专题14数据的初步分析复习讲义(知识梳理+9大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题14数据的初步分析复习讲义 -----数据的离散程度 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握极差、方差、标准差的概念，理解数据离散程度的含义。 2.熟记极差、方差的计算公式，明白各统计量的实际意义。 3.明确：集中趋势看平均水平，离散程度看波动、稳定程度。 1.能熟练计算一组数据的极差、方差、标准差。 2.会利用极差、方差比较两组数据的波动大小，判断稳定性。 3.具备数据分析能力，结合实际问题合理分析数据波动情况。 1.熟练掌握公式计算，杜绝运算错误，拿下基础计算题。 2.牢记规律：方差越小，数据越稳定；方差越大，波动越大。 3.掌握题型考法：数据稳定性比较、成绩 / 产量选拔、变式求值题，规范答题。 题型01.求离差平方和 题型02.求方差 题型03.利用方程求未知数据的值 题型04.根据方程判断稳定性 题型05.运用方差做决策 题型06.用样本平均数估计总体平均数 题型07.求四分位数 题型08.画箱线图 题型09.离差平方和的应用 解答题6题 知识点01:核心本质认知【章节灵魂】 数据统计两大方向： 集中趋势：反映数据整体平均、一般水平（平均数、中位数、众数） 离散程度：反映数据波动大小、分散范围、稳定程度 两组数据平均数相同时，必须用离散程度区分优劣 知识点02:三大离散统计量 超清晰对比表 统计量 核心定义 计算公式 核心特点 适用场景 极差 一组数据中最大值与最小值的差 极差=最大值最小值 计算最简单；只看两端、忽略中间数据；粗略反映波动 快速判断数据变化范围、粗略估算 方差 各数据与平均数差的平方的平均数 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 精准反映整体波动；常用核心考点；易计算出错 精准比较数据稳定性、考试高频 标准差 方差的算术平方根 s=​ 单位与原数据一致，实际意义更强 实际生活数据分析 知识点03:核心规律 必背黄金结论 1.极差、方差、标准差数值越大→ 数据越分散、波动越大、越不稳定 2.极差、方差、标准差数值越小→ 数据越集中、波动越小、越稳定 3.只有平均数相近或相等时，才能用方差比较稳定性 知识点04:方差计算 四步万能解题法 一算：求出这组数据的平均数 x 二差：逐个求每个数据与平均数的差 三平方：将所有差值分别平方 四平均：平方和 ÷ 数据总个数，得到方差 知识点05:数据平移 / 缩放 方差变化规律【拔高亮点】 设一组数据方差为s2 1.数据同时加 / 减同一个数：方差不变 2.数据同时扩大a倍：新方差=a2s2 3.数据同时扩大a倍再加b：只受倍数影响，加减数不改变方差 知识点06:集中趋势 & 离散程度 联动对比【一眼区分】 类别 代表统计量 研究方向 作用 集中趋势 平均数、中位数、众数 整体水平、中间水平、多数水平 看整体好坏 离散程度 极差、方差、标准差 波动大小、稳定情况 看发挥是否稳定 知识点07:高频易错盲区 扣分点避雷 1.求极差直接找大数减小数，无需排序，但排序更不易看错 2.方差计算必须减去平均数再平方，不能直接平方 3.标准差不是方差，是方差开算术平方根，二者不要混淆 4.不能单独用方差评判好坏，要结合平均水平综合分析 5.实际应用：选拔运动员、产品质量、成绩分析，优先选方差小的 题型01.求离差平方和 【典例】已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【跟踪专练1】若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为______． 【跟踪专练2】数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【跟踪专练3】把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型02.求方差 【典例】计算方差的过程中有：，则________． 【跟踪专练1】已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 【跟踪专练2】求一组数据方差的算式为：，则该组数据的平均数为________． 【跟踪专练3】将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（    ） A． B． C． D． 题型03.利用方程求未知数据的值 【典例】应用方差公式求某一组数据方差，则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的平均数为8 B．这组数据的个数为6 C．这组数据的总和为48 D．这组数据的平均数和个数都无法确定 【跟踪专练1】嘉嘉用公式计算一组数据的方差，那么这组数据的平均数是_____． 【跟踪专练2】若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等，则______ 【跟踪专练3】由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 题型04.根据方程判断稳定性 【典例】在初二数学期末综评中，甲乙丙丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别是10.39分，7.25分，8.72分，0.48分，则这四人中成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】甲、乙每次的射击比赛如图所示，他们的平均成绩都是8环，根据离散程度，说明________发挥更稳定． 【跟踪专练2】小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【跟踪专练3】求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 题型05.运用方差做决策 【典例】某校对九年级九（1）至九（4）四个班级进行了排球测试，四个班的平均成绩均为分（满分为10分），经计算四个班的方差分别为，，，，则这四个班级中成绩最稳定的是（    ） A．九（1）班 B．九（2）班 C．九（3）班 D．九（4）班 【跟踪专练1】为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 【跟踪专练2】某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 题型06.用样本平均数估计总体平均数 【典例】从某地某一个月中随机抽取5天的中午，记录这5天12时的气温（单位：），结果如下：22，32，25，13，18，可估计该地这一个月中午12时的平均气温为___________． 【跟踪专练1】李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（   ） A．18，2000 B．19，1900 C．，1900 D．19，1850 【跟踪专练2】某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 题型07.求四分位数 【典例】某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【跟踪专练1】在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 【跟踪专练2】祖冲之把圆周率精确到小数点后位，领先世界约年．数学活动课上，小红对圆周率的小数点后位数字进行了统计：则圆周率的小数点后位数字的第一四分位数、第三四分位数为（　　） 数字 频数 A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练3】按从小到大排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70．若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则________． 题型08.画箱线图 【典例】如图是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，根据图中信息，能确定这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪专练1】在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【跟踪专练2】学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【跟踪专练3】小伟参加如弈围棋学生社团2025年度校园挑战赛，共进行了12场比赛．积分统计小组将小伟这12场比赛的得分做了如下统计图．下列说法正确的是（    ） A．比赛最高得分是50分 B．比赛得分的中位数是50分 C．比赛得分数据集中在44.25分～50分 D．比赛得分的第三四分位数是44.25分 题型09.离差平方和的应用 【典例】八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【跟踪专练3】在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解答题】 1．某班为了选拔一名学生参加学校举办的诗词大赛，组织了五次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在这五次测试中的成绩（单位：分）如下： 【数据收集】 甲：； 乙：． 【数据分析】 学生 众数/分 中位数/分 平均数/分 甲 乙 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_________，_________； (2)求乙同学这五次测试成绩的平均数； (3)计算甲、乙两名学生这五次测试成绩的离差平方和，若班主任张老师要选一名成绩比较稳定的学生去参加学校举办的诗词大赛，选择哪名学生更合适？ 2．学校购回一批足球，为检测其质量，从中随机抽取8个足球，记录其质量如下表： 质量/ 410 420 430 440 450 个数 2 1 1 3 1 请估计这批足球的平均质量和方差． 3．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： (1)上表中，___________，___________； (2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 4．某射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并将A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． (1)计算平均数，________环，环，通过统计图可以看出________（填，或）； (2)请你从运动员A，B中选拔一人参加射击比赛，并任选两种统计量说明理由． 5．某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 团队 收益率的平均值 A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 6．某班级5名学生的成绩为60，70，78，90，100．若将其分为两组，如何分组可使组内离差平方和最小？请写出分法并计算最小值（除不尽的结果保留小数点后两位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 {60}和{70，78，90，100} 0 523 523 {60，70}和{78，90，100} 50 242.67 292.67 {60，70，78}和{90，100} 162.67 50 212.67 {60，70，78，90}和{100} 483 0 483 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14数据的初步分析复习讲义 -----数据的离散程度 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握极差、方差、标准差的概念，理解数据离散程度的含义。 2.熟记极差、方差的计算公式，明白各统计量的实际意义。 3.明确：集中趋势看平均水平，离散程度看波动、稳定程度。 1.能熟练计算一组数据的极差、方差、标准差。 2.会利用极差、方差比较两组数据的波动大小，判断稳定性。 3.具备数据分析能力，结合实际问题合理分析数据波动情况。 1.熟练掌握公式计算，杜绝运算错误，拿下基础计算题。 2.牢记规律：方差越小，数据越稳定；方差越大，波动越大。 3.掌握题型考法：数据稳定性比较、成绩 / 产量选拔、变式求值题，规范答题。 题型01.求离差平方和 题型02.求方差 题型03.利用方程求未知数据的值 题型04.根据方程判断稳定性 题型05.运用方差做决策 题型06.用样本平均数估计总体平均数 题型07.求四分位数 题型08.画箱线图 题型09.离差平方和的应用 解答题6题 知识点01:核心本质认知【章节灵魂】 数据统计两大方向： 集中趋势：反映数据整体平均、一般水平（平均数、中位数、众数） 离散程度：反映数据波动大小、分散范围、稳定程度 两组数据平均数相同时，必须用离散程度区分优劣 知识点02:三大离散统计量 超清晰对比表 统计量 核心定义 计算公式 核心特点 适用场景 极差 一组数据中最大值与最小值的差 极差=最大值最小值 计算最简单；只看两端、忽略中间数据；粗略反映波动 快速判断数据变化范围、粗略估算 方差 各数据与平均数差的平方的平均数 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 精准反映整体波动；常用核心考点；易计算出错 精准比较数据稳定性、考试高频 标准差 方差的算术平方根 s=​ 单位与原数据一致，实际意义更强 实际生活数据分析 知识点03:核心规律 必背黄金结论 1.极差、方差、标准差数值越大→ 数据越分散、波动越大、越不稳定 2.极差、方差、标准差数值越小→ 数据越集中、波动越小、越稳定 3.只有平均数相近或相等时，才能用方差比较稳定性 知识点04:方差计算 四步万能解题法 一算：求出这组数据的平均数 x 二差：逐个求每个数据与平均数的差 三平方：将所有差值分别平方 四平均：平方和 ÷ 数据总个数，得到方差 知识点05:数据平移 / 缩放 方差变化规律【拔高亮点】 设一组数据方差为s2 1.数据同时加 / 减同一个数：方差不变 2.数据同时扩大a倍：新方差=a2s2 3.数据同时扩大a倍再加b：只受倍数影响，加减数不改变方差 知识点06:集中趋势 & 离散程度 联动对比【一眼区分】 类别 代表统计量 研究方向 作用 集中趋势 平均数、中位数、众数 整体水平、中间水平、多数水平 看整体好坏 离散程度 极差、方差、标准差 波动大小、稳定情况 看发挥是否稳定 知识点07:高频易错盲区 扣分点避雷 1.求极差直接找大数减小数，无需排序，但排序更不易看错 2.方差计算必须减去平均数再平方，不能直接平方 3.标准差不是方差，是方差开算术平方根，二者不要混淆 4.不能单独用方差评判好坏，要结合平均水平综合分析 5.实际应用：选拔运动员、产品质量、成绩分析，优先选方差小的 题型01.求离差平方和 【典例】已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题考查求一组数据的离差平方和，解题的关键是熟练掌握离差平方和的计算方法． 先求平均数，再求各个数据与平均数的差的平方和即可． 【详解】解：一组数据为2，3，4，5，6， 平均数为， ∴这组数据的离差平方和为， 故选：． 【跟踪专练1】若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】10 【分析】先根据平均数的定义求出x，然后运用离差平方和的公式求解即可作答． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴这组数据的离差平方和为． 【跟踪专练2】数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 【跟踪专练3】把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查离差平方和，为了使组内离差平方和最小，应将数据分成两组，使得每组内部数据尽可能接近，即方差小． 通过计算各选项的组内离差平方和，比较大小即可． 【详解】数据从小到大排序：2， 4， 8， 10， 12，计算各选项组内离差平方和： A、，； ，平均值，； ； B、，平均值； ，平均值； ； C、，平均值，； ，平均值， ； D、 ，平均值； ； ； ∴ 选项B的总组内离差平方和最小，为10， 故选：B． 题型02.求方差 【典例】计算方差的过程中有：，则________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了方差的定义，方差的计算公式为，其中n表示样本数据的个数，据此可得答案． 【详解】解：由方差公式可得这组数据为2，4，3，5，一共4个数， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练1】已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 【答案】C 【详解】解：由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10．无法确定方差、中位数和众数 【跟踪专练2】求一组数据方差的算式为：，则该组数据的平均数为________． 【答案】13 【分析】根据方差的计算公式，得到这组数据，根据平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，平均数为：． 【跟踪专练3】将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方差、平均数和中位数，理解题意是解决本题的关键． 方差不变要求满足线性变换为且或；同时平均数和中位数均需发生变化，即或时b任意，据此判断即可． 【详解】解：由题意得，将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变 ∴该组数据需要满足线性变换，即且或； A：，，方差变化，不符合题意； B：，，方差变化，不符合题意； C：，，，方差不变；且平均数新旧平均数，中位数新旧中位数，均发生变化，符合题意； D：，，方差变化，不符合题意； 故选C． 题型03.利用方程求未知数据的值 【典例】应用方差公式求某一组数据方差，则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的平均数为8 B．这组数据的个数为6 C．这组数据的总和为48 D．这组数据的平均数和个数都无法确定 【答案】C 【分析】根据方差的定义进行计算． 【详解】解：A. 根据题意可知，这组数据的平均数为6，故选项不符合题意； B. 根据题意可知，这组数据的个数为8，故选项不符合题意； C. 根据题意可知，这组数据的总和为，故选项符合题意； D. 根据题意可知，这组数据的平均数和个数都能确定，故选项不符合题意． 故选： C． 【点睛】本题考查了方差的知识，掌握一组数据的方差越大，这组数据的波动范围就越大，这组数据就越不稳定，反之，越小越稳定是关键． 【跟踪专练1】嘉嘉用公式计算一组数据的方差，那么这组数据的平均数是_____． 【答案】2 【分析】方差的计算公式中，各数据与平均数的差的平方的平均值即为方差，在给定的公式中，各数据均减去2后进行平方运算，表明平均数为2. 【详解】由方差定义公式 可知，公式中减去的值 即为数据的平均数. 本题中公式为 ，因此平均数 . 故答案为：2． 【跟踪专练2】若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等，则______ 【答案】0或5 【分析】本题考查了方差的计算公式，解一元二次方程，熟练掌握公式是解题的关键． 根据方差的计算公式建立方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：3、4、5、6、7的平均数为：， 则方差为：， 1、2、3、4、x的平均数为：， ∴由题意得，， 化简得，， 解得或， 故答案为：0或5． 【跟踪专练3】由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 题型04.根据方程判断稳定性 【典例】在初二数学期末综评中，甲乙丙丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别是10.39分，7.25分，8.72分，0.48分，则这四人中成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】比较四个方差的大小即可得到结果． 【详解】解：四人平均成绩相同，方差越小，成绩越稳定． 又∵，，，， ∴，丁的方差最小， ∴四人中成绩最稳定的是丁． 【跟踪专练1】甲、乙每次的射击比赛如图所示，他们的平均成绩都是8环，根据离散程度，说明________发挥更稳定． 【答案】甲 【详解】解：观察成绩分布图可知：甲的成绩大多集中在环，距离平均成绩8环的波动更小，离散程度更小，因此甲发挥更稳定． 【跟踪专练2】小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为， 由题意可知，， ； 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】A 【分析】根据方差算式，数据为6，8，8，6，7，计算平均数、众数、n值，并验证加入数据后的方差变化． 本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 算式中有五个平方项，对应数据点6，8，8，6，7， A、∵ 数据中6和8均出现2次，7出现1次， ∴ 众数为6和8，并非仅6，故选项A错误． B、∵ 数据总和为，， ∴ 平均数，选项B正确． C、，选项C正确． D、∵ 原始方差， 加入两个7后，数据为6，8，8，6，7，7，7，平均数仍为7， 新方差，， ∴ 方差变小，选项D正确． 