7.1.2 全概率公式导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学选择性必修第三册 导学 第七章 随机变量及其分布 §7.1.2 全概率公式【导学】【解析】 【教学目标】 1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; 2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率; 3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 【导学重点】会利用全概率公式计算概率; 【导学难点】全概率公式的理解和应用 【知识要点】 知识点一：全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=P(Ai)P(B|Ai) 我们称左面的公式为全概率公式 知识点二：*贝叶斯公式： 【典型例题】 【例1】（衔接教材P50L4）某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 【解析】设A1=“第1天去A餐厅用餐”, B1=“第1天去B餐厅用餐”, A2=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=A1B1 且与B1互斥，根据题意得 P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8 由全概率公式,得 P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7 因此,王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7. 【例2】（衔接教材P50L5）有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率. 【解析】B=“任取一个零件为次品”, Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3), 则 Ω=A1A2A3,且A1A2A3互斥,根据题意得 P(A1)=0.25,P(A2)=0.3, P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06, P(B|A2)= P(B|A3)=0.05. (1) 由全概率公式, 得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525 (2)“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率”, 就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率. 同理可得 【例3】（衔接教材P51L6）在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.分别求接收的信号为0和1的概率； 【解析】设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”， 则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1”. 由题意得 【例4】袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求： （Ⅰ）第一次摸到红球的概率； （Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （Ⅲ）第二次摸到红球的概率. 【解析】设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球， 则事件：第一次摸到白球. （Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种， 所以 . （Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种. 所以. （Ⅲ）. 所以第二次摸到红球的概率. 【例5】(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是(　　) A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C． 至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，2个球都是红球的概率为×＝，A选项正确； 对于B选项，2个球不都是红球的概率为1－×＝，B选项错误； 对于C选项，至少有1个红球的概率为1－×＝，C选项正确； 对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率×＋×＝，D选项正确． 故选ACD． 【例6】有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品中正品率为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率多大？ 【解析】设A，B，C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D表示抽得产品为正品， 则由已知，得P(A)＝50%，P(B)＝30%，P(C)＝20%， P(D|A)＝95%，P(D|B)＝90%，P(D|C)＝85%， 从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到： P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C) ＝×＋×＋×＝0.915． 即该产品是正品的概率0.915． 【方法归纳】应用全概率公式求概率的步骤 (1)根据题意找出完备事件组，即满足全概率公式的Ω的一个划分A1，A2，A3，…，An； (2)用Ai(i＝1,2,3，…，n)来表示待求的事件； (3)代入全概率公式求解．　 【例7】两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0．02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍． (1)求任意取出的零件是合格品的概率； (2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 【解析】设Ai表示“第i台机床加工的零件”(i＝1,2)，B表示“出现废品”， C表示“出现合格品”． (1)P(C)＝P(A1C∪A2C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2) ＝×(1－0.03)＋×(1－0.02)≈0.973． 即任意取出的零件是合格品的概率为0.973； (2)P(A2|B)＝＝＝＝0.25． 即它是第二台车床加工的概率为0.25． 【例8】某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”， P(B|A)＝，P(B|)＝，P(A)＝， 由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝（）2＋（）2＝． 故选B． 【例9】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【解析】(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28， 这2个产品都是次品的事件数为C＝3． ∴这2个产品都是次品的概率为． (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”， 事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”， 事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”， 事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”， 则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥． P(B1)＝＝，P(B2)＝＝， P(B3)＝＝， P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝， ∴由全概率公式 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝． 即取出的这个产品是正品的概率为． 【例10】设某批产品中， 甲、 乙、 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品， 求该产品是甲厂生产的概率． 【解析】　记事件A1：“该产品是甲厂生产的”， 事件A2: “该产品为乙厂生产的”， 事件A3：“该产品为丙厂生产的”， 事件B：“该产品是次品”. 由题设， 知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%， P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%. (1)由全概率公式得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝3.5%. (2)由贝叶斯公式得P(A1|B)＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册 导学 第七章 随机变量及其分布 §7.1.2 全概率公式【导学】 【教学目标】 1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; 2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率; 3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 【导学重点】会利用全概率公式计算概率; 【导学难点】全概率公式的理解和应用 【知识要点】 知识点一：全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=P(Ai)P(B|Ai) 我们称左面的公式为全概率公式 知识点二：*贝叶斯公式： 【典型例题】 【例1】（衔接教材P50L4）某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 【例2】（衔接教材P50L5）有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率. 【例3】（衔接教材P51L6）在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.分别求接收的信号为0和1的概率； 【例4】袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求： （Ⅰ）第一次摸到红球的概率； （Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （Ⅲ）第二次摸到红球的概率. 【例5】(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是(　　) A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C． 至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 【例6】有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品中正品率为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率多大？ 【方法归纳】应用全概率公式求概率的步骤 (1)根据题意找出完备事件组，即满足全概率公式的Ω的一个划分A1，A2，A3，…，An； (2)用Ai(i＝1,2,3，…，n)来表示待求的事件； (3)代入全概率公式求解．　 【例7】两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0．02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍． (1)求任意取出的零件是合格品的概率； (2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 【例8】某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(　　) A． B． C． D． 【例9】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【例10】设某批产品中， 甲、 乙、 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品， 求该产品是甲厂生产的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $