精品解析：湖南邵东市第三中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

邵东三中2026年上学期高二期中考试数学试卷 一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. （ ） A. 126 B. 84 C. 70 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数的性质及计算公式计算得解. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】由， 则. 故选：A. 3. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】二项展开式的通项公式为， 整理得：， 令，解得：， 展开式中常数项为：. 4. 从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（    ） A. 40种 B. 48种 C. 30种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解. 【详解】从5名学生中选择4人，共有种， 将4人分成两组，共有种， 再将2组进行全排列，对应A，B两种文件，共有种， 则不同的人员安排共有种． 故选：C 5. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 6. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 7. 现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】根据回归直线过样本中心点，代入得： ，所以原个样本的值总和为：， 去掉后，剩余个样本的值总和为：，值总和为： 因此新的样本中心点为：， 因为新的经验回归方程为，回归直线必过新的样本中心点，代入得： ，解得：. 8. 通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A. 0.4556 B. 0.3689 C. 0.9872 D. 0.5625 【答案】D 【解析】 【分析】以表示事件“收到的字符是”，分别表示传输的字符为，根据已知信息求得，利用贝叶斯公式可求得. 【详解】设表示“收到的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”， 由题意可得，，，， ， ， 根据贝叶斯公式可得， . 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 决定系数越小，模型的拟合效果越差 B. 数据1，2，4，5，6，8，9的60百分位数为5 C. 若，则 D. 有一组不全相等的样本数据，，，，它的平均数和中位数都是5，若去掉其中的一个数据5，则方差变大 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由决定系数实际意义；B百分位数定义求60百分位数；C二项分布方差公式求方差，再由方差性质求新方差；D应用方差公式写出原方差、新方差，结合题意判断大小. 【详解】A：决定系数越小，模型的拟合效果越差，越大拟合效果越好，对； B：，故60百分位数为6，错； C：由，则，故，对； D：由，原方差，去掉一个数据5，均值不变，新方差， 数据是数据去掉一个数据5所得新数据，显然，对. 故选：ACD 10. 已知事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，利用概率的乘法公式，即可求解； 对于B、C选项，利用条件概率的性质，即可求解； 对于D选项，利用全概率公式，即可求解. 【详解】对于A选项，，所以A选项正确； 对于B选项，，所以B选项错误； 对于C选项，，所以C选项正确； 对于D选项，，则，所以D选项正确． 故选：ACD． 11. 现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（ ） A. 若6个相同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 B. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，则共有种放法 C. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 D. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用相同元素分配问题 “隔板法”，即可求解；对于B，利用分步计数原理，即可求解；对于C和D，利用组合，先分组再分配，即可求解. 【详解】对于A，6个相同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况，然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故A正确； 对于B，若6个不同的小球放入编号为的盒子，则共有种，故B错误； 对于C，若6个不同的小球放入编号为的盒子，恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况， 然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为4、1、1或3、2、1或2、2、2，然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以不同的放法种数为，故C正确； 对于D，若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有两个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况， 然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为5、1或4、2或3、3，然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中， 的放法共有，故D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X的分布列如下表，则____________． X 0 2 4 P 【答案】## 【解析】 【分析】先计算出期望，再计算出方差. 【详解】因为， 所以 故答案为： 13. 已知，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式即可求解 【详解】展开式的通项公式为, 由，故的系数为 而，得，解得. 故答案为： 14. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意将锯齿形数列分组找出规律可知第37项是第19组的第一个数，计算可得结果. 【详解】根据题意，将锯齿形数列两个一组进行分组，可知其成如下规律： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 因此第37项是第19组的第一个数，易知第19组的两个数为； 可得第37项是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的的文字说明､证明过程及步骤. 15. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率. （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）质点回到原点可知质点向右移动3次，向左移动3次，根据二项分布的概率公式，即可求解； （2）质点位于4的位置可知质点向右移动5次，向左移动1次，根据二项分布的概率公式，即可求解. 【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则. （1）质点回到原点，则， ， 所以质点回到原点的概率是； （2）当质点位于4的位置时，则， ， 所以质点位于4的位置的概率是. 16. 已知且满足各项的二项式系数之和为256． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）448 （2）255 【解析】 【分析】（1）先由各项的二项式系数之和为256．可得，求得，再利用通项求解即可； （2）利用赋值法令，得，再令，得，再减去即可． 【小问1详解】 因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以， 二项式展开式的通项为， 所以； 【小问2详解】 令，得， 令，得， 所以． 17. 近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，为行业的发展提供了新的可能性．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某市需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，采用简单随机抽样的方法抽取1000名学生，利用整理得到下表数据： 单位：人 性别 锻炼 不经常 经常 女生 50 350 男生 200 400 （1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异？ （2）从这600名男生中按锻炼的经常性等比例分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人（不放回）调查其锻炼的情况，用X表示这2人中经常锻炼的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 【答案】（1）有差异 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）写出零假设并将表格整理为列联表，相应值代入公式求出，判断与临界值的大小从而得出结论. （2）确定抽样比，求出需抽取的不经常锻炼与经常锻炼男生人数，根据超几何分布的概率公式求出分布列及期望. 【小问1详解】 零假设为：女生和男生在体育锻炼的经常性方面没有差异． 将所给数据进行整理，得到列联表如下： 锻炼 合计 性别 不经常 经常 女生 50 350 400 男生 200 400 600 合计 250 750 1000 根据列联表中的数据，经计算得到 ． 根据小概率的独立性检验，推断不成立．即认为女生和男生在体育锻炼的经常性方面有差异． 【小问2详解】 抽样比为：，则不经常锻炼的男生抽取2人，经常锻炼的男生抽取4人， 由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2． ， 的分布列为 X 0 1 2 P ． 18. 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. （1）设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； （2）由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 1 2 3 4 5 6 【解析】 【小问1详解】 已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为， 所以甲连胜两局的概率为，乙两局中胜一局的概率为， 所以， 前两局共得3分分为两种情况： 甲得2分，乙得1分，概率为； 甲得1分，乙得2分，概率为， 所以， 所以 【小问2详解】 每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为， 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6， ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 . 19. 一项物理实验是向区域中发射某种粒子，该粒子随机落于中的任何位置，且任意粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于中特定区域内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于内的概率均为（是自然对数的底）. （1）若一次向中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率； （2）若向中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于内，就停止发射.表示粒子首次落于内的发射次数，表示第次发射时粒子首次落于内的概率，若，求的最小值；（参考数据：） （3）若一次向中发射个粒子，表示落于内的粒子个数，表示有个粒子落于内的概率，求证：. 【答案】（1） （2）7 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的概率公式计算即可； （2）由题意可知，，利用等比数列的求和公式计算，进而可得出结果； （3），将转化为按单点概率分组的线性形式并化简，最后减去得到目标结论. 【小问1详解】 设事件为：“向区域中发射3个粒子，恰有2个落在中”. 则事件的概率为 【小问2详解】 由题意可知，. 则， ， 若，则，所以，解得：， 所以的最小值为7. 【小问3详解】 由题意可知，可得 ， 因为，且. 所以 .， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵东三中2026年上学期高二期中考试数学试卷 一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. （ ） A. 126 B. 84 C. 70 D. 56 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 4. 从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（    ） A. 40种 B. 48种 C. 30种 D. 72种 5. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A. 0.4556 B. 0.3689 C. 0.9872 D. 0.5625 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 决定系数越小，模型的拟合效果越差 B. 数据1，2，4，5，6，8，9的60百分位数为5 C. 若，则 D. 有一组不全相等的样本数据，，，，它的平均数和中位数都是5，若去掉其中的一个数据5，则方差变大 10. 已知事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（ ） A. 若6个相同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 B. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，则共有种放法 C. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 D. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X的分布列如下表，则____________． X 0 2 4 P 13. 已知，若，则__________. 14. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是________． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的的文字说明､证明过程及步骤. 15. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率. （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置. 16. 已知且满足各项的二项式系数之和为256． （1）求的值； （2）求的值． 17. 近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，为行业的发展提供了新的可能性．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某市需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，采用简单随机抽样的方法抽取1000名学生，利用整理得到下表数据： 单位：人 性别 锻炼 不经常 经常 女生 50 350 男生 200 400 （1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异？ （2）从这600名男生中按锻炼的经常性等比例分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人（不放回）调查其锻炼的情况，用X表示这2人中经常锻炼的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 18. 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. （1）设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； （2）由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 19. 一项物理实验是向区域中发射某种粒子，该粒子随机落于中的任何位置，且任意粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于中特定区域内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于内的概率均为（是自然对数的底）. （1）若一次向中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率； （2）若向中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于内，就停止发射.表示粒子首次落于内的发射次数，表示第次发射时粒子首次落于内的概率，若，求的最小值；（参考数据：） （3）若一次向中发射个粒子，表示落于内的粒子个数，表示有个粒子落于内的概率，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $