专题训练（十）-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦三角恒等变换与解三角形，以“公式应用-综合推理”为主线，系统整合方法技巧，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角恒等变换|6题|两角和差公式、二倍角公式、弦切互化|从公式推导到化简求值，形成“公式记忆-变式应用”链条| |解三角形|6题|正余弦定理、三角形解的个数判断、基本不等式求最值|以定理为工具，结合三角恒等变换解决边长、角度及最值问题，构建“工具-应用-拓展”逻辑|

高一数学专题训练十 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B．3 C． D． 2．已知，则（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 3．（   ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 6．在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ） A．6 B． C． D． 二、多选题 7．根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．下列等式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知，，则_____. 10．已知，其中且，则的取值范围为________． 四、解答题 11．已知的三个内角为A，B，C，三个内角所对的三个边分别为a，b，c，，，，内存在一点D使得，，    (1)求； (2)求. 12．△ABC中，已知内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足 (1)当 时，求； (2)若a=2，当取最大值时，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学专题训练十》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C A B B BD CD 1．D 【分析】应用两角和差余弦公式计算，最后应用弦切互化公式求解. 【详解】因为， 所以，， 所以 所以. 2．D 【分析】将分式的分子分母同时除以，将其转化为关于的方程，求解的值，再利用两角和的正切公式，将的值代入公式计算。 【详解】若，则，与已知矛盾， 将等式的分子分母同除以（），得：， 所以， 解得，又， 所以. 3．C 【详解】. 4．A 【分析】使用二倍角公式展开，化为关于的方程进行求解. 【详解】因为， 解得或，又，， 所以，. 5．B 【详解】因为，所以. 设，， 则. 代入，得. 又，所以，解得. 因此. 6．B 【分析】根据余弦定理，将角化边，可得，再由余弦定理结合不等式，可求得角的最大值为，再根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长. 【详解】由题意，， 根据余弦定理，可得，化简得，即， 所以， 根据基本不等式，可得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以， 所以角的最大值为，且， 又由余弦定理得，， 所以，又，所以，所以， 所以的周长为，所以B正确. 7．BD 【分析】利用正弦定理，结合正弦值求角有两解时，则需要判断角与边的对应关系，即大边对大角是否满足，若两角都满足就两解，若只有一个角满足就一解. 【详解】对于A，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然不满足内角和为，故A错误； 对于B，由正弦定理得：，解得， 根据，且，仅存在一个锐角满足，故B正确； 对于C，由正弦定理得：，解得， 根据，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，故C错误； 对于D，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然满足唯一解，故D正确； 8．CD 【分析】根据两角和的余弦公式可判断A，根据二倍角的余弦公式可判断B，根据两角和的正切公式可判断C，根据两角差的正切公式可判断D. 【详解】A，根据两角和的余弦公式：， 代入，可得， 再代入，有，错误； B，根据二倍角的余弦公式：， 代入，可得， 再代入，有，错误； C，根据两角和的正切公式：， 代入，可得， 再代入，有，即， 所以，正确； D，根据两角差的正切公式：， 代入，可得， 再代入，有，正确. 9． 【分析】根据两角和的正弦公式及角的变换求解. 【详解】因为，所以， 所以. 10． 【分析】先求出的值，消元后根据二次函数的性质可求取值范围. 【详解】因为，故或， 故（舍）或， 而，故， 又 ， 因为，故， 故的取值范围为. 11．(1) (2) 【详解】（1）由，得，为直角三角形且， 由勾股定理，故. 因为，所以，即，解得. 在中，由余弦定理： 代入，，，得 即，. 解得. （2）由，得，. 在中，，，. 由余弦定理：. 代入得，即. 在中，，，. 由余弦定理：. 代入得. 由同角三角函数关系，. 故. 12．(1) (2)4 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可； （2）利用，然后利用两角差的正切公式化简结合均值不等式，从而求得的值. 【详解】（1）由,得,由正弦定理得，则， 即,得，由可得， 又，所以. （2）由（1）可得，则，所以， 当且仅当时，取得最大值， 由及，得，此时， 又，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $