北京中学2025-2026学年第二学期高一英才期中调研试题数学

I-? TT2025-2026学年第二学期高一英才期中调研试题 数学 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 1.已知向量=（2,1)，b=1,-2),则 A.allb B.a⊥b c.a.b=-1 D.同> 2.设a为实数，复数21=a-2i,22=-1+i,若21+22为纯虚数，则2122= A.2 B.5 C.√10 D.3 3.如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量-】AB+AD等于 2 A.AE B.AC B.C.BD D.BE 4.已知&，B,Y是三个不同的平面，α，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是 A.若a/1a,a/IB,则alB B.若a/Ia,bca,则alb C.若a⊥，b⊥a,则ab D.若a⊥y,B⊥y,则lB 5.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=1:V3:2,则A= A.30° B.45 C.60° D.120° 6.北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓意“文化汇聚、培 育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积 约为 A.108π平方分米 B.144π平方分米 C.180π平方分米 D.216π平方分米 7.己知向量ā，b是两个单位向量，则(a,b)为锐角”是“a-<√2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.“端午节”为我国传统节日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子也是端午节 食俗之一.全国各地的粽子包法各有不同，如图，粽子可包成棱长为6c的正四面体状的三 允棕，也可微碳底而半径为m,高为6m(不含外充)的圆挂状竹筒棕，现有一个装满 (不冒尖)馅料的米斗，其形状可近似看作为上底面圆半径为8cm,下底面圆半径为6cm, 高为3cm的圆台，则这些馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为（参考数据： V2π≈4.44) A.18,10 B.18,11 C.19,10 D.19,11 9.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点P在线段AD上运动，给出以下四个命题： ①三角形PBD的面积为定值： ②三棱锥D-BPC的体积为定值： ③异面直线CP与直线CB,所成的角为定值；④二面角P-BC-D的大小为定值， 其中真命题有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.设向量a五c满足1a2,a-万=-2，<a-c.6-d>胥则d的取值不可能 为 B.3 15 C. D. 9-2 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 1.复数2的共轭复数的虚部是 12.已知平面向量-=2，e是单位向量，e与a夹角为45°，则向量a在向量e上的投影向 量为 13.已知三个不同的平面0，B,Y和一条直线4，给出五个论断： ①a11B:②B1Wy: ③a⊥o: ④a⊥B;⑤&⊥y. 以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的“若卫，则q”的命题 ·(可以用序号表示) 14.在《九章算术》中，称如下图中的多面体ABCDEF为刍甍”，若底面ABCD是边长为3 的正方形，EF=2,且EF∥AB,△AED和△BFC是等腰直角三角形，∠AED=∠BFC=90°， 则FC与底面ABCD所成角的正弦值为 B 15.如图，在菱形ABCD中，BC=2,∠ABC=60°，以BC为直径的半圆与AB交于点M, P是半圆上的动点，则BM.BD=」 :BP.BD的最大值是 D M 16.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点M为AD的中点，点N是侧面DCCD 上（包括边界）的动点，点P是线段BD上的动点，给出下列以下结论： A C B A D B ①存在点N,使得对任意点P,都有MN⊥C,P; ②存在无数组点N和点P,使得CP/IMN; ③存在唯一的点P,使得BD⊥平面MPC; ④存在点N和点P,使得平面NP/平面ABCD: ⑤存在点P,使得其到直线CD的距离为V6 其中所有正确结论的序号是， 三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17.(本小题12分) 己知=1，b1=2. (1)若a∥b,求d.b: (2)若a,6的夹角为120°，求+： (3)若(46-可1，求ā与6的夹角为0. 18.(本小题15分) 己知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.设平面 PAD与平面PBC的交线为I,平面PAD⊥平面ABCD P E A B (1)证明：平面EFG//平面PAB: (2)求证：BC/l. (3)求证：DC⊥PA, 19.(本小题13分) 在△ABC中，√2 csinB=btanC. (1)求∠C: (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确 定，求c和simA的值， 条件①：a=2√2，AC边上中线的长为√5； 条件②：c0sB=-Vi ,AC边上的高BD的长为2. 10 条件③：b=6,△ABC的面积为12： 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分. 20.(本小题15分) 如图，在直三棱柱ABC-ABC中，D是棱AC的中点，且AC=4,A4=2W2 (I)求证：B,C∥平面ABD: B (Ⅱ)再从条件①、②这三个条件中选择一个作为已知， A (1)求证：AC⊥平面ABD: B (2)在棱BB上是否存在点N,使得平面ACN⊥平面 D ACC,A？如果存在，求出B8 BN 的值；如果不存在，请说明理由， 条件①：AB=BC 条件②：BD⊥AD: 注：如果选择条件①和条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分， 21.(本小题15分) 设集合S={A,A,,A},若集合S中的元素同时满足以下条件： ①ie红，2，}，A恰好都含有3个元素： ②iJe{红，2，，}，i≠j,A∩A为单元素集合： ③A∩A,∩.∩A.=0 则称集合S为“优选集”. (1)判断集合P={1,2,3),(2,4,5},2={1,2,3),(1,4,5),(2,5,7}是否为“优选集” (2)证明：若集合S为“优选集”，则∈A,x至多属于S中的三个集合： (3)若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值，