专题训练九-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形与三角变换，以正余弦定理为核心，系统整合面积计算、三角形判断、实际应用等题型，提炼“定理应用-性质辨析-综合建模”三阶解题方法，培养推理能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形基础|单选1-3|余弦定理求面积、正弦定理边角互化|从定理推导到面积/边长计算，形成“已知量→定理选择→结果求解”链条| |三角形性质判断|多选7-8|解的个数判定（高与边关系）、锐角/钝角三角形性质|结合正余弦定理，构建“边/角关系→三角形类型”推理路径| |三角与向量综合|填空9-10、单选6|两角和余弦公式、向量投影公式|三角函数恒等变换与向量运算融合，体现知识横向联系| |综合应用|解答11-12|实际测量（正余弦定理联用）、三角最值（辅助角公式）|从具体问题抽象数学模型，培养几何直观与运算能力|

高一数学专题训练九 一、单选题 1．在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．在中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．已知在△ABC中，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．在非直角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 6．在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 7．在中，内角所对的边分别为，，，且恰有一个解，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 8．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则有两解 B．若是锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若是钝角三角形且，则实数k的取值范围为 三、填空题 9．已知均是第一象限角，，则______． 10．已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 四、解答题 11．如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 12．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， (1)请用，来表示平行四边形的面积； (2)若，求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； (3)若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学专题训练九》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B A C CD ABD 1．A 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 2．C 【分析】根据余弦定理求出的值，进而判断三角形的类型. 【详解】由余弦定理得， 又在中，，则为钝角， 所以为钝角三角形. 3．A 【详解】由以及正弦定理得， 故设，则. 4．B 【分析】利用正弦定理和余弦定理结合三角变换公式可求三角函数式的值. 【详解】由正弦定理可得，由余弦定理可得， 故 . 5．A 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 6．C 【分析】取中点，可得，利用余弦定理求出后，由模长与数量积关系计算可得，再利用点坐标，可得当、、三点共线时，取最小，即可得最小值. 【详解】取中点，则，则， 由，则， 则， 由，则，则， 当且仅当、、三点共线，且在、之间时，等号成立， 故的最小值为. 7．CD 【详解】在中，过点作于点，则为中边上的高，记为. . 根据三角形解的个数判断法则，当时或者时，恰有一个解，即或，故选项C和选项D符合题意. 8．ABD 【分析】利用正弦定理求，根据正弦函数性质，结合大边对大角判断判断A选项；利用正弦函数的单调性与诱导公式判断的大小判断B选项；利用正弦函数的单调性与对称性确定的关系判断C选项；根据三角形性质可得，结合大边对大角可得为钝角，根据余弦定理列方程求的范围判断D选项. 【详解】对于A选项，， 根据正弦定理， ，，， 所以有两解，所以有两解，故A正确； 对于B选项，若为锐角三角形，则，所以，， 因为正弦函数在上为增函数，则，B正确； 对于C选项，因为、，则、， 因为，所以或或， 若，则；若，则； 若，则，这与的内角和定理矛盾. 综上所述，为等腰或直角三角形，C错误； 对于D选项，因为为的三边，所以，故， 当时，最大边为，钝角三角形中最大角为钝角， 由余弦定理， 所以， 化简得，解得，结合可得，D正确. 9． 【分析】根据条件分别求，再根据同角三角函数关系式求和，最后代入两角和余弦公式求解即可. 【详解】由条件可知，，得，又，所以， 因为是第一象限角， 所以，解得，， 又所以，解得，， 所以， 所以. 10． 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 11．(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，由得，结合正弦定理即可求解； （2）设，则，设，则，由正弦定理化简可得，结合二倍角公式解得，求出，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 即，即， 由得，， 即，进而由正弦定理得； （2）因为，所以， 设，则由题意，设，则， 则由正弦定理得，消去x得， 所以，又，所以，所以，所以， 由余弦定理得，所以. 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可； （3）表示，在中，表示出，利用三角恒等变换和三角函数的性质计算即可求解. 【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，在中，， 在中，， 所以， 所以平行四边形的面积为； （2）由（1）有： 当时，， 所以 ， 又，所以， 所以当时，即，取最大值为； （3）由（1）有， 在中，， 所以， 所以， 又，所以，所以，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $