）. 2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测（数学建模、数学运算、数据分析）. 课标要求 第1课时　经验回归方程 3 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　恩格尔系数（Engel’s Coefficient）是根据恩格尔定律得出的比例数， 指居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个 指标.其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额. 　　一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭 总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越 大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家 庭总支出中用来购买食物的支出所占比例将 会下降. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【问题】　恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量 线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　随机误差 1. 定义：具有线性相关关系的两个变量的取值x，y，y的值不能由x完全 确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ɛ，其中 ⁠是确定 性函数， 称为随机误差. 2. 产生的原因 （1）所用的 不恰当引起的误差； （2）忽略了 ⁠； （3）存在 误差. a＋bx　 ɛ　 确定性函数　 某些因素的影响　 观测　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　经验回归方程 1. 线性回归模型中a，b值的求法 y＝ 称为一元线性回归模型. a，b的估计值为 ， ，则 上述方法称为“最小二乘法”. a＋bx＋ɛ　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 经验回归直线和经验回归方程 直线 ＝ ＋ x称为经验回归直线，此直线方程称为y关于x的经验回归方 程， 称为 ， 称为 ， 称为 ⁠. 回归截距　 回归系数　 回归值　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生的误差. （　×　） （2）回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且经验回归直线过 样本点的中心（ ， ）. （　√　） （3）求回归方程前可以不进行相关性检验. （　×　） （4）利用回归方程求出的值是准确值. （　×　） × √ × × 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕下列有关回归方程 ＝ x＋ 的叙述正确的是（　　） A. 反映 与x之间的函数关系 B. 反映y与x之间的函数关系 C. 表示 与x之间不确定关系 D. 表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 解析： 　 ＝ x＋ 表示 与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函 数关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故选A、D. √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 某地区近十年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合 ＝0.8x＋ 0.1（单位：亿元），则预计今年该地区居民收入为15亿元时，年支出y的 估计值是（　　） A. 8.1 B. 12.1 C. 16.1 D. 20.1 解析： 　∵ ＝0.8x＋0.1，∴ ＝0.8×15＋0.1＝12.1（亿元）. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜线性回归模型的理解 【例1】　在线性回归模型y＝bx＋a＋ε中，下列说法正确的是（　　） A. y＝bx＋a＋ε是一次函数 B. 因变量y是由自变量x唯一确定的 C. 因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些 因素会导致随机误差ε的产生 D. 随机误差ε是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差ε 的产生 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A中，线性回归模型y＝bx＋a＋ε中，方程表示的不是确 定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于B中，因变量y不是由自 变量x唯一确定的，所以B错误；对于C中，因变量y除了受自变量x的影响 外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差ε的产生，所 以C正确；对于D中，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错 误.故选C. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　在线性回归模型y＝bx＋a＋ε中，模型中的y也是随机变量，其值虽 然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx＋a与ε的和（叠加），前 一部分由x所确定，后一部分是随机的. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　关于线性回归模型 给出下列说法： ①表达式y＝bx＋a＋ε刻画的是变量y与变量x之间的线性相关关系；② bx＋a反映了由于x的变化而引起的y的线性变化；③误差项ε是一个期望 值为0的随机变量，即E（ε）＝0；④对于所有的x值，ε的方差σ2都相 同.其中正确的是 （填序号）. 解析：根据线性回归模型的含义可知，以上说法均正确. ①②③④ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜求经验回归方程 【例2】　（链接教科书第164页例3）某班5名学生的数学和物理成绩 如下表： 学生 A B C D E 数学成绩x/分 88 76 73 66 63 物理成绩y/分 78 65 71 64 61 （1）画出散点图； 解： 散点图如图所示. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程（结果保留三位小数）. 参考公式： ＝ ＝ ， ＝ － . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 因为 ＝ ×（88＋76＋73＋66＋63）＝73.2， ＝ ×（78＋65 ＋71＋64＋61）＝67.8， xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054， ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174， 所以 ＝ ≈0.625， ＝ － ≈67.8－0.625×73.2＝22.050. 因此y关于x的经验回归方程为 ＝22.050＋0.625x. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求经验回归方程的基本步骤 （1）画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； （2）计算 ， ， xiyi， ， xiyi； （3）代入公式求出 ＝ x＋ 中参数 ， 的值； （4）写出经验回归方程. 提醒　只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才有实际意义， 否则求出的回归方程毫无意义. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　入夏以来，天气炎热，某地区用电负荷连创新高，某用户随机统计了家 里某4天用电量（kW·h）与当天气温（℃）的情况，数据如表： 气温x（℃） 30 32 34 36 用电量y（kW·h） 20 26 30 36 请根据提供的数据，计算 ， ，并求出y关于x的经验回归方程. 参考公式： ＝ ， ＝ － . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： ＝ ＝33， ＝ ＝28， ＝ ＝ ＝2.6， ＝ － ＝28－2.6×33＝ －57.8， ∴y关于x的经验回归方程为 ＝2.6x－57.8. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜利用经验回归方程对总体进行估计 【例3】　（链接教科书第165页例5）对具有线性相关关系的变量x，y， 测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程 ＝10.5x＋ ，据此模型预测当x＝20时，y的估计值为（　　） x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A. 210 B. 210.5 C. 211.5 D. 212.5 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意可知， ＝ ＝5， ＝ ＝54.∵经 验回归直线经过样本中心点，∴54＝10.5×5＋ ， ＝1.5，经验回归方 程为 ＝10.5x＋1.5，当x＝20时，y的估计值为10.5×20＋1.5＝211.5. 故选C. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　解题的关键是先确定两个变量y与x是线性相关关系，求出经验回归方 程进行估计和预测. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y（单位：cm）与年 龄x（单位：岁）的经验回归方程为 ＝8.25x＋60.13，下列说法中正确 的是（　　） A. 该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm B. 该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm C. 该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm D. 利用这个模型可以准确地预测该地区每个2～9岁儿童的身高 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵身高与年龄的回归模型为 ＝8.25x＋60.13，∴可以估计 孩子在2～9岁之内，年龄每增加1岁，身高平均约增加8.25 cm，选项B 正确；对于A，身高与年龄是相关关系，不是一次函数关系；对于C， 这个模型可以估计孩子在2～9岁时可能的身高，而不是平均身高；对 于D，可以估计孩子在2～9岁时可能的身高，这是一个预报值，不是确 定的值.故选B. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进 行了8次试验，收集数据如下： 零件个数 10 20 30 40 50 60 70 80 加工时间 62 68 75 81 89 95 102 108 设经验回归方程为 ＝ x＋ ，若 ＝ ，则点（ ， ）在直线x－45y －20＝0的（　　） A. 右下方 B. 右上方 C. 左下方 D. 左上方 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意可得， ＝ ＝45， ＝ ＝85，则 ＝ － ＝85－ ×45＝55，故点 （ ， ）为 ，在直线x－45y－20＝0的右下方. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求出 的回归方程作出解释；②收集数据（xi，yi），i＝1，2，…，n；③求经 验回归方程；④根据所搜集的数据绘制散点图.若根据实际情况能够判定变 量x，y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是（　　） A. ①②④③ B. ③②④① C. ②③①④ D. ②④③① 解析： 　根据实际情况能够判定变量x，y具有线性相关性的顺序为：收 集数据（xi，yi），i＝1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图；求 经验回归方程；对所求出的回归方程作出解释.故选D. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验 回归方程可能为（　　） A. ＝1.5x＋2 B. ＝－1.5x＋2 C. ＝1.5x－2 D. ＝－1.5x－2 解析： 　结合散点图可知，变量x，y之间是负相关，且纵截距大于0， 故选B. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得y关于x的经验回归方程为 ＝2.2x＋0.7，则m＝（　　） A. 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5 解析： 　 ＝ ＝1.5， ＝ ＝ ，将其代入 ＝ 2.2x＋0.7，可得m＝0.5，故选D. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 某设备的使用年限x（单位：年）与所支出的维修总费用y（单位：万 元）的统计数据如下表所示： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修总费用y/万元 1.5 4.5 5.5 6.5 7.0 根据上表可得经验回归方程为 ＝1.3x＋ .若使用年限为14年，估计维修 总费用为 万元；若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型 预测该设备最多可使用 年. 18 9 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： ＝ ＝4， ＝ ＝5，则中心点为（4， 5），代入经验回归方程得 ＝5－1.3×4＝－0.2，所以 ＝1.3x－0.2.当 x＝14时， ＝1.3×14－0.2＝18（万元），即估计使用14年时，维修总费 用是18万元.令 ＝1.3x－0.2＞12，解得x＞9.4，即据此模型预测该设备 最多可使用9年. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在具有线性相关关系的两个变量建立的经验回归方程 ＝ ＋ x中， （　　） A. 不能小于0 B. 不能大于0 C. 不能等于0 D. 只能小于0 解析： 　当 ＝0时，不具有线性相关关系，但 能大于0，也能小于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知某经验回归方程为 ＝2－3x，则当变量x增加1个单位时，变量y 平均（　　） A. 增加3个单位 B. 增加 个单位 C. 减少3个单位 D. 减少 个单位 解析： 　依题意，经验回归方程为 ＝2－3x，所以当变量x增加1个单位 时，变量y平均减少3个单位.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的样本相关系数是r，y 关于x的经验回归方程斜率是 ，纵轴上的截距是 ，那么必有（　　） A. 与r的符号相同 B. 与r的符号相同 C. 与r的符号相反 D. 与r的符号相反 解析： 　当 ＞0时，两变量正相关，此时r＞0；当 ＜0时，两变量负相 关，此时r＜0，所以必有 与r的符号相同. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（xi，yi）（i＝1， 2，3，…，8），其经验回归方程为 ＝ x＋ ，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝ 6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝9，则 ＝（　　） A. －2 B. 2 C. －1 D. 1 解析： 　 ＝ ＝ ， ＝ ，由于经验回归直线过样本中心点，将 代入经验回归方程，解得 ＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 某学习小组对一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，7）进行回归分 析，甲同学首先求出经验回归方程为 ＝3x＋2，样本点的中心为（2， m）.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据（4，6）误输成 （6，4），将这两个数据修正后得到经验回归方程为 ＝kx＋4，则实数k ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意可得m＝3×2＋2＝8，假设甲输入的（x1，y1）为（6， 4），则6＋x2＋x3＋…＋x7＝2×7＝14，4＋y2＋y3＋…＋y7＝7×8＝56， 所以x2＋x3＋…＋x7＝8，y2＋y3＋…＋y7＝52，所以改为正确数据时，4 ＋x2＋x3＋…＋x7＝12，6＋y2＋y3＋…＋y7＝58，即 ＝ ， ＝ ，所 以样本中心点为（ ， ）.将（ ， ）代入经验回归方程 ＝kx＋4， 得k＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕数据（x，y）的5组测量值（xi，yi）（i＝1，2，3，4， 5），已知 ＝90， xiyi＝112， xi＝20， yi＝25.若y对x的经验 回归方程记作 ＝ x＋ ，则（　　） A. ＝1.2 B. ＝0.2 C. y与x正相关 D. x＝8时，y的估计值为9 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由已知的数据可得 ＝ xi＝4， ＝ yi＝5， ＝ ＝ ＝ ＝1.2， ＝ － ＝5－1.2×4 ＝0.2，所以经验回归方程为 ＝1.2x＋0.2.因为 ＝1.2＞0，所以y与x 正相关.当x＝8时， ＝1.2×8＋0.2＝9.8.故A、B、C选项正确，D选项 错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图是一组数据（x，y）的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x 之间的经验回归方程为 ＝ x＋1，则 ＝ ⁠. 解析：由题图知 ＝ ＝2， ＝ ＝2.6，将（2，2.6） 代入 ＝ x＋1中，解得 ＝0.8. 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 为了研究某班学生的脚长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的关 系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间 有线性相关关系，设其经验回归方程为 ＝ x＋ ，已知 xi＝225， yi＝1 600， ＝4.该班某学生的脚长为24 cm，据此估计其身高为 　　cm. 166 解析：由题意可知 ＝4x＋ ，又 ＝22.5， ＝160，∴160＝22.5×4＋ ，得 ＝70，因此 ＝4x＋70.当x＝24时， ＝4×24＋70＝96＋70＝ 166 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 某工厂生产某产品的成本x（单位：万元）与销售额y（单位：万元） 的几组对应数据如下表所示： 成本x/万元 10 20 30 40 50 销售额y/万元 40 70 110 130 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）根据以往经验可知，成本x与销售额y之间具有线性相关关系，求销 售额y关于成本x的经验回归方程； 解： ＝ ×（10＋20＋30＋40＋50）＝30， ＝ ×（40＋70＋110＋130＋150）＝100， ＝ ＝2.8， ＝100－2.8×30＝16， 所以经验回归方程为 ＝2.8x＋16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）根据（1）中经验回归方程，预测当销售额为200万元时，成本为多少 万元？（结果保留一位小数） 附： xiyi＝17 800， ＝5 500， ＝ . 解： 由（1）知 ＝2.8x＋16，令 ＝2.8x＋16＝200，得x≈65.7 （万元），即预测当销售额为200万元时，成本为65.7万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 根据以下样本数据得到经验回归方程为 ＝ ＋ .则（　　） x 1 3 5 7 y 6 4.5 3.5 2.5 A. ＜0， ＜0 B. ＞0， ＞0 C. ＜0， ＞0 D. ＞0， ＜0 解析： 　由表中数据可得随着x的增大，y越来越小，所以 ＜0，又因为 当x＝1时，y＝6，所以当x＝0时，y＞6，所以 ＞0，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 若某地财政收入x与支出y满足线性回归模型y＝bx＋a＋ε（单位： 亿元），其中b＝0.7，a＝3，｜ε｜≤0.5，如果今年该地区财政收入10 亿元，年支出预计不会超过（　　） A. 9亿元 B. 9.5亿元 C. 10亿元 D. 10.5亿元 解析： 　因为财政收入x与支出y满足线性回归模型y＝bx＋a＋ε，其 中b＝0.7，a＝3，所以y＝0.7x＋3＋ε.当x＝10时，得y＝0.7×10＋3 ＋ε＝10＋ε，又｜ε｜≤0.5，即－0.5≤ε≤0.5，所以 9.5≤y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，8）组成的一 个样本，得到经验回归方程为 ＝1.5x－0.6且 ＝2，去除两个异常数据 （－2，7）和（2，－7）后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则 （　　） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 去除异常数据后，新的平均数 '＝2 C. 去除异常数据后的经验回归方程为 ＝3x－4.8 D. 去除异常数据后，随x值增加， 的值增加速度变小 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，因为经验回归直线的斜率为正，所以相关变量x，y具 有正相关关系，A正确；对于B，因为 ＝2，所以去除两个异常数据（－ 2，7）和（2，－7）后，得到新的 '＝ ＝ ，B错误；对于C，将 ＝2代入 ＝1.5x－0.6得 ＝2.4，故去除两个异常数据（－2，7）和 （2，－7）后， '＝ ＝3.2，因为得到的新的经验回归直线的斜 率为3，所以 '－3 '＝3.2－3× ＝－4.8，所以去除异常数据后的经验回 归方程为 ＝3x－4.8，C正确；对于D，因为经验回归直线 ＝3x－4.8的 斜率为正数，所以变量x，y具有正相关关系，且去除异常数据后，斜率由 1.5增大到3，故 值增加的速度变大，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚 信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少 投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如表： 售出水量x（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益y（单位：元） 165 142 148 125 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）求收益y关于售出水量x的经验回归方程，并计算每天售出8箱水时预 计收益是多少元？ 附： ＝ ， ＝ － ， ＝6， ＝146， xiyi＝4 420， ＝182. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 依题意可得 ＝ ＝ ＝20， ＝ － ＝146－20×6＝26， 所以 ＝20x＋26， 当x＝8时， ＝20×8＋26＝186， 即每天售出8箱水时的预计收益是186元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给 品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500 元；考入年级前201～500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的 特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为 ，获二等奖学金的概 率为 ，不获得奖学金的概率为 .求在学生甲获得奖学金的条件下，求他 获得一等奖学金的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等 奖学金”， 则P（A）＝ ＋ ＝ ，P（AB）＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ＝ ， 即在学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40%的消费者更加频繁 地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营 店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下： x 1 2 3 4 5 y 75 84 93 98 100 （1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第 x天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可 用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数｜r｜＞0.75， 则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 由表中数据可得 ＝3， ＝90， ＝10， ＝434， （xi－ ）·（yi－ ）＝64， 所以r＝ ＝ ≈0.97＞0.75， 所以可用线性回归模型拟合人数y与时间第x天之间的关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 而 ＝ ＝ ＝6.4， 则 ＝ － ＝90－6.4×3＝70.8， 所以 ＝6.4x＋70.8， 令x＝6，可得 ＝109.2，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案.方案一：购物金额每满 100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖 的概率均为 ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折， 中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1 000元的商品，请从实际付款 金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考数据： ≈65.88. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 若选方案一，需付款1 000－50＝950元. 若选方案二，设需付款X元，则X的可能取值为600，800，900，1 000， 则P（X＝600）＝ ×（ ）3＝ ， P（X＝800）＝ ×（ ）2× ＝ ， P（X＝900）＝ × ×（ ）2＝ ， P（X＝1 000）＝ ×（ ）3＝ ， 所以E（X）＝600× ＋800× ＋900× ＋1 000× ＝ ＜950， 因此选择方案二更划算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $