7.1.2 全概率公式导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.2 全概率公式 【学习目标】 1. 理解并掌握全概率公式，能运用全概率公式计算复杂事件的概率. 1. 了解贝叶斯公式，能运用贝叶斯公式进行简单的逆概计算. 1. 结合古典概型，会利用全概率公式及贝叶斯公式解决实际问题（如抽检、通信信号等）. 【学习重点】 1. 全概率公式的推导与理解. 2. 运用全概率公式解决“由原因求结果”的概率问题. 3. 贝叶斯公式的基本形式及其应用（由结果追溯原因）. 【学习难点】 1. 理解“完备事件组”的概念及其在公式中的作用. 2. 区分全概率公式与贝叶斯公式的使用场景. 学习任务一 全概率公式的引入与推导 【合作探究】 1. 复习引入： · 上节课我们学习了条件概率和乘法公式 . · 在例3（银行密码问题）中，我们将“不超过2次按对”表示为 ，利用互斥事件和乘法公式求出了概率. · 这种“将一个复杂事件分解为若干互斥简单事件并，再使用加法与乘法公式”的思想，就是全概率公式的核心. 1. 问题情景： · 一个盒子中有红球和蓝球，第一次摸球后放回或不放回？具体地：设盒中有 个红球， 个蓝球，每次摸球后不放回.求第2次摸到红球的概率. · 分析：设 表示第一次摸到红球， 表示第一次摸到蓝球， 表示第二次摸到红球.则 · 且两事件互斥.由乘法公式： · 具体数值请代入计算（假设 不放回）. 1. 推广： · 将样本空间 划分为 个两两互斥的事件 ，且它们并起来为 （即完备事件组）.对任意事件 ，有 · 各 互斥，于是 · 这就是全概率公式. 1. 条件： · 两两互斥，且 ，且 . 【自主梳理】 1. 全概率公式： · 设 为样本空间 的一个划分（完备事件组），即它们两两互斥且并集为 ，且 ，则对任意事件 ，有 · 口诀：由原因 求结果 的概率. 1. 思想：全概率公式体现了“化整为零，先分后合”的计数（概率）思想. 学习任务二 全概率公式的应用 【合作探究】 1. 例4（餐厅选择问题）： · 王同学第1天随机选择 或 餐厅（各 ）.若第1天去 ，则第2天去 的概率为 ；若第1天去 ，则第2天去 的概率为 .求第2天去 的概率. · 解：设 =“第1天去A”， =“第1天去B”， =“第2天去A”.则 · 请完成上述计算. 1. 例5（车床次品问题）： · 三台车床加工的零件数分别占 ，次品率分别为 . (1) 任取一个零件，求它是次品的概率. · 设 =“零件来自第 台车床”， =“次品”. · 请计算最后结果. (2) 如果取到的零件是次品，求它来自第 台车床的概率（即 ）. · 这属于逆概问题，将用贝叶斯公式. 1. 利用全概率公式的步骤： 第一步：设事件，确定完备事件组 及目标事件 . 第二步：写出已知概率 和 . 第三步：代入全概率公式计算 . 【自主梳理】 全概率公式的典型应用场景： 1. 问题中存在多个“原因”（如不同批次、不同来源、不同途径），每个原因以一定概率导致结果 ，且这些原因构成完备事件组. 2. 已知每个原因的先验概率 和条件概率 ，求总概率 . 学习任务三 贝叶斯公式（逆概公式） 【合作探究】 1. 从例5引出贝叶斯公式： · 在例5(2)中，已知抽到次品 ，想求它来自第 台车床的概率 .由条件概率公式： · 其中分母 可用全概率公式计算.这就是贝叶斯公式. 1. 一般形式： · 设 为完备事件组， 为任意事件且 ，则 · 贝叶斯公式用于“已知结果，追溯原因”. 1. 例6（通信信号问题）： · 发送信号0和1等可能（各0.5）.发送0时收到0的概率0.9，收到1的概率0.1；发送1时收到1的概率0.95，收到0的概率0.05. (1) 求收到信号0的概率. · 设 =“发送0”， =“发送1”， =“收到0”.由全概率公式： (2) 已知收到信号0，求发送的是1的概率（即误码率）. · 由贝叶斯公式： 1. 先验概率与后验概率： · 称为先验概率（试验前已知）， 称为后验概率（试验后更新）. 【自主梳理】 1. 贝叶斯公式： · 用于结果已知，反推原因的概率. 1. 与全概率公式的关系： (1) 全概率公式：由因推果. (2) 贝叶斯公式：由果溯因（结果已发生，求某原因的可能性）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 全概率公式要求事件组 两两互斥且并集为 . （ ） 1. 若事件 与 独立，则 ，但全概率公式仍然成立. （ ） 1. 贝叶斯公式中，分母一定是1. （ ） 1. 后验概率 通常不等于先验概率 ，除非 与 独立. （ ） 1. 全概率公式只适用于两个事件的情形. （ ） 【典例分析】 例1：现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题无思路.有思路的题做对的概率为0.9，无思路的题猜对概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率. 解： （学生填写：设 =“有思路”， =“无思路”， =“做对”.则 ，，，.由全概率公式 .） 例2：两批同种产品，第一批占40%，次品率5%；第二批占60%，次品率4%.混合后任取一件. (1) 求这件产品是合格品的概率； (2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率. 解： （学生填写，设 =“合格品”，=“第一批”，=“第二批”. (1) . (2) .） 【习题巩固】 1. 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.该射手任取一支枪射击，求中靶的概率. 1. 某工厂有甲、乙、丙三条生产线，产量分别占30%、30%、40%，次品率分别为2%、1%、3%.现从产品中任取一件，求它是次品的概率. 1. 已知某疾病的发病率为0.001，一种检测方法在患者身上检出阳性的概率为0.99，在健康人身上误检为阳性的概率为0.05.现某人检测结果为阳性，求他真正患病的概率. 1. 某种产品由三个厂家供货，甲厂占20%，乙厂占30%，丙厂占50%，次品率分别为0.02、0.01、0.03.现从仓库中随机取一件产品，发现是次品，求它来自丙厂的概率. 1. （选做）在数字通信中，发送信号0和1的概率分别为0.4和0.6.发送0时接收为0的概率0.9，接收为1的概率0.1；发送1时接收为1的概率0.95，接收为0的概率0.05.求： · (1) 接收信号为1的概率； · (2) 已知接收信号为1，求发送信号为0的概率. 导学案参考答案 学习任务一 问题情景（摸球问题） 设盒中有 个红球， 个蓝球，不放回摸球，求第2次摸到红球的概率. 设 =“第一次摸到红球”， =“第一次摸到蓝球”， =“第二次摸到红球”. 结论：第二次摸到红球的概率与第一次相同. 学习任务二 例4（餐厅选择问题） 设 =“第1天去A”， =“第1天去B”， =“第2天去A”. 已知 ，，. 答案：0.45 例5（车床次品问题） 三台车床零件数占比分别为 ，次品率分别为 . (1) 任取一个零件是次品的概率： (2) 若取到次品，求来自第1台车床的概率（贝叶斯公式）： 答案：(1) 0.0345；(2) 学习任务三 例6（通信信号问题） 发送信号0和1概率各0.5.发送0时收到0的概率0.9，收到1的概率0.1；发送1时收到1的概率0.95，收到0的概率0.05. (1) 收到信号0的概率： 设 =“发送0”， =“发送1”， =“收到0”. (2) 已知收到信号0，求发送的是1的概率（误码率）： 答案：(1) 0.475；(2) 二、自查自纠（正误判断） 1. 正确.全概率公式要求事件组 两两互斥且并集为样本空间 . 1. 正确.若事件 与 独立，则 ，但全概率公式仍然成立，独立性不是全概率公式的前提. 1. 错误.贝叶斯公式中分母是 ，一般不等于1，需用全概率公式计算. 1. 正确.后验概率 通常不等于先验概率 ，除非 与 独立. 1. 错误.全概率公式适用于任意有限个事件构成的完备事件组，不限于两个事件. 三、典例分析答案 例1（学生做题问题） 设 =“有思路”， =“无思路”， =“做对”. 已知 ，， ，. 由全概率公式： 答案：0.7375 例2（两批产品问题） 第一批占40%，次品率5%；第二批占60%，次品率4%. 设 =“第一批”， =“第二批”， =“合格品”. (1) 合格品概率： (2) 已知取到合格品，求取自第一批的概率： 答案：(1) 0.956；(2) 四、习题巩固答案 1. 射击问题 5支枪中，校正过的3支（中靶率0.9），未校正过的2支（中靶率0.4）.任取一支射击，求中靶概率. 设 =“取到校正过的”， =“取到未校正的”， =“中靶”. 答案：0.70 2. 生产线次品问题 甲厂占30%，次品率2%；乙厂占30%，次品率1%；丙厂占40%，次品率3%. 任取一件是次品的概率： 答案：0.021 3. 疾病检测问题 发病率0.001，患者检出阳性概率0.99，健康人误检阳性概率0.05.某人检测阳性，求真正患病概率. 设 =“患病”， =“阳性”. 答案：约 0.0194（约1.94%） 4. 供货厂家次品问题 甲厂占20%，次品率0.02；乙厂占30%，次品率0.01；丙厂占50%，次品率0.03.取到次品，求来自丙厂的概率. 丙次品 答案： 5. 选做题（通信信号问题） 发送0概率0.4，发送1概率0.6.发送0时收到0概率0.9（收到1概率0.1）；发送1时收到1概率0.95（收到0概率0.05）. (1) 接收信号为1的概率： 设 =“发送0”， =“发送1”， =“收到1”. (2) 已知收到1，求发送0的概率： 答案：(1) 0.61；(2) 学科网（北京）股份有限公司 $