北京师范大学第二附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

北师大二附中2025-2026高二下数学期中数学试卷 一、单选题 1.函数f(x)=x2十cos2x的导数为（ A.f'(x)=2x-sin2x B.f'(x)=2x-2sin2x C.f'(x)=2x+sin2x D.f'(x)=2x+2sin2x 2.已知数列an满足a+1=1+忌且a=营则a4=（) A.4 B.2 C.1 D.月 3.若随机变量x~B(4,为，则P(K=3)=（） B.号 c品 D.品 4.已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品.每次取出1个，取出后不放回，直到取出2 个正品为止.，设X为取出的次数，则P(X=3)=（) A. B. e D. 5.函数f(x)=x4-2x3在点(1，f(1)处的切线方程为()· A.2x+y-1=0 B.2x+y+1=0 C.x-2y-3=0 D.x+2y-3=0 .设数列[anJ满足a1=2,an+1=兰，则a20z6=（ an A一月 B.-1 C. 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S,=21,a5+40-ag=9,则S6=（) A.10 B.12 C.14 D.24 8.若随机变量X服从两点分布，其中P(《=O)=,B(),D()分别为随机变量X的均值与方差， 则下列结论正确的是（) AC PX=0=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 :DCW=号 试卷第1页，共4页 9.已知公比不为1的等比数列(anJ的前n项和为Sn,若a2、ag、as成等差数列、且Sa、Sg、Sm也成 等差数列，则m=() A.2 B.4 C.6 D,8 (x2+6x+3(x≤0) 10.迅知函数f(x)= gx>0) ，若函数g(x)=f(x)一3m有4个不同的多点则m的取 值范围是() A.(0) B.(（o) c.(-) D.(-动 二、填空题 11.已知函数f(x)及其导函数f'(x)满足f(x)=1n(2x)-4xf'(1),则f'(1)= 12.编号为1,2,3的三位学生随意入坐编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设 与座位编号相同的学生的个数是，则B()= 13.已知等差数列{a]中，a2=5,a6=21,若在数列{an每相邻两项之闻插入三个数.使得新 数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为一： 14.若Vx∈R,4cos3x+2cos2x-1-a>0恒成立，则实数a的取值范围为 15.数列a,满足ae侵，a+1=neNr),其前m项和为，给出下列四个结论： ①N%∈N*,ant1>an ②mEN,+>2, ant2 an anti OVnEN,<an<1: ④meN,当n>m时，都有Sm-川<成立. 其中所有正确结论的序号是 试卷第2页，共4页 三、解答题 16.己知数列(an的前n项和为Sn,且a4=1,Sn=a+1(n∈N) (1)求数列(a}的通项公式： (2)在数列bn中，bn=an-log4Sn,求数列bn的前n项和Tn. 17.某学校食堂当天午餐最多可以提供3道特色菜，已知该食堂共有4个窗口，且每个窗口当天 仅提供一道特色菜，各个窗口当天供应每道特色菜的概率均为，假设各个窗口的供菜彼此独立 同学们可以在任何窗口点菜， (1)已知食堂的特色菜中包含了“梅菜扣肉”，小明同学最喜爱这道特色菜，求小明当天午餐能吃到 梅菜扣肉”的概率； (②)我们把某天午餐时食堂所有窗口中出现特色菜的种数称为“膳食多样性指标”.求这天该食堂“膳 食多样性指标”的分布列及数学期望， 18.已知函数f(x)=xnx (I)求函数f(x)在x=e处的切线方程； ②)者关于x的不等式f(x)≥ax一x一1恒成立，求实数a的取值范围； 试卷第3页，共4页 19.为了促进学生健康成长和全面发展，某省数有厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动 时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）.接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个 年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单 位：小时)，五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到通知”要求， 高一年级 1012.589.5911 高二年级 7.588.519.51112 高三年级 74.5657.510.51112.5 (1)已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间设有 达到“通知”要求； (②)从被调查的高三年级8名学生中.随机选取3飞，记这3人中每天综合体育活动时间达到“通知” 要求的人数为X,求X的分布列和数学期望； (3)试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“<”连接）. 20.已知函数f()=lnx-ax+1,g()=f(x)(e*-bx-1) (I)若存在x使得f(x)>0成立，求a的取值范围； (2)当a>1时，g(x)≤0在定义域内恒成对，求b的取值范围. 21.若正整数a整除正整数m,则称a是m的正因数，如2是6的一个正因数，设正整数m有k个正 因数，从小到大排列成数列：4，a2,ax(a<a2<<ak).记p(m)为正整数m的正因数个数， σ(m)为正整数m的所有正因数的和，如p(6)=4,σ(6)=1+2+3+6=12. (1)求p(1350),p(6"),σ(6)： (②)当k之4时，若a2一a1,ag一a2,…,ak-ak-1构成等比数列，求正整数m; (3)当k之3时，若a42,,ak是正整数m的所有正约数的一个排列，那么aa☑十a2,a2十ag,, ak-1十ak是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论. 试卷第4页，共4页