北京中学2025-2026学年第二学期高一英才期中调研数学试题

2025-2026学年第二学期高一英才期中调研试题 数学 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设a为实数，复数，，若为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 在中，若，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 6. 北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓意“文化汇聚、培育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约为（ ） A. 108π平方分米 B. 144π平方分米 C. 180π平方分米 D. 216π平方分米 7. 已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. “端午节”为我国传统节日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子也是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同，如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有一个装满（不冒尖）馅料的米斗，其形状可近似看作为上底面圆半径为8cm，下底面圆半径为6cm，高为3cm的圆台，则这些馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为（）（参考数据：） A. 18，10 B. 18，11 C. 19，10 D. 19，11 9. 在棱长为的正方体中，点在线段上运动，给出以下四个命题： ①三角形的面积为定值；②三棱锥的体积为定值； ③异面直线与直线所成的角为定值；④二面角的大小为定值． 其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 设向量，，满足，，，则的取值不可能为（ ） A. B. 3 C. D. 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 复数的共轭复数的虚部是______． 12. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为______． 13. 已知三个不同的平面，，和一条直线a，给出五个论断： ①； ②； ③； ④； ⑤． 以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的“若p，则q”的命题______．（可以用序号表示） 14. 在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 15. 如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 16. 如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出以下结论： ①存在点，使得对任意点，都有； ②存在无数组点和点，使得； ③存在唯一的点，使得平面； ④存在点和点，使得平面平面； ⑤存在点，使得其到直线的距离为． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知，． （1）若，求； （2）若，的夹角为，求； （3）若，求与的夹角θ． 18. 已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求证：； （3）求证：． 19. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值． 条件①：，边上中线的长为； 条件②：，边上的高的长为2． 条件③：，的面积为12； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，． （1）求证：平面； （2）从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 21. 设集合，若集合S中的元素同时满足以下条件： ①，恰好都含有3个元素； ②，，为单元素集合； ③ 则称集合S为“优选集”． （1）判断集合，是否为“优选集”； （2）证明：若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合； （3）若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值． 2025-2026学年第二学期高一英才期中调研试题 数学 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【11题答案】 【答案】1 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】若②⑤，则④（或若②④，则⑤，或若①③则④） 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】 ①. 3 ②. ## 【16题答案】 【答案】②④⑤ 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】（1）或 （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）选①，不合题意；选②：，；选③：， 【20题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在； 【21题答案】 【答案】（1）不是“优选集”， 是“优选集”； （2） 由集合S为“优选集”， 结合（1）显然，可以属于S中的一个集合，两个集合， 取集合，其中，，，，，，， 此时，可以属于S中的两个集合，三个集合， 假设存在，使得可以属于S中的四个集合，即，其中， 为了满足条件③，显然还存在， 为了满足条件②，中的元素必须在，，，中除外的另外两个元素中各选一个， 此时中有4个元素，显然不满足条件①， 因此假设不成立， 故若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合； （3）7 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $