第二十章 勾股定理 单元卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章 勾股定理 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各组数是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 7，8，9 C. 6，8，10 D. ，， 2、在△ABC中，a：b：c＝1：1：，那么△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3、的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4、已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 5、若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　） A. 6 B. 36 C. 64 D. 8 6、如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 7、如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形各顶点，则∠ABC的度数为（　　） A. B. C. D. 8、如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 9、下列给出的条件中，不能使得三角形为直角三角形的是（ ） A. 三个内角度数之比是1：2：3 B. 三个外角度数比为2：3：4 C. 三边长之比为5：12：13 D. 三边长的平方之比是1：3：4 10、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|c﹣5|＝0，则三角形的形状是__________． 12、 若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是______． 13、如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面米，要使梯子顶端离地面米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米． 14、如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 15、有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要___________s才能赶回巢中？ 16、在四边形中，，，，，．点P是线段上一点，，点Q从点C出发，以的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为 秒时，为直角三角形． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知直角三角形两边的长满足,求第三边长. 18、 如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm， CD＝8cm． （1）判断△BDC的形状，并说明理由； （2）求△ABC的周长． 19、为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米． （1）求风筝的高度CE． （2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 20、如图，中，于，是的中点，，，，求的长． 21、聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 22、如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB＝90°），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE＝∠BED＝90°，测得AD＝5cm，BE＝7cm，求该三角形零件的面积． 23、如图，在一条公路上有A、B两站相距，C、D为两个小镇，已知，，，．现要在公路边上修建一个加油站E． (1)若要求加油站E到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处？ (2)若要求加油站E到两镇的距离之和最小，求距离和的最小值． 24、阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各组数是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 7，8，9 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】C 【详解】解： A、不勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意； B、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意； C、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意； D、不是勾股数，因为，，不是正整数，此选项不符合题意； 2、在△ABC中，a：b：c＝1：1：，那么△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】解：因为a：b：c＝1：1：， 所以三角形ABC是等腰三角形， 因为， 所以三角形ABC是直角三角形， 综上所述三角形ABC是等腰直角三角形， 3、的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： A．∵ ∴设，，， ∴ ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴可设，，， ∴， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 4、已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【详解】∵（a-6）2≥0，≥0，|c-10|≥0， ∴a-6=0，b-8=0，c-10=0， 解得：a=6，b=8，c=10， ∵62+82=36+64=100=102， ∴这个三角形是直角三角形． 5、若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　） A. 6 B. 36 C. 64 D. 8 【答案】B 【详解】解：面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为， 由勾股定理得，正方形的边长， ∴正方形的面积为， 6、如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 7、如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形各顶点，则∠ABC的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 解：由勾股定理得：AC2=BC2=5，AB2=10， ∵AC2+BC2=AB2=10， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， 8、如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 9、下列给出的条件中，不能使得三角形为直角三角形的是（ ） A. 三个内角度数之比是1：2：3 B. 三个外角度数比为2：3：4 C. 三边长之比为5：12：13 D. 三边长的平方之比是1：3：4 【答案】B 【详解】解： 当三个内角度数之比是1：2：3时，最大的角的度数是：180°×＝90°，故A选项不符合题意； 当三个外角度数比为2：3：4时，最小的外角是：360°×＝80°，最大的内角的度数是：180°−80°＝100°＞90°，故B选项符合题意； 当三边长之比为5：12：13时，，故该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； 当三边长的平方比为1：3：4时，因为故该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意； 10、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【详解】解： ∵△ABC为直角三角形，AB=6，BC=8， ∴根据勾股定理得：， 设BD=x，由折叠可知：ED=BD=x，AE=AB=6， 可得：CE=AC-AE=10-6=4，CD=BC-BD=8-x， 在Rt△CDB'中， 根据勾股定理得：（8-x）2=42+x2， 解得：x=3， 则BD=3． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|c﹣5|＝0，则三角形的形状是__________． 【答案】直角三角形 【详解】解： ∵（a﹣3）2+|c﹣5|＝0， ∴ ， 解得： ， ∵ ， ∴该三角形的形状是直角三角形． 12、 若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是______． 【答案】 5或 【详解】解：当5是斜边时，它的斜边长是5； 当5是直角边时，它的斜边长＝； 故它的 第三边长是：5或． 13、如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面米，要使梯子顶端离地面米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米． 【答案】 【详解】如图，AB=DE=10，AC=6，DC=8，∠C =90°， ∴BC==8， CE==6， ∴BE=BC-CE=2（米）， 14、如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 【答案】110 【详解】解：由图可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50， ∴2ab＝50， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110． 15、有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要___________s才能赶回巢中？ 【答案】5.2 【详解】解：如图，由题意知AB＝3，CD＝14﹣1＝13，BD＝24． 过A作AE⊥CD于E．则CE＝13﹣3＝10，AE＝24， ∴在Rt△AEC中， AC2＝CE2+AE2＝102+242． ∴AC＝26，26÷5＝5.2（s）． 16、在四边形中，，，，，．点P是线段上一点，，点Q从点C出发，以的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为 秒时，为直角三角形． 【答案】6或 【详解】解：∵，， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 当时，过点P作于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 综上分析可知：t为6秒或秒时，为直角三角形． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知直角三角形两边的长满足,求第三边长. 【答案】，，第三边或 【详解】∵， ∴|x2-4|=0，=0， 解得，x1=2，x2=-2（不合题意、舍去），y=1， 当2是直角边时，第三边的长=， 当2是斜边长时，第三边的长=， 故答案为，，第三边或 18、 如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm， CD＝8cm． （1）判断△BDC的形状，并说明理由； （2）求△ABC的周长． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2） 【详解】解：（1）△BDC是直角三角形， 理由是：∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠D＝90°， 即△BDC是直角三角形； （2）设AB＝AC＝xcm， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2， 即（15﹣x）2+82＝x2， 解得：x＝， ∴AB＝AC＝（cm）， ∵BC＝17cm， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）． 19、为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米． （1）求风筝的高度CE． （2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度CE为16.6米 （2）他应该往回收线7米． 【小问1详解】 在Rt△CDB中， 由勾股定理得， ∴， CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米， 答：风筝的高度CE为16.6米； 【小问2详解】 如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则， ， ， ， ∴他应该往回收线7米． 20、如图，中，于，是的中点，，，，求的长． 【答案】 【详解】∵△ABC中，CD⊥AB于D， ∴∠ADC=90°． ∵E是AC的中点，DE=5， ∴AC=2DE=10． ∵AD=8， ∴， 在中，BD=AB-AD=12-8=4， ∴． 21、聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】绿化这片空地共需花费17100元 【详解】解：连接AC，如图 ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝15（m）， ∵CD＝17m，AD＝8m， ∴AD2＋AC2＝DC2， ∴∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2）， S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2）， ∴150×114＝17100（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 22、如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB＝90°），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE＝∠BED＝90°，测得AD＝5cm，BE＝7cm，求该三角形零件的面积． 【答案】该零件的面积为37cm2 【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC＝BE＝7cm， ∴AC＝＝＝（cm）， ∴BC＝AC＝， ∴该零件的面积为：××＝37（cm2） 23、如图，在一条公路上有A、B两站相距，C、D为两个小镇，已知，，，．现要在公路边上修建一个加油站E． (1)若要求加油站E到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处？ (2)若要求加油站E到两镇的距离之和最小，求距离和的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，则， 由勾股定理得：，， ， ， 即， 解得：； 答：加油站E建在距A站时，加油站E到两镇的距离相等． （2）解：如图，作点C关于的对称点F，连接交于点E， ，， 最小，点E即为加油站的位置． 作于点M，此时四边形时矩形， ，， ， 在中，， 即：加油站E到两镇的距离之和的最小值是． 24、阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【答案】【探索新知】 【初步运用】（1）；（2）12；（3）24 【详解】解：【探索新知】由题意，大正方形面积为，小正方形面积为，四个直角三角形的面积为， ∴； 故答案为：； 【初步运用】（1）大正方形面积为， 小正方形面积为， 则， 故答案为：； （2） ， （3） 一个直角三角形的面积为， 则空白部分面积为：； 故答案为：12； （3）设，则， 由题意得， ∴， 即； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故风车状图案的面积为． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $