专题13 解三角形中面积、周长、边、角的最值（范围）问题（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题13 解三角形中面积、周长、边、角的最值（范围）问题 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、边长的最值（范围）问题 类型二、角的最值（范围）问题 类型三、与边有关的表达式最值（范围）问题 类型四、与角有关的表达式最值（范围）问题 类型五、解三角形中周长最值（范围）问题 类型六、解三角形中面积最值（范围）问题 类型七、解三角形中边、角与其他章节的融合 类型八、解三角形中周长、面积与其他章节的融合 压轴专练 类型一、边长的最值（范围）问题 边角互化： 正弦定理： （1），，； （2），，； 余弦定理： ； ； . 【技巧方法】 边的最值（范围）问题常见处理方法： (1)利用正弦定理边角互化，将问题转化为三角函数，然后利用三角函数的性质可求边的最值（范围）， (2)利用余弦定理将角化边，再结合基本不等式可求边的最值（范围）.　 例1．（1）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ） A． B． C． D． （2）在中，，，D，E两点分别在边AB，AC上，若，则AD的最大值为 . 变式1-1．在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式1-2．已知中，，，，则边的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2＋ D. 变式1-3．（多选）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则b的取值范围是 D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 变式1-4．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 变式1-5．在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，若，则的最大值为__________. 变式1-6．在直角梯形ABCD中，，，，边BC的长度为定值a，其余三边的长度可变． (1)当为等边三角形时，，求a的值； (2)设，求AD的最大值． 类型二、角的最值（范围）问题 【技巧方法】 角的最值（范围）问题常见处理方法：　 (1)根据给定条件，利用正弦定理边角互化，再结合余弦定理，利用均值不等式求解. (2)利用正余弦定理转化为三角函数，利用单调性解决问题。 例2．（1）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（ ） A． B． C． D． (2)设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式2-1．如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2-2．在中，内角所对的边分别为，且，若是的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式2-3．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为____________ 变式2-4．在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 变式2-5．在中，设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，且. (1)若，且，求实数的值； (2)求的最小值. 类型三、与边有关的表达式最值（范围）问题 【技巧方法】 求与边有关的表达式最值（范围）问题一般思路： 利用正余弦定理化边为角与和角公式化简计算，整理化成正（余）弦型函数，借助于三角函数图像与性质即可求出其范围.　　 例3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式3-1．在中，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式3-2．在△ABC中，E,F分别是AC,AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式3-3．在中，内角，，的对边分别为，，．已知， 则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式3-4．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式3-5．如图，在五边形ABCDE中，为边长为4的等边三角形，，且．若锐角的面积为，则的最大值为___________    变式3-6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围． 类型四、与角有关的表达式最值（范围）问题 正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 【技巧方法】 求与角有关的表达式最值（范围）问题一般思路： 利用正余弦定理结合三角恒等变换化简整理得到函数、三角函数或者基本不等式模型分析运算即可. 例4．记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式4-1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 变式4-2．锐角的内角所对边分别是且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式4-3．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式4-4．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为____________ 类型五、解三角形中周长最值（范围）问题 求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 【技巧方法】 求周长的模型： 注：常常会利用基本不等式或者三角函数性质求周长最值 例5．在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 变式5-1．已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为（  ） A．21 B． C．14 D． 变式5-2．（多选）的内角的对边分别为，且，，则（  ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 变式5-3．为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为 . 变式5-4．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 类型六、解三角形中面积最值（范围）问题 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，= 【技巧方法】 1.求三角形面积的方法： (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.求三角形中面积最值（范围）问题的一般思路： 利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最值或者借助基本不等式、函数性质求解。 例6．在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且，当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 变式6-1．在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（  ） A． B． C．12 D．15. 变式6-2．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（  ） A． B． C．6 D． 变式6-3．（多选）如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（  ） A． B． C．面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 变式6-3．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为___________ 变式6-4．为了营造“全民健身”的休闲氛围，银川市政府计划将某三角形健身场所扩建为凸四边形，原来的健身区域近似为等腰直角三角形，施工图纸如下图所示（长度已按一定比例尺进行缩小），你能否运用所学知识解决下面两个问题. （1）若与的长度和为12，当时，求扩建的区域的面积最大值； （2）若最终敲定方案为，求扩建后四边形面积的最大值. 类型七、解三角形中边、角与其他章节的融合 【技巧方法】 利用正余弦定理边角互化结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求边、角最值或者借助基本不等式、函数性质求解。 例7．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式7-1．在中，，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式7-2．在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ． 变式7-3．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)设的三个角、、所对的边分别为，若，且，求的取值范围． 变式7-4．在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 类型八、解三角形中周长、面积与其他章节的融合 【技巧方法】 利用正余弦定理边角互化结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可三角形周长、面积最值或者借助平面向量、基本不等式、函数性质进行求解。 例8．已知为的外心，，，，则的面积为（  ） A．5 B． C．6 D． 变式8-1．已知在中，，.O为所在平面内一点，且满足，且，则的面积为（  ） A．6 B． C． D． 变式8-2．（多选）已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列说法正确的是（  ） A．若，则有两解 B．周长的最大值为12 C．的取值范围为 D．的最大值为 变式8-3．在中，，，，是的垂心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为___________- 变式8-4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 变式8-5．在中，，边上两点，，，． （1）若，，，用，，的三角函数值表示的值； （2）若，，求的值； （3）若，． ①求的值； ②求面积的最大值． 1.已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是为（ ） A． B． C． D． 2. 在中，设，则下列说法错误的是（ ） A. B. 边上高是 C. 外接圆的周长是 D. 内切圆的面积是 3.在中，，的面积为3，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.在中，内角所对的边分别为，且，若是的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5.在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.（多选）设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若满足条件三角形有2个，则的取值范围为 B. 面积的最大值为3 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 7.（多选）已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A．的取值范围为 B．外接圆半径的范围为 C．的面积最小值为 D．的周长范围为 8.（多选）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 9.在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 10.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为________； 11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 . 12.在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 13.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，______． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 14.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，墙的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记. (1)若，求三角形的周长（结果精确到0.01）； (2)为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室面积最大？并求出最大面积. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 解三角形中面积、周长、边、角的最值（范围）问题 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、边长的最值（范围）问题 类型二、角的最值（范围）问题 类型三、与边有关的表达式最值（范围）问题 类型四、与角有关的表达式最值（范围）问题 类型五、解三角形中周长最值（范围）问题 类型六、解三角形中面积最值（范围）问题 类型七、解三角形中边、角与其他章节的融合 类型八、解三角形中周长、面积与其他章节的融合 压轴专练 类型一、边长的最值（范围）问题 边角互化： 正弦定理： （1），，； （2），，； 余弦定理： ； ； . 【技巧方法】 边的最值（范围）问题常见处理方法： (1)利用正弦定理边角互化，将问题转化为三角函数，然后利用三角函数的性质可求边的最值（范围）， (2)利用余弦定理将角化边，再结合基本不等式可求边的最值（范围）.　 例1．（1）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根据角A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解. 【解析】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以，所以或（舍去），所以， 由正弦定理得,， 而，，所以， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：B （2）在中，，，D，E两点分别在边AB，AC上，若，则AD的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，可得，进而结合正弦定理可得，再结合正弦函数及不等式的性质求解即可. 【解析】由题意，要求AD的最大值，不妨设，，则， 由，则， 在中，由正弦定理得，， 即，即， 由，则，即， 则，则， 则AD的最大值为. 故答案为：. 变式1-1．在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得，依题意得或，进而可得结果. 【解析】因为，，由正弦定理得， 要使三角形有唯一解，则或，所以或， 即或，解得或. 故选：D 变式1-2．已知中，，，，则边的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2＋ D. 【答案】B 【分析】先利用，求得a，c关系，再利用构造出a，c的不等关系，进而求得边的最小值. 【解析】中，，， 则，则， 则，整理得， 又中，，则， 整理得， 又， 代入整理得，解之得. 故的最小值为3. 故选：B 变式1-3．（多选）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则b的取值范围是 D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用向量数量积的定义和三角形的面积公式化简可求出角，对于B，利用正弦定理求解判断，对于C，由正弦定理得，再由为锐角三角形，求出角，然后利用正弦函数的性质可求出b的取值范围，对于D，由题意得，两边平方化简，结合余弦定理和基本不等式可求得结果. 【解析】对于A，因为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以A正确， 对于B，由正弦定理得，即，得， 因为，所以或， 所以有两解，所以B错误， 对于C，由正弦定理得，即，得， 因为为锐角三角形，所以， 所以，得， 所以，得， 所以，即b取值范围是，所以C正确， 对于D，因为D为BC边上的中点，所以， 所以 ， 由余弦定理得， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以AD的最大值为，所以D正确. 故选：ACD 变式1-4．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 【答案】 【分析】若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得. 【解析】因为是钝角三角形， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述：的取值范围是； 故答案为：. 变式1-5．在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，若，则的最大值为__________. 【答案】1 【分析】利用正弦定理可得，根据二倍角公式结合三角形内角取值范围可得结果. 设，利用等面积法可得，结合余弦定理得，构造函数，根据函数单调性可求的取值范围. 【解析】在中，由正弦定理得，，∴， ∴，即， 由得，， ∴，故，∴. 设，由，得，故. ∵，，∴，故， ∴， 令，则， ∵，当且仅当时等号成立，∴，故， ∵在上单调递增，当时，，当时，， ∴的取值范围是. ∴的最大值为1 故答案为：1 变式1-6．在直角梯形ABCD中，，，，边BC的长度为定值a，其余三边的长度可变． (1)当为等边三角形时，，求a的值； (2)设，求AD的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）解直角三角形结合等边三角形的性质计算即可； （2）利用正弦定理与三角恒等变换、三角函数的性质计算即可. 【解析】（1）当为等边三角形时，因为，所以， 则在中，， 故，即； （2）设，则，． 在中，由正弦定理可得， 则， 则在中， ， 因为，所以， 所以当时上式取得最大值， 即AD的最大值为． 类型二、角的最值（范围）问题 【技巧方法】 角的最值（范围）问题常见处理方法：　 (1)根据给定条件，利用正弦定理边角互化，再结合余弦定理，利用均值不等式求解. (2)利用正余弦定理转化为三角函数，利用单调性解决问题。 例2．（1）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理的推论求得，求解即可. 【解析】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 故选：B (2)设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求出，利用均值不等式求解作答. 【解析】在中，由正弦定理及得：， 即，整理得：， 即，因，则，否则为钝角，也为钝角，矛盾， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. 故选：D 变式2-1．如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解. 【解析】由，得， 又，所以， 则当时，三角形只有一个解， 此时， 故选：C 变式2-2．在中，内角所对的边分别为，且，若是的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用倍角正余弦公式及差角正弦公式，将已知等式化为，即可得到； 应用余弦定理得，再由基本不等式求最值，进而确定角的最大值. 【解析】因为， 所以则， 整理得，即. 因为，所以，即. 有， 所以 ， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 故选：A 变式2-3．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为____________ 【答案】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得，根据基本不等式可得最值. 【解析】由已知， 则中，由正弦定理可得， 则，即， 又由余弦定理可知， 所以，当且仅当，即时等号成立， 又， 所以， 故答案为： 变式2-4．在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得，由锐角三角形求得的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为，由正弦函数性质可得范围． 【解析】因为，由余弦定理得，所以， ， 由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，所以，，， 由，得，， ， ，所以． 故答案为：． 变式2-5．在中，设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，且. (1)若，且，求实数的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用面积公式及余弦定理解得. （2）利用余弦定理得出函数，利用单调性解决问题。 【解析】（1）由三角形面积公式可得， 则，又， 由余弦定理可得， ∴，. （2）由，可得， ∴， 如图，过点作于，过点作，使得，连接，，则， 在中，， 则， 即，解得， 则，∴， 而， 令，则在时为减函数， ∴， ∴当时，，此时取得最小值. 类型三、与边有关的表达式最值（范围）问题 【技巧方法】 求与边有关的表达式最值（范围）问题一般思路： 利用正余弦定理化边为角与和角公式化简计算，整理化成正（余）弦型函数，借助于三角函数图像与性质即可求出其范围.　　 例3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换化简整理得到；再根据题意利用正弦定理整理可得，分析运算即可. 【解析】∵，由正弦定理可得， 即，则， 注意到，则， 可得，则， 所以或（舍去）， 即，则，解得，可得， 由正弦定理可得：， ∵，则，可得， 故选：B 变式3-1．在中，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理以及三角恒等变换公式将化为，再根据的范围可求得结果. 【解析】在中，，，由及正弦定理， 得 ， 由，，得，且， 则，因此，， 所以的取值范围为. 故选：D 变式3-2．在△ABC中，E,F分别是AC,AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，由AB与AC的关系，用AB表示出AC，在△ABE中，由余弦定理表示BE2，在△ACF中，利用余弦定理表示出CF2，然后可得BE与CF的平方比，分离常数变形后，由A为三角形的内角得到A的范围，求出比值的范围，进而可得到的取值范围． 【解析】根据题意画出图形，如图所示： ∵， ∴， 又E,F分别是AC,AB的中点， ∴． 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， ∴， ∴． 令， 则在上单调递减， ∴，即. 又恒成立， ∴， ∴实数的最小值为． 故选：D 变式3-3．在中，内角，，的对边分别为，，．已知， 则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和差化积公式及中角之间的关系化简已知等式，可得，得，中角之间的关系求得，利用正弦定理可得的取值范围； 【解析】因为在中，， 由和差化积公式得， 又在中，，则， 因为，所以， 则， 所以或（舍去），所以， 在三角形中，所以，即， 则， 所以，由正弦定理， 即的取值范围为. 故选：B 变式3-4．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围. 【解析】由和，可得， 由正弦定理，，即， 因，故得， 因是锐角三角形，故，则有，从而，. 又由正弦定理，， 即得 于是 ， 由可得， 则，故， 故的取值范围为. 故选：C. 变式3-5．如图，在五边形ABCDE中，为边长为4的等边三角形，，且．若锐角的面积为，则的最大值为___________    【答案】4 【分析】由锐角的面积求出，得，中由余弦定理求，由余弦定理和基本不等式，求的最大值. 【解析】因为锐角的面积为，即， 解得，所以． 中由余弦定理得，解得． 在中，，，由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时等号成立，解得， 所以的最大值为4． 故答案为：4 变式3-6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到，再结合，即可得到； （2）根据和三角形面积公式将整理为，再根据锐角三角形和正弦定理得到的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可. 【解析】（1），所以， 所以， 又，所以， 因为，所以． （2）因为锐角三角形，所以，整理得． 因为，所以． 令，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即， 故的取值范围为. 类型四、与角有关的表达式最值（范围）问题 正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 【技巧方法】 求与角有关的表达式最值（范围）问题一般思路： 利用正余弦定理结合三角恒等变换化简整理得到函数、三角函数或者基本不等式模型分析运算即可. 例4．记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围，进而可得的范围i，则的范围可求. 【解析】根据三角形三边关系可得，即， 又， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以，又为三角形的内角， 所以， 所以. 故选：C. 变式4-1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换化简整理得到；再利用三角恒等变换整理得，结合基本不等式分析运算即可. 【解析】∵，由正弦定理可得， 即，则， 注意到，则， 可得，则， 所以或（舍去）， 即， ， 即， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 变式4-2．锐角的内角所对边分别是且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理，由题意得，再结合是锐角三角形，得出的范围，然后根据存在最大值，得出的取值范围. 【解析】由正弦定理，，，得， 代入，得， 所以，即， 因为，所以或（舍去）， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 因为，且， 即， 利用辅助角公式可得, ，其中, 因为，要使存在最大值， 只需存在，使，，所以， 因为，所以，解得. 所以的取值范围. 故选：A 变式4-3．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解 【解析】在中，， 故题干条件可化为，由余弦定理得， 故，又由正弦定理化简得： ， 整理得，故或（舍去），得 为锐角三角形，故，解得，故 故选：C 变式4-4．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为____________ 【答案】 【分析】利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换可得，由三角形形状得出角的取值范围可得结果. 【解析】由及正弦定理得， 所以，得， 所以或（舍去），所以， 因为是锐角三角形，故，解得， 故，， . 故答案为： 类型五、解三角形中周长最值（范围）问题 求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 【技巧方法】 求周长的模型： 注：常常会利用基本不等式或者三角函数性质求周长最值 例5．在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 【解析】（1）由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是. 变式5-1．已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为（  ） A．21 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角，再利用余弦定理结合基本不等式求解即得. 【解析】由的外接圆的半径为且，得， 而，则或，由余弦定理得， 当时， ，当且仅当时取等号， 因此当时，，的周长最大值为21； 当时， ，当且仅当时取等号， 因此当时，，的周长最大值为， 而，所以的周长最大值为21. 故选：A 变式5-2．（多选）的内角的对边分别为，且，，则（  ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【答案】AD 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【解析】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法正确； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：AD 变式5-3．为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助正弦定理结合所给条件可将周长用表示，结合锐角三角形的性质可得的范围，即可得解. 【解析】由正弦定理可得， 则，， 则周长为 ， 由为锐角三角形，则，解得， 故，则， 即周长的取值范围为. 故答案为：. 变式5-4．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积 【解析】（1）选①， 由正弦定理可得，即得， 即有，由于，可得，即. 选②， 由正弦定理可得， 因为，，所以，即. 由于，可得. 选③， 由正弦定理和诱导公式可得，即为， 由余弦定理可得. 由于，可得. （2）由（1）知，由余弦定理可得， 即为，而，即. 若，则，可得（当且仅当时取得等号）， 则，所以周长的最小值为6. 类型六、解三角形中面积最值（范围）问题 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，= 【技巧方法】 1.求三角形面积的方法： (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.求三角形中面积最值（范围）问题的一般思路： 利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最值或者借助基本不等式、函数性质求解。 例6．在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且，当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当，的面积取最小值 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，由余弦定理及已知条件得到，再由正弦定理将边化角，即可求出； （2）设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又，所以； 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则； （1）设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为. 变式6-1．在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（  ） A． B． C．12 D．15. 【答案】C 【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解. 【解析】由，由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以， 当，即时，取得最大值. 故选：C. 变式6-2．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（  ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理及两角和的正弦公式得，代入“三斜求积”公式，利用二次函数求解最值. 【解析】因为，所以， 所以， 由正弦定理得，又，所以 ， 所以当即时，面积的最大值为. 故选：B 变式6-3．（多选）如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（  ） A． B． C．面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】A选项：利用余弦定理列等式即可； B选项：由题意得的范围，即可得到的范围； C选项：根据几何的知识得到当时，最大，利用三角形面积公式求面积即可； D选项：将四边形的面积转化成，得到面积，再利用辅助角公式和三角函数的性质求最值即可. 【解析】在中，由余弦定理得，A正确； ，则 ，所以，B错误； 易得当时，取最大值，C正确； ，其中，D正确． 故选：ACD. 变式6-3．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为___________ 【答案】 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【解析】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故答案为：. 变式6-4．为了营造“全民健身”的休闲氛围，银川市政府计划将某三角形健身场所扩建为凸四边形，原来的健身区域近似为等腰直角三角形，施工图纸如下图所示（长度已按一定比例尺进行缩小），你能否运用所学知识解决下面两个问题. （1）若与的长度和为12，当时，求扩建的区域的面积最大值； （2）若最终敲定方案为，求扩建后四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用三角形面积公式结合基本不等式即可求出最值； （2）设，，分别利用余弦定理及勾股定理表示，即可得到，利用面积公式结合辅助角公式化简四边形面积函数，利用三角函数的性质即可求解最值. 【解析】（1）设，则，所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，扩建的区域的面积有最大值为； （2）设，由题意，，，设， 在中，由余弦定理知，， 所以，即， 所以四边形面积 ， 因为，所以，故当，即时，取到最大值为1，即， 所以四边形面积的最大值为. 类型七、解三角形中边、角与其他章节的融合 【技巧方法】 利用正余弦定理边角互化结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求边、角最值或者借助基本不等式、函数性质求解。 例7．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，设，利用正弦定理将表示为关于的式子，然后利用三角恒等变形与三角函数的值域求的取值范围即可. 【解析】设， 则，， 由得， 解得，满足，，    在中，， 可得， 同理可得， 所以 ， 因为 ， 所以当，即时，最大值为， 结合，可得的最小值为， 所以当时，由最小值， 即的取值范围是. 故选：D 变式7-1．在中，，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理与正弦定理可得、、，再借助向量线性运算及模长与数量积的关系可用、表示出，再利用三角形内角和与三角恒等变换公式可将表示为正弦型函数，再结合的范围计算即可得解. 【解析】 由，，则，， 在中，有， 即，即， 有， 故，， ， 则 ， 其中，， 则当，即时，有最大值， 由，则，由，则， 故可取，故有最大值. 故选：D 变式7-2．在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ． 【答案】 8 【分析】余弦定理和基本不等式即可求解. 【解析】由和正弦定理可得， 故, ， ，故, 当且仅当，即时取等号， ，故， 此时周长为， 故答案为：8， 变式7-3．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)设的三个角、、所对的边分别为，若，且，求的取值范围． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式以及周期公式即可求解； （2）根据函数求解角度A，再由正弦定理和诱导公式以及两角和与差的正弦公式即可求解. 【解析】（1）函数 函数的最小正周期为． （2）， 所以， 因为， 所以， 由正弦定理得，， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以，， 所以的取值范围为． 变式7-4．在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）0 （3） 【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； （3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域. 【解析】（1）由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． （2）由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． （3）在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 类型八、解三角形中周长、面积与其他章节的融合 【技巧方法】 利用正余弦定理边角互化结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可三角形周长、面积最值或者借助平面向量、基本不等式、函数性质进行求解。 例8．已知为的外心，，，，则的面积为（  ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案. 【解析】设的中点为，由为的外心可得，， ， 又， 所以， 又，可得， 故， 则的面积为. 故选：D. 变式8-1．已知在中，，.O为所在平面内一点，且满足，且，则的面积为（  ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设为的中点，由题意可知,此时三点共线， 又，所以垂直平分，所以，由此即可得解. 【解析】如图所示：    不妨设为的中点，由题意有，可知， 因为，所以三点共线， 又，所以垂直平分，即垂直平分， 又已知，所以， 又因为，所以由余弦定理有， 所以由三角函数平方关系可知， 由三角形面积公式可知， 即的面积为. 故选：C. 变式8-2．（多选）已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列说法正确的是（  ） A．若，则有两解 B．周长的最大值为12 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理判断A；由余弦定理结合基本不等式可判断B；利用三角函数恒等变换的应用可得，根据正切函数的性质即可判断C；根据正弦定理，结合平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质可判断D. 【解析】对于A，由正弦定理得，又， 所以，角为唯一锐角，有一解，故A错误； 对于B，由余弦定理得：， 则，所以， 所以周长为，所以周长的最大值为12，故B正确； 对于C，， 因为，则的取值范围为， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，由正弦定理得，则，则， ， 因为， 所以 . 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最大值为，故D正确； 故选：BCD 变式8-3．在中，，，，是的垂心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为___________- 【答案】 【分析】先通过解三角形方法求出和的长，然后说明点能够取到的集合恰为由点和的三边中点构成的平行四边形的内部及边界，由此得到其面积为的一半，最后通过和的长求出，即得所求结果. 【解析】延长，，分别交，，于，，，如图， 由为垂心，可知在直角三角形中，， ，由余弦定理可得 ， 由四点共圆及正弦定理可得， ， 由余弦定理，， 所以. 又因为， 所以，从而. 由于，其中，故点能够取到的集合，恰为由点和的三边中点构成的平行四边形的内部及边界. 所以点能够覆盖的区域的面积等于的一半，而，故，选项D正确. 故答案为：. 变式8-4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)；(2)9 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示得，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角性质求角的大小； （2）由（1）得，，再由正弦定理可得，结合基本不等式求周长最大值，注意取值条件. 【解析】（1）已知向量， 则， 则， 所以， 则， 所以， 又， 故且， 所以， 又， 则； （2）由（1）知：， 则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为， 则， 即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为9 变式8-5．在中，，边上两点，，，． （1）若，，，用，，的三角函数值表示的值； （2）若，，求的值； （3）若，． ①求的值； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）①；②27. 【分析】（1）利用正弦定理，先在中根据正弦定理求出EA，再在中用正弦定理求出EB，进而得到DE；另一种方法是通过，结合正弦定理求出BC从而得到DE． （2）先在用余弦定理得出，再根据判断正三角形．过作DE垂线，利用正三角形性质得到，最后根据正切定义表示出与，求出比值． （3）通过已知条件得出边的比例关系，再利用三角形三边关系确定边的取值范围，进而求出三角形面积的表达式，最后根据二次函数性质求面积最大值． 【解析】（1）在中，由正弦定理得：，， 在中由正弦定理得：， ，． 法二：． （2）在中，由余弦定理得， 在中，， 所以为正三角形，过作的垂线，垂足为， ，，则． （3）由，，，， 所以， ， 两式相乘得，所以 设，则，由，解得， 在中，， 则， ， 由，得， 当时，面积的最大值为27． 1.已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解． 【解析】在中，，， 则，即， ，，， 则角为钝角或角为钝角， 若角是钝角， 则，即， 故， 若角是钝角， 则，即，解得． 综上所述，的取值范围是． 故选：D 2. 在中，设，则下列说法错误的是（ ） A. B. 边上高是 C. 外接圆的周长是 D. 内切圆的面积是 【答案】D 【分析】根据向量数量积公式、余弦定理、三角形面积公式、正弦定理以及三角形内切圆相关知识，结合已知条件，来逐一分析各个选项. 【解析】对于A，，解得，故A正确， 对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确； 对于C，由B知，，所以外接圆的周长是，故C正确； 对于D，由等积法知，，故D不正确. 故选：D 3.在中，，的面积为3，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设，则，根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理计算可得，由辅助角公式和正弦函数的图象与性质可得，解不等式即可. 【解析】设，则， 由，得. 由余弦定理得， 令，则， 即（其中）， 所以，即， 得，解得或，即或（舍去）， 解得或（舍去），所以的最小值为4. 故选：B 4.在中，内角所对的边分别为，且，若是的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用倍角正余弦公式及差角正弦公式，将已知等式化为，即可得到； 应用余弦定理得，再由基本不等式求最值，进而确定角的最大值. 【解析】因为， 所以则， 整理得，即. 因为，所以，即. 有， 所以 ， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 5.在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可得，然后根据余弦定理可得、，根据三角形是钝角三角形求出，，，然后利用对勾函数的性质求出的范围即可． 【解析】如图所示： 连接，并延长交于， 由是三角形的重心，得是的中点， ，， 由重心的性质得，即， 由余弦定理得：， ， ，， ， 则， ，，，为锐角， 是钝角三角形，或为钝角， 或， 将代入得：，，， ． 故选：A 6.（多选）设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若满足条件三角形有2个，则的取值范围为 B. 面积的最大值为3 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理确定范围判断A；利用余弦定理，结合基本不等式求面积的最大值判断B；利用余弦定理，结合基本不等式求出周长最大值判断C，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及正切函数性质求解判断D. 【解析】对于A，由有2个及正弦定理得且， 因此的取值范围为，A正确； 对于B，由余弦定理得12， 因此，当且仅当时取等号， 由，所以面积的最大值，B错误； 对于C，由余弦定理得12， 因此，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为，C正确； 对于D，由为锐角三角形，得，， 由正弦定理得，D正确． 故选：ACD 7.（多选）已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A．的取值范围为 B．外接圆半径的范围为 C．的面积最小值为 D．的周长范围为 【答案】ABD 【分析】对A：根据三角形是锐角三角形，则每个角均为锐角，列出不等式组，求解即可；对B：根据正弦定理可得：，结合的范围，求得函数值域，即可求得范围；对C：根据正弦定理，求得三角形面积关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得面积的范围；对D：求得三角形周长关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得周长范围. 【解析】对A：因为△为锐角三角形，故可得：，也即，解得 ，故A正确； 对B：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，也即， 由A可知： ，故，故，故B正确； 对C：由正弦定理，也即可得：， 故△的面积， 由A可知： ，故，故，故，没有最小值，故C错误； 对D：由C可知：，， 设△的周长为，则 也即，由A可知： ，故，则， 则，故，故D正确； 故选：ABD. 8.（多选）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 【答案】ABC 【分析】A：利用正弦定理和三角恒等变换即可判断；B：利用正弦定理边化角，结合A选项结论和三角恒等变换即可求出的三个内角，从而可判断其形状；C和D，根据是锐角三角形和选项A结论求出B的范围，利用函数单调性的方法可分别求两个式子的范围. 【解析】∵，由正弦定理可得， 在中，， 可得，而与不可能互补， ∴，即，∴A选项正确； 选项B中，，可得，由A选项可得， 则，在中，， 可得，则，∴，即为直角三角形，∴B选项正确； 选项C中，为锐角三角形中， ． 设， ∵为锐角三角形，∴，可得， ∴，即， 令，则函数单调递增， ，而，即． ∴，∴，∴C正确； 选项D中，∵为锐角三角形，由A选项可得， ∴，可得，∴， ∴． 设． 设在单调递减，∴， ∴D选项不正确： 故选：ABC． 9.在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解. 【解析】根据题意，，， 由正弦定理得：，则， 三角形只有一个解，则或， 则或，即或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 10.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为________； 【答案】 【分析】利用正弦定理与三角恒等变换求得，再利用锐角三角形内角的范围即可求解 【解析】在中，由正弦定理可将式子化为， 又， 代入上式得，即， 因为，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以，因为为锐角三角形，，所以， 由解得 故答案为： 11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由明确边上的高等于边的一半，做出边上的高，设，用表示出，再结合换元法和基本不等式，求的最大值. 【解析】如图： 过作于. 因为，所以. 设，则 设，则 若，则；若，则； 当时， （当且仅当即时取“”）. 所以 故答案为： 12.在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）0 （3） 【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； （3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域. 【解析】（1）由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． （2）由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． （3）在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 所以周长的取值范围为． 13.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，______． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，选择①②③用正弦定理或余弦定理求得； （2）根据是锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦定理建立边与角的式子即可. 【解析】（1）若选条件①，由正弦定理得， 所以， 即， 因为，所以． 若选条件②，由余弦定理， 所以， 即，， 所以， 因为，所以． 若选条件③，由正弦定理得， 所以， 又因为, 所以，又， 所以，因为，所以． （2）因为是锐角三角形，， 所以，所以， 由正弦定理可得， ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为． 14.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，墙的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记. (1)若，求三角形的周长（结果精确到0.01）； (2)为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1)22.45米． (2)米时，活动室面积最大，最大面积为． 【分析】（1）由正弦定理求得后可得周长； （2）由正弦定理求得（用表示），然后计算面积，结合两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简函数，利用正弦函数性质得最大值． 【解析】（1）由正弦定理，即，， ， 由得， 三角形周长为 （米）． 所以三角形周长约为22.45米． （2）由得， 又， 得， 所以， ， 因为，所以，即时，，此时， 此时三角形取得最大面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $