7.2.1 离散型随机变量及其分布列 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学选择性必修第三册 导学 第七章 随机变量及其分布 §7.2.1 离散型随机变量及其分布列【导学】【解析】 【导学目标】1.理解随机变量的意义,了解随机变量与函数的区别; 2.掌握离散型随机变量的概念,能够写出随机变量的取值以及随机试验的结果. 【导学重点】能够写出随机变量的取值以及随机试验的结果 【导学难点】理解随机变量的意义,了解随机变量与函数的区别; 【知识要点】 知识点一:随机试验 一般地，一个试验如果满足下列条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果; 这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验. 知识点二：随机变量的定义 一般地对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对,我们称X为随机变量. 知识点三：离散型随机变量的定义 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量 知识点四：随机变量与函数的关系 (1)相同点：样本点ω相当于函数定义中的自变量,而样本空间Ω相当于函数的定义域; (2)不相同点：样本空间Ω不一定是数集. 知识点五：连续性随机变量 连续型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量,又称作连续型随机变量. 如：种子含水量的测量误差X；某品牌电视剧的使用寿命Y 【探究问题】有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系. （1）掷一枚骰子用实数𝑚(𝑚=1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为𝑚”，又如, 掷两枚骰子样本空间为Ω={ (𝑥,𝑦) |𝑥,𝑦=1,2,⋯6}, 用𝑥+𝑦表示“两枚骰子的点数之和”样本点(𝑥,𝑦)就与实数𝑥+𝑦对应. （2）某射击运动员在射击训练中，其中某次射击可能出现命中的环数情况有哪些？ 实数𝑚(𝑚=0,1,2,3,4,5,6,···,10)表示“击中环数𝑚” （3）随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即：，这个试验的样本点与实数就建立了对应关系 【方法归纳一】 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法 （1）明确随机试验的所有可能结果； （2）将随机试验的试验结果数量化； （3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是. 【方法归纳二】 1．随机变量是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件． 2．写随机变量表示的结果，要看三个特征： (1)可用数来表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取值． 【典型例题】 题型一：概念的理解 【例1-1】下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)上海国际机场候机室中2025年10月1日的旅客数量； (2)2025年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间； (3)2025年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)体积为1000 cm3的球的半径长． 【答案】（1）是随机变量。 因为在2025 年 10 月 1 日之前，无法确定当天候机室的旅客具体数量，其取值具有不确定性。 （2）是随机变量。 列车到达时间可能受路况、天气等因素影响，在到达前无法确定具体时间，取值具有不确定性。 (3) 是随机变量。 在这段时间结束前，无法确定查酒驾的具体人数，取值具有不确定性。 (4) 不是随机变量。 根据球的体积公式 ，当体积确定时，半径R是一个确定的值，不具有不确定性。 【例1-2】下列变量中是离散型随机变量的是？ (1)下期《诗词大会》节目中过关的人数； (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差； (3)在郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号； (4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位． 【答案】 (1)是离散型随机变量。过关人数是可以一一列举的整数（0,1,2,…）。 (2)不是离散型随机变量。这个差值可以取某一区间内的任意实数，无法一一列举，属于连续型随机变量。 (3)是离散型随机变量。编号是可以一一列举的正整数（1,2,3,…）。 (4)不是离散型随机变量。水位在 (0,29] 范围内可以取任意实数，无法一一列举，属于连续型随机变量。 【例1-3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X. (2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X. (3)在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？ 【答案】(1) 白球个数 X可能取值：0,1,2,3 含义： X=0：取出的 5 个球全是红球； X=1：取出的 5 个球中有 1 个白球、4 个红球； X=2：取出的 5 个球中有 2 个白球、3 个红球； X=3：取出的 5 个球中有 3 个白球、2 个红球。 (2) 最大号码 X可能取值：3,4,5 含义： X=3：取出的 3 个球编号为 1,2,3； X=4：取出的 3 个球中最大编号为 4，即组合为 (1,2,4)、(1,3,4)、(2,3,4)； X=5：取出的 3 个球中最大编号为 5，即组合为 (1,2,5)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)。 (3) 赢得的钱数 Y 设取出红球k个，白球5−k个（k=2,3,4,5，对应X=5−k=0,1,2,3），则：Y=2k−1⋅(5−k)=3k−5 当k=5（X=0）：Y=3×5−5=10元； 当k=4（X=1）：Y=3×4−5=7元； 当k=3（X=2）：Y=3×3−5=4元； 当k=2（X=3）：Y=3×2−5=1元。 可能取值：1,4,7,10含义： Y=10：取出 5 个红球； Y=7：取出 4 个红球、1 个白球； Y=4：取出 3 个红球、2 个白球； Y=1：取出 2 个红球、3 个白球。 【例1-4】(多选)下列结论正确的有(　　) A．离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象 B．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1 C．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y必是离散型随机变量 D．随机变量的各个可能取值之间彼此互斥 【答案】：ACD 题型二：随机变量的试验结果 【例2-1】写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果： （1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数X 。 （2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数X． （3）抛掷两个骰子，所得点数之和X． （4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X ． （5）某一自动装置无故障运转的时间X． （6）某林场树木最高达30米，此林场树木的高度X ． 【答案】 (1)可能取值：X=1,2,3,…,10 含义：X=k（k=1,2,…,10）表示取出的是第k号卡片。 (2)可能取值：X=0,1,2,3 含义： X=0表示取出的3个球全是黑球； X=1表示取出的3个球中有1个白球、2个黑球； X=2表示取出的3个球中有2个白球、1个黑球； X=3表示取出的3个球全是白球。 (3)可能取值：X=2,3,4,…,12 含义：X=k（k=2,3,…,12）表示两个骰子的点数之和为k（如X=2表示两个骰子都掷出 1 点，X=12表示两个骰子都掷出 6 点）。 (4)可能取值：X=1,2,3,… 含义：X=k（k=1,2,3,…）表示第k次射击首次命中目标。 (5)可能取值：X>0（或X∈(0,+∞)） 含义：X=t（t>0）表示自动装置无故障运转了t时间。 (6)可能取值：X∈[0,30] 含义：X=h（0≤h≤30）表示树木的高度为h米。 【例2-2】从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 【答案】可能取值：3,4,5,6,7,8,9,10,11 【例2-3】掷两枚均匀硬币一次，则正面个数与反面个数之差的可能的值有 　． 【答案】掷两枚均匀硬币，可能的结果有： 两枚正面：正面个数 2，反面个数 0，差为2−0=2 一正一反：正面个数 1，反面个数 1，差为1−1=0 两枚反面：正面个数 0，反面个数 2，差为0−2=−2 所以正面个数与反面个数之差的可能值为：−2,0,2 【例2-4】袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为X，则X所有可能值的个数是　　个；“X＝4”表示　　　　　　　． 【答案】有放回取两个小球，号码之和X的最小取值为1+1=2，最大取值为5+5=10，中间的整数2,3,4,5,6,7,8,9,10都能取到，共9个。 “X=4” 表示的是：第一次取1号且第二次取3号，或第一次取2号且第二次取2号，或第一次取3号且第二次取1号. 故答案：9个； 第一次取1号且第二次取3号，或第一次取2号且第二次取2号，或第一次取3号且第二次取1号. 【例2-5】某人去商场为所在公司买玻璃水杯若干只，公司要求至少要买50只，但不得超过80只．商场有优惠规定：一次购买这种玻璃水杯小于或等于50只不优惠，大于50只的，超出部分按原价的7折优惠，已知原来的水杯价格是每只6元．这个人一次购买水杯的只数X是一个随机变量，那么他所付的款额Y是否也是一个随机变量呢？这两个随机变量有什么关系？ 【答案】已知购买水杯的只数X满足50≤X≤80，水杯原价每只 6 元。 当X=50时，费用为50×6=300元； 当50<X≤80时，前50只按原价，超出部分(X−50)只按7折（每只6×0.7=4.2元）， 总费用为：50×6+(X−50)×4.2=300+4.2(X−50)=4.2X+90 则： 【结论】若X是随机变量,则Y=aX+b(其中a、b是常数)也是随机变量. 【方法归纳】离散型随机变量分布列的求解步骤 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册 导学 第七章 随机变量及其分布 §7.2.1 离散型随机变量及其分布列【导学】 【导学目标】1.理解随机变量的意义,了解随机变量与函数的区别; 2.掌握离散型随机变量的概念,能够写出随机变量的取值以及随机试验的结果. 【导学重点】能够写出随机变量的取值以及随机试验的结果 【导学难点】理解随机变量的意义,了解随机变量与函数的区别; 【知识要点】 知识点一:随机试验 一般地，一个试验如果满足下列条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果; 这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验. 知识点二：随机变量的定义 一般地对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对,我们称X为随机变量. 知识点三：离散型随机变量的定义 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量 知识点四：随机变量与函数的关系 (1)相同点：样本点ω相当于函数定义中的自变量,而样本空间Ω相当于函数的定义域; (2)不相同点：样本空间Ω不一定是数集. 知识点五：连续性随机变量 连续型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量,又称作连续型随机变量. 如：种子含水量的测量误差X；某品牌电视剧的使用寿命Y 【探究问题】有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系. （1）掷一枚骰子用实数𝑚(𝑚=1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为𝑚”，又如, 掷两枚骰子样本空间为Ω={ (𝑥,𝑦) |𝑥,𝑦=1,2,⋯6}, 用𝑥+𝑦表示“两枚骰子的点数之和”样本点(𝑥,𝑦)就与实数𝑥+𝑦对应. （2）某射击运动员在射击训练中，其中某次射击可能出现命中的环数情况有哪些？ 实数𝑚(𝑚=0,1,2,3,4,5,6,···,10)表示“击中环数𝑚” （3）随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即：，这个试验的样本点与实数就建立了对应关系 【方法归纳一】 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法 （1）明确随机试验的所有可能结果； （2）将随机试验的试验结果数量化； （3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是. 【方法归纳二】 1．随机变量是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件． 2．写随机变量表示的结果，要看三个特征： (1)可用数来表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取值． 【典型例题】 题型一：概念的理解 【例1-1】下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)上海国际机场候机室中2025年10月1日的旅客数量； (2)2025年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间； (3)2025年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)体积为1000 cm3的球的半径长． 【例1-2】下列变量中是离散型随机变量的是？ (1)下期《诗词大会》节目中过关的人数； (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差； (3)在郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号； (4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位． 【例1-3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X. (2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X. (3)在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？ 【例1-4】(多选)下列结论正确的有(　　) A．离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象 B．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1 C．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y必是离散型随机变量 D．随机变量的各个可能取值之间彼此互斥 题型二：随机变量的试验结果 【例2-1】写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果： （1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数X 。 （2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数X． （3）抛掷两个骰子，所得点数之和X． （4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X ． （5）某一自动装置无故障运转的时间X． （6）某林场树木最高达30米，此林场树木的高度X ． 【例2-2】从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 【例2-3】掷两枚均匀硬币一次，则正面个数与反面个数之差的可能的值有 　． 【例2-4】袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为X，则X所有可能值的个数是　　个；“X＝4”表示　　　　　　　． 【例2-5】某人去商场为所在公司买玻璃水杯若干只，公司要求至少要买50只，但不得超过80只．商场有优惠规定：一次购买这种玻璃水杯小于或等于50只不优惠，大于50只的，超出部分按原价的7折优惠，已知原来的水杯价格是每只6元．这个人一次购买水杯的只数X是一个随机变量，那么他所付的款额Y是否也是一个随机变量呢？这两个随机变量有什么关系？ 【结论】若X是随机变量,则Y=aX+b(其中a、b是常数)也是随机变量. 【方法归纳】离散型随机变量分布列的求解步骤 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $