7.2 离散型随机变量及其分布列（导学案）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.2 离散型随机变量及其分布列 【学习目标】 1. 理解随机变量的含义，能说出随机变量与函数的异同. 1. 通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，能判断一个随机变量是否为离散型. 1. 理解离散型随机变量的分布列，掌握分布列的两个基本性质. 1. 会求某些简单的离散型随机变量的分布列（含两点分布），提升数学建模与数学运算素养. 【学习重点】 1. 随机变量、离散型随机变量的概念. 2. 离散型随机变量分布列的表示方法（表格、解析式、图形）及其性质. 3. 求简单离散型随机变量的分布列. 【学习难点】 1. 根据实际问题引入恰当的随机变量，并准确列出分布列. 2. 理解两点分布的特征. 学习任务一 随机变量与离散型随机变量 【合作探究】 1. 问题引入： · 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果有“正面朝上”和“反面朝上”两种.能否用一个数字来表示这两种结果？ · 例如，用 表示“正面朝上”， 表示“反面朝上”.这样，随机试验的结果就用一个变量 的取值来表示了. · 再如，抛掷一枚骰子，出现的点数可以用 来表示. 1. 实例分析： 试验1：从100个电子元件（其中至少含3个次品）中随机抽取3个，用 表示抽到的次品数. 的可能取值为______. 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，用 表示抛掷次数. 的可能取值为______（用文字描述）. · 归纳：像 这样，取值可以一一列举出来的随机变量，称为离散型随机变量；而 的取值虽然有无穷多个，但仍然可以一一列举（如 1,2,3,…），也是离散型.反之，若取值充满某个区间（如温度、长度等），则不是离散型. 1. 类比函数： · 随机变量 是从样本空间 到实数集 的映射.它与函数 的异同： 相同点：都是映射，自变量变化时因变量随之变化. 不同点：函数的自变量是实数，随机变量的自变量是随机试验的样本点（不一定是数）. 1. 判断练习：下列变量中，哪些是随机变量？哪些是离散型随机变量？ · (1) 某人在车站等公交车的时间； · (2) 抛掷两枚骰子，所得点数之和； · (3) 某品牌饮料的实际含量与标称含量的差值； · (4) 某足球队在5次点球中射进的球数. 【自主梳理】 1. 随机变量：对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ，都有唯一的实数 与之对应，称 为随机变量. 1. 离散型随机变量：所有可能取值可以一一列举出来的随机变量. 1. 表示：随机变量用大写字母 等表示，取值用小写字母 表示. 学习任务二 离散型随机变量的分布列 【合作探究】 1. 分布列的概念： · 对于离散型随机变量 ，设其可能取值为 ，取每个值 的概率为 ，则称表格 · 为 的概率分布列，简称分布列. 1. 性质： · (1) ，； · (2) . · 利用分布列可以计算由 表示的事件的概率.例如，抛掷一枚骰子，设 表示点数，则 . 1. 两点分布： · 如果随机变量 只取两个值 和 ，其分布列为 · 则称 服从两点分布（或 分布）. · 例如，抛硬币（设正面为1，反面为0），罚球命中与否等. 1. 例题分析（课本例1）：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求取到的次品数 的分布列. · 解析： 可取 0,1,2,3. · ，，等等. · 注意计算后验证概率之和是否为1. 【自主梳理】 1. 分布列的三种表示： (1) 表格法：最常用，直观. (2) 解析式法：如 （二项分布，后续学习）. (3) 图象法：用条形图表示. 1. 求分布列的一般步骤： · (1) 确定随机变量 的所有可能取值； · (2) 求出每个取值对应的概率； · (3) 列出表格，并检查概率之和是否为1. 学习任务三 分布列的求法及其应用 【合作探究】 1. 例2（不放回抽球）： · 一批笔记本电脑共10台，其中A品牌3台，B品牌7台.从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数 的分布列. 解： 可取 0,1,2. · 列表并验证总和是否为1. 1. 例3（两次独立试验）： · 袋中有编号1,2,3,4的小球，有放回地取球两次. · (1) 求两次都取到3号球的概率； · (2) 求取到的两个球号码之和 的分布列. · （提示： 可取2,3,4,5,6,7,8，用古典概型分别计算概率） 1. 两点分布实例： · 某运动员罚球命中概率为0.7，用 表示一次罚球的得分（命中1分，不中0分），写出 的分布列. · 解：，，服从两点分布. 【自主梳理】 常见求分布列的类型： · 超几何分布型（不放回抽取，如例2）. · 独立重复试验型（如投篮命中次数）. · 古典概型直接计算（如掷骰子和、号码和等）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 随机变量的取值一定是实数. （ ） 1. 离散型随机变量的取值可以是无限个，只要能够一一列举. （ ） 1. 分布列中所有概率之和必须等于1. （ ） 1. 两点分布的随机变量只能取0和1. （ ） 1. 某次射击命中环数（0环到10环）是离散型随机变量. （ ） 【典例分析】 例1：袋中有3个白球和5个黑球，从中任取两个球，用 表示取到的白球个数.求 的分布列. 解： 例2：抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数 的分布列. 解： 例3：从1,2,3,4中随机取一个数，记下数字后放回，再取一个数.用 表示两次取到的数字之积.求 的分布列. 解： 【习题巩固】 1. 下列变量中是离散型随机变量的是（ ） · A. 某路口一天经过的车辆数 · B. 某人的身高 · C. 一杯水从开始加热到沸腾的温度 · D. 某次考试中某同学的得分 1. 随机变量 的分布列如下，则 的值为（ ） · A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 1. 袋中有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球.从中一次摸出2个球，用 表示摸出的红球个数，则 （ ） · A.  B.  C.  D. 1. 某射手射击一次命中目标的概率为0.8，用 表示他射击一次命中的次数，则 的分布列为（ ） · A.  B. · C.  D. 1. （选做）一个袋中装有4个大小相同的球，编号为1,2,3,4.从袋中不放回地随机取两个球，用 表示取出的两个球的最大编号.求 的分布列. 导学案参考答案 学习任务一 实例分析 试验1：从100个电子元件中随机抽取3个，用 表示抽到的次品数. 的可能取值为 0, 1, 2, 3 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，用 表示抛掷次数. 的可能取值为 1, 2, 3, …（所有正整数） 判断练习 (1) 某人在车站等公交车的时间 —— 随机变量，不是离散型（时间连续） (2) 抛掷两枚骰子，所得点数之和 —— 随机变量，是离散型 (3) 某品牌饮料的实际含量与标称含量的差值 —— 随机变量，不是离散型（差值连续） (4) 某足球队在5次点球中射进的球数 —— 随机变量，是离散型 学习任务二 例题分析（课本例1） 在含有5件次品的100件产品中，任取3件，取到的次品数 的分布列： 具体数值（可计算验证概率之和为1）： 学习任务三 例2（不放回抽球） 10台电脑，A品牌3台，B品牌7台，随机选2台，A品牌台数 的分布列： 验证： 例3（有放回取球两次） 袋中编号1,2,3,4，有放回取两次. (1) 两次都取到3号球的概率： (2) 两球号码之和 的分布列（ 可取 2,3,4,5,6,7,8）： 两点分布实例 罚球命中概率0.7， 表示一次罚球得分（命中1分，不中0分）： 二、自查自纠（正误判断） 1. 正确.随机变量的取值是实数，是从样本空间到实数集的映射. 2. 正确.离散型随机变量的取值可以无限个（如1,2,3,…），只要能够一一列举. 3. 正确.分布列中所有概率之和必须等于1，这是分布列的基本性质. 4. 错误.两点分布的随机变量通常取0和1，但也可以取其他两个值（如a和b），统称两点分布. 5. 正确.射击命中环数（0环到10环）共有11种可能取值，是离散型随机变量. 三、典例分析答案 例1 袋中有3个白球和5个黑球，任取两个球， 表示白球个数. 可取 0, 1, 2. 分布列为： 0 1 2 验证： 例2 抛掷一枚质地均匀的硬币2次， 表示正面向上次数. 可取 0, 1, 2. 样本空间：{正正, 正反, 反正, 反反}，共4种等可能. 分布列为： 0 1 2 例3 从1,2,3,4中有放回取两个数， 表示两次数字之积. 可取 1,2,3,4,6,8,9,12,16. 列出所有有序对 共16种等可能. 验证概率之和： 四、习题巩固答案 1. 离散型随机变量判断 A. 某路口一天经过的车辆数 —— 离散型 B. 某人的身高 —— 连续型 C. 一杯水从开始加热到沸腾的温度 —— 连续型 D. 某次考试中某同学的得分 —— 离散型（如0,1,2,…,100） 答案：A和D（若单选则为A或D，具体依题意） 2. 分布列求参数 已知分布列： 对应概率 由 得 答案：D. 0.4 3. 摸红球问题 袋中3红2白，一次摸2个球， 表示红球个数. 答案：C. （或其他等价形式） 4. 射手命中分布列 命中概率0.8， 表示命中次数（命中1，不中0），服从两点分布. 答案：对应选项（） 5. 选做题 袋中编号1,2,3,4，不放回取两球， 表示最大编号. 可取 2,3,4. 只有 含且另一个为或 含且另一个为 分布列为： 2 3 4 验证： 学科网（北京）股份有限公司 $