故选：A． 题型05.运用方差做决策 【典例】某校对九年级九（1）至九（4）四个班级进行了排球测试，四个班的平均成绩均为分（满分为10分），经计算四个班的方差分别为，，，，则这四个班级中成绩最稳定的是（    ） A．九（1）班 B．九（2）班 C．九（3）班 D．九（4）班 【答案】C 【分析】本题考查了利用方差做决策．先比较四个班的方差，得九（3）班方差最小，结合方差越小，成绩越稳定，即可作答． 【详解】解：∵四个班的方差分别为，，，，且，方差越小成绩越稳定， ∴九（3）班成绩最稳定， 故选：C． 【跟踪专练1】为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 【答案】乙 【分析】本题考查平均数与方差的意义，平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，长势越整齐，先比较平均数得到平均高度更高的组，再比较方差确定长势更整齐的组，即可得到结果． 【详解】解：，，且， 乙和丁的平均苗高大于甲和丙，即乙、丁的长势更高； 又，，且， 乙的方差小于丁的方差，乙的长势更整齐， 麦苗又高又整齐的是乙． 【跟踪专练2】某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 【答案】B 【分析】通过计算对应统计量结合统计意义判断选项正误即可． 【详解】A选项：众数仅代表评分中出现次数最多的数值，不能全面反映普遍满意度的高低，A错误； B选项：乙店共10个数据，从小到大排列后，第5和第6个数据均为8， ∵中位数为排序后中间两个数的平均数， ∴乙店中位数为；根据中位数的定义，10个数据中至少有一半数据不小于中位数，因此乙店至少有一半学生的评分不低于8分，B正确； C选项：分别计算三家店的平均数：甲店总分，平均数为； 乙店总分，平均数为； 丙店总分，平均数为； 可知甲店平均数最高，C错误； D选项：方差越小，数据的差异越小，甲店方差比乙店小，说明甲店评分差异比乙店小，D错误． 题型06.用样本平均数估计总体平均数 【典例】从某地某一个月中随机抽取5天的中午，记录这5天12时的气温（单位：），结果如下：22，32，25，13，18，可估计该地这一个月中午12时的平均气温为___________． 【答案】 【分析】求出5天中午12时的平均气温，即可估计该地这一个月中午12时的平均气温． 【详解】解：∵， ∴可估计该地这一个月中午12时的平均气温为， 故答案： 【点睛】此题考查了用样本估计总体，准确计算5天中午12时的平均气温是解题的关键． 【跟踪专练1】李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（   ） A．18，2000 B．19，1900 C．，1900 D．19，1850 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是中位数、用样本估计总体以及算术平均数，解题的关键是熟练掌握中位数、用样本估计总体以及算术平均数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；根据已知数据利用平均数的计算公式求出6棵树上的樱桃的平均产量，然后利用样本估计总体的思想即可求出樱桃的总产量． 【详解】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：17，18，19，19，20，21．位于最中间的两个数是19和19， 所以这组数据的中位数是； 从100棵樱桃树中随机采摘6棵的平均产量为（千克）， 所以估计樱桃的总产量（千克）， 故选：B． 【跟踪专练2】某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 【答案】80775 【分析】此题考查的是加权平均数的求法，用样本平均数估计总体，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 先求出第二组的学生数，再根据加权平均数的计算公式代入计算，然后求出总数即可． 【详解】解：∵第二组的学生数是， ∴该名学生一分钟打字的平均成绩是 （个）， 则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约（个）， 故答案为：． 题型07.求四分位数 【典例】某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【答案】A 【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可． 【详解】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102． 【点睛】解题的关键是掌握箱线图相关的定义． 【跟踪专练1】在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 【答案】68 【详解】解：由箱线图可知，下四分位数是68分． 【跟踪专练2】祖冲之把圆周率精确到小数点后位，领先世界约年．数学活动课上，小红对圆周率的小数点后位数字进行了统计：则圆周率的小数点后位数字的第一四分位数、第三四分位数为（　　） 数字 频数 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据四分位数的定义计算对应位置，再通过累计频数确定位置对应的数字即可求解． 【详解】解：将个数字按从小到大排列，总共有个数据， 计算四分位数位置：第一四分位数位置为，取第、个数的平均数，第三四分位数位置为，取第、个数的平均数， 计算累计频数： ∵数字累计频数为，数字累计频数为，数字累计频数为， ∴第个数都是，可得第一四分位数为， 继续计算累计频数到数字，可得累计频数为，数字累计频数为， ∴第个数都是，可得第三四分位数为， 因此第一四分位数、第三四分位数为，． 【跟踪专练3】按从小到大排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70．若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则________． 【答案】48 【分析】本题主要考查四分位数的求法，掌握四分位数的求法是解题的关键． 根据四分位数定义，第一四分位数和第三四分位数分别对应数据序列中的第个和第个数据，其和为，列方程求解． 【详解】数据按从小到大排列，共个数据． 第一四分位数的位置为，故取第个数据，即． 第三四分位数的位置为，故取第个数据，即． 由题意，，解得． 故答案为：． 题型08.画箱线图 【典例】如图是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，根据图中信息，能确定这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【详解】解：根据箱线图可知：这组数据的中位数为160． 【跟踪专练1】在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 【跟踪专练2】学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【答案】②④ 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，上四分位数对应箱的右边界，B地的箱右边界为，则上四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，B地的中位数（箱内线）低于A地的中位数，故②正确； 结论③：A地的最高气温高于B地的最高气温，并非“每天都高于”，故③错误； 结论④：A地的箱线图中，数据的中位数（箱体中间线）是，且中间线左右两侧的箱体大小相同，因此有超过一半的天数最高气温是不低于，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是②④． 故答案为：②④． 【跟踪专练3】小伟参加如弈围棋学生社团2025年度校园挑战赛，共进行了12场比赛．积分统计小组将小伟这12场比赛的得分做了如下统计图．下列说法正确的是（    ） A．比赛最高得分是50分 B．比赛得分的中位数是50分 C．比赛得分数据集中在44.25分～50分 D．比赛得分的第三四分位数是44.25分 【答案】C 【分析】本题考查了中位数，理解四分位数的定义是解题的关键． 根据箱线图信息解答即可． 【详解】解：由箱线图可知， A、比赛最高得分是分，故选项A说法错误，不符合题意； B、比赛得分的中位数是分，故选项B说法错误，不符合题意； C、比赛得分数据集中在分之间，说法正确，故选项C符合题意； D、比赛得分的下四分位数是分，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 题型09.离差平方和的应用 【典例】八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查方差的意义，方差越小数据越稳定，由于四位同学测试次数相同，方差与离差平方和成正比，只需比较离差平方和的大小即可判断稳定性． 【详解】解：∵四位同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中n为测试次数， ∴n相同，方差大小与离差平方和的大小一致. 又∵ ， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定． 【跟踪专练1】学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），根据组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），最优分组应使组内离差平方和最小，直接比较表中各序号对应值即可． 【详解】解：组内离差平方和越小表示同组株高越接近， 比较表中值，序号的组内离差平方和最小为，为最优分组， 故选：B． 【跟踪专练2】下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意； B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意； C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意； D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 【解答题】 1．某班为了选拔一名学生参加学校举办的诗词大赛，组织了五次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在这五次测试中的成绩（单位：分）如下： 【数据收集】 甲：； 乙：． 【数据分析】 学生 众数/分 中位数/分 平均数/分 甲 乙 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_________，_________； (2)求乙同学这五次测试成绩的平均数； (3)计算甲、乙两名学生这五次测试成绩的离差平方和，若班主任张老师要选一名成绩比较稳定的学生去参加学校举办的诗词大赛，选择哪名学生更合适？ 【答案】(1)， (2)乙同学这五次测试成绩的平均数是分 (3)甲的离差平方和是，乙的离差平方和是；选择学生甲去参加学校举办的诗词大赛更合适 【分析】本题考查了众数、中位数、离差平方和、平均数，关键是熟练应用特征数的算法进行数据的整理和分析； （1）根据众数及中位数的定义计算即可； （2）根据平均数的求法计算即可； （3）根据离差平方和的求法计算出两名学生的成绩，利用离差平方和越小成绩越稳定来选择参赛学生即可． 【详解】（1）解：∵甲成绩中出现次数最多， ∴， ∵乙成绩按从小到大排序中间位置的数是， ∴； 故答案为：． （2）解：∵， 乙同学这五次测试成绩的平均数是分． （3）解：甲的离差平方和，      乙的离差平方和，            ∵， 选择学生甲去参加学校举办的诗词大赛更合适． 2．学校购回一批足球，为检测其质量，从中随机抽取8个足球，记录其质量如下表： 质量/ 410 420 430 440 450 个数 2 1 1 3 1 请估计这批足球的平均质量和方差． 【答案】这批足球的平均质量为，方差为 【分析】先计算平均数，再根据方差公式为计算即可． 【详解】解：抽取的足球的平均质量：． 抽取的足球的方差：． 由此可估计出这批足球的平均质量为，方差为． 答：估计这批足球的平均质量为，方差为． 3．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： (1)上表中，___________，___________； (2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)甲组 【分析】此题考查了方差、中位数等知识，熟练掌握方差计算和利用方差做决策是关键． （1）根据方差计算过程分别进行求解即可； （2）计算乙组的方差，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ∴， 设阴影部分为， ∴ 解得， ∴甲组数据为， ∴中位数； 故答案为： （2）甲组舞台呈现效果更好，理由如下： ∴， ∴甲组舞蹈成员的身高比较整齐，则甲组舞台呈现效果更好． 4．某射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并将A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． (1)计算平均数，________环，环，通过统计图可以看出________（填，或）； (2)请你从运动员A，B中选拔一人参加射击比赛，并任选两种统计量说明理由． 【答案】(1)；＞ (2)选择运动员B，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的公式计算运动员A成绩的平均数，由折线图中数据的波动情况即可比较A，B两人成绩的方差大小； （2）比较两运动员的平均成绩和射击成绩的方差，即可解答． 【详解】（1）解：运动员A的8次成绩为9，9，10，10，9，7，6，8， ∴（环）； 通过统计图可以看出A的成绩波动比B大，所以，， （2）解：选择运动员B，理由如下： 从平均数上看，运动员B成绩高于运动员A； 从方差上看，运动员B低于运动员A，说明运动员B整体好且稳定． 5．某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【答案】(1)3.185，3.92，4.46 (2)1．收益率最低为2.10%，最高为4.89%；2．收益率的中位数是3.925% 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解； （2）根据箱线图即可得出结论． 【详解】（1）解：下四分位数； 中位数， ∴； 上四分位数， ∴； 填表如下： 团队 收益率的平均值 A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 （2）解：由箱线图可得，1．收益率最低为，最高为；2．收益率的中位数是． 6．某班级5名学生的成绩为60，70，78，90，100．若将其分为两组，如何分组可使组内离差平方和最小？请写出分法并计算最小值（除不尽的结果保留小数点后两位）． 【答案】分法为和，最小值为212.67． 【分析】先将数据按从小到大排序，最优分组是按顺序将数据分成连续的两段。因此，只需列出所有连续划分的情况，分别计算组内离差平方和，比较后即可找到最小值及其对应的分组。 【详解】解：将数据分成两组，为使组内离差平方和最小，只需考虑将数据按从小到大排序后，划分成连续两组的情况，共有4种，分别计算组内离差平方和如表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 {60}和{70，78，90，100} 0 523 523 {60，70}和{78，90，100} 50 242.67 292.67 {60，70，78}和{90，100} 162.67 50 212.67 {60，70，78，90}和{100} 483 0 483 由表可知，当按第种分组时，组内离差平方和最小，最小值为．分法为和． 【点睛】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $