专题03图形的变换20大题型（期中复习讲义）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

专题03 图形的变换 （期中复习讲义，全章20大题型） 题型01生活中的平移问题 3 题型02利用平移的性质求解 4 题型03利用平移解决实际问题 4 题型04平移作图 5 题型05轴对称图形 6 题型06根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 7 题型07台球某面上的对称问题 9 题型08轴对称中的光线反射问题 10 题型09镜面对称 10 题型10尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 11 题型11对称轴问题 12 题型12折叠问题 13 题型13生活中的旋转现象 13 题型14找旋转中心、旋转角、对应点 14 题型15根据旋转的性质求解 15 题型16利用旋转设计图形 17 题型17画已知图形关于某点对称的图形 18 题型18中心对称图形 20 题型19根据中心对称的性质求面积、长度、角度 20 题型20方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 22 1. 理解平移、轴对称、旋转、中心对称的概念，掌握它们的基本性质，能准确区分不同图形变换的特点。 2. 能识别生活中的图形变换现象，运用平移、轴对称、旋转的性质解决简单的计算（角度、长度、面积）和判断问题。 3. 掌握平移作图、轴对称作图、旋转作图、中心对称作图及尺规作图（垂直平分线、垂线、角平分线）的方法，能规范完成作图步骤。 4. 能运用图形变换的知识解决实际问题（如台球运动、光线反射、折叠、生活中的测量等），提升几何推理和应用能力。 5. 识别轴对称图形、中心对称图形，能在方格纸中补画图形，使之成为轴对称图形或中心对称图形，培养空间想象能力。03 期中知识•梳理 知识点1：平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。 2. 性质： · 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等； · 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； · 对应角相等。 3. 关键要点：平移的两个要素——平移方向、平移距离；平移后图形与原图形全等。 知识点2：轴对称与轴对称图形 1. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴（对称轴是直线，不是线段或射线）。 2. 成轴对称：如果两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）。 3. 性质： · 对称轴垂直平分对应点所连的线段； · 对应线段相等，对应角相等； · 成轴对称的两个图形全等，轴对称图形的两部分也全等。 4. 常见轴对称图形：线段（2条对称轴）、角（1条对称轴）、等腰三角形（1条对称轴）、矩形（2条）、菱形（2条）、正方形（4条）、圆（无数条）。 知识点3：旋转 1. 定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2. 性质： · 对应点到旋转中心的距离相等； · 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； · 对应线段相等，对应角相等； · 旋转前后图形全等。 3. 关键要点：旋转的三要素——旋转中心、旋转方向（顺时针、逆时针）、旋转角；旋转角的确定：对应点与旋转中心连线的夹角。 知识点4：中心对称与中心对称图形 1. 中心对称图形：如果一个图形绕着一个定点旋转180°后，能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心。 2. 成中心对称：如果两个图形绕着一个定点旋转180°后能够互相重合，那么这两个图形关于这个定点成中心对称，这个定点叫做对称中心，旋转后重合的点叫做对应点（对称点）。 3. 性质： · 对称中心是对应点所连线段的中点； · 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； · 对应角相等； · 成中心对称的两个图形全等，中心对称图形的两部分也全等。 4. 常见中心对称图形：平行四边形（1个对称中心）、矩形、菱形、正方形（对称中心是对角线交点）、圆（无数个对称中心，即圆心）。 知识点5：尺规作图核心 1. 垂直平分线：过线段中点且垂直于线段的直线，尺规作图关键是“两圆相交”，以线段两端为圆心、大于线段一半为半径画圆，两交点连线即为垂直平分线。 2. 垂线：过一点（线上或线外）画已知直线的垂线，本质是垂直平分线的简化，线外一点时，以该点为圆心画圆交直线于两点，再作这两点的垂直平分线。 3. 角平分线：平分一个角的射线，尺规作图关键是“等距画弧”，以角顶点为圆心画弧交两边于两点，再分别以这两点为圆心画弧，交点与顶点连线即为角平分线。 04 期中题型•汇总 题型01生活中的平移问题 解题技巧：① 观察图形是否发生形状、大小变化；② 判断运动方向是否固定，是否有转动；③ 确定平移的方向和距离（若需计算）。 【典例1】．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：依题意，观察四个选项，能用其中一部分平移得到的是D选项． 【变式1】．在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、该图案（2026年标识）可以看作由一个基本图形（回纹/马头纹）沿右上方向平移得到，符合平移变换的定义，故此选项符合题意； B、该图案（2025年标识）属于旋转变换（中心对称），不能通过平移得到，故此选项不符合题意； C、该图案（2024年标识）属于轴对称变换，不能通过平移得到，故此选项不符合题意； D、该图案（2023年标识）主要由曲线构成，无法通过平移得到，故此选项不符合题意. 【变式2】．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_______________． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 题型02利用平移的性质求解 解题技巧：① 找到对应点、对应线段、对应角；② 利用“对应线段相等”求未知线段，利用“对应角相等”求未知角度；③ 若对应线段平行，可结合平行线性质（同位角、内错角相等）辅助求解。 【典例2】．如图，在中，，于是沿射线方向平移4个单位至处，与交于点．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是利用平移前后图形面积相等，将阴影部分面积转化为梯形面积求解． 根据平移性质，与面积相等，故阴影部分面积等于梯形的面积；由已知条件求出梯形的上底、下底和高，再代入梯形面积公式计算． 【详解】解：由平移的性质可知，， ，，， ． ，， ， 又， ． 故选：． 【变式1】．如图，将沿方向平移到的位置，量得，，则，间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将沿方向平移到的位置， ， ，， ． 【变式2】．如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为________ 【答案】或或 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，的值为或或． 题型03利用平移解决实际问题 解题技巧：① 分析实际问题，提取图形核心部分；② 将图形中的线段或图形沿合适方向平移，转化为规则图形（长方形、正方形等）；③ 利用规则图形的公式计算求解。 【典例3】．如图，广场上有一块长米，宽米的长方形的草坪，草坪上有一条弯曲等宽的小路，小路的左边线向右平移可以与右边线重合，小路宽为米． (1)求草坪的总面积；（用代数式表示并化简） (2)草坪每平方米一年的维护费用为元，若米，米，求草坪的一年的维护总费用． 【答案】(1)草坪的总面积为平方米； (2)草坪一年维护总费用为1155元． 【分析】（1）左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形，即总面积为，化简即可； （2）将，代入求出总面积，再计算维护费即可． 【详解】（1）解：左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形 平方米 答：草坪的总面积为平方米； （2）解：当，时， 原式 （平方米） （元） 答：草坪一年维护总费用为1155元． 【变式1】．如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？ 【答案】地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元． 【分析】根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：， （元）， 答：地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元． 【变式2】．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 题型04平移作图 解题技巧：① 确定平移方向和平移距离；② 找出原图形的所有关键点（顶点、端点、交点等）；③ 分别将每个关键点沿平移方向移动指定距离，得到对应点；④ 顺次连接所有对应点，得到平移后的图形。 【典例4】．如图，在的正方形网格中有三角形，点A，B，C均在格点上．经过平移，三角形的顶点A平移到了点B的位置，作出平移后的三角形，（其中F，G分别是三角形的顶点B，C的对应点），并直接写出与的位置关系． 【答案】见解析， 【分析】利用网格特点和平移的性质找到点F和点G的位置，再作图，由平移的性质即可得到． 【详解】解：如图所示，即为所求，由平移的性质可得． 【变式1】．如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)见解析 【分析】（1）根据题意可知向左平移5个单位，再向下平移1个单位得到，据此依次得到点、的对应点、，最后依次连接即可； （2）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算解题； （3）在上取格点，根据点M向右平移2格向下平移1格到达点C，将点B向右平移2格向下平移1格到达点D，连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：∵线段平移过程中扫过的面积即为四边形的面积， ∴． （3）解：如图，即为所求． 【变式2】．如下图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（网格线的交点）． (1)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段． (2)描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了图形的平移变换、线段垂直平分线的作图知识点，掌握平移时点的坐标变化规律和线段垂直平分线的定义是解题的关键． （1）将线段的两个端点分别向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到对应点，然后连接； （2）先找到线段的中点，再作出过点且与垂直的直线，该直线与的交点即为点，此时直线垂直平分． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求． （2）解：如图所示，点，即为所求． 题型05轴对称图形 解题技巧：① 动手想象折叠过程，或用直尺模拟对称轴，观察两边是否重合；② 记住常见轴对称图形的对称轴数量和位置（如等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线）；③ 注意：对称轴是直线，不是线段（如角的对称轴是角平分线所在的直线，不是角平分线）。 【典例5】．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 【变式1】．如图，在正方形网格中，8条等长线段形成一个轴对称图形，那么擦去下列选项中的两条线段后，剩下的图形将不再是轴对称图形的是（    ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】B 【详解】解：擦去①和②，①和③，②和④，剩下的图形都是轴对称图形； 擦去②和③，剩下的图形不是轴对称图形． 【变式2】．如图，已知点A，B，C，请你再找一个点D，使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点的个数为______个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了作轴对称图形， 分别以三条边所在直线为对称轴确定三个点，再以三条线段的垂直平分线为对称轴得出另外三个对称点，即可得出答案． 【详解】解；以直线所在的直线为对称轴可得，以直线所在的直线为对称轴可得，以直线所在的直线为对称轴可得，再以的垂直平分线为对称轴可得，以的垂直平分线为对称轴可得，以的垂直平分线为对称轴可得， 所以一共有D点的个数为6个． 故答案为：6． 题型06根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 解题技巧：① 找到成轴对称的两个图形的对应点、对应线段、对应角；② 利用“对称轴垂直平分对应点连线”求线段中点、垂线；③ 利用“对应线段相等、对应角相等”求未知量；④ 若需证明，结合全等三角形辅助证明。 【典例6】．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 【变式1】．（1）如图（1），已知和线段，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）： （2）如图（2）， （a）分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （b）若，则的周长为___________．    【答案】（1）见解析 （2）（a）见解析 （b） 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质． (1)作的平分线，作线段的垂直平分线，射线与直线交于点，点即为所求作的点； (2)(a)分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、； (b)因为点关于、的对称点、，，，所以可得：的周长． 【详解】(1)解：如下图所示， 作的平分线， 则射线上的点到的两边距离相等， 作线段的垂直平分线， 则直线上的点到、的距离相等， 射线与直线交于点， 点即为所求作的点；    (2)(a)解：如下图所示： 分别作出点关于、的对称点、， 连接，分别交、于点、；      (b)解：点关于、的对称点、， ，， 的周长， ， 的周长． 故答案为：． 【变式2】．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 题型07台球某面上的对称问题 解题技巧：① 确定对称轴（台球桌的边）；② 作目标球（或母球）关于该对称轴的对称点；③ 连接母球与对称点，交对称轴于反弹点；④ 连接母球与反弹点、反弹点与目标球，即为完整运动路径。 【典例7】．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【变式1】．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【变式2】．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 题型08轴对称中的光线反射问题 解题技巧：① 确定反射面（镜面）作为对称轴；② 作入射点（或光源）关于反射面的对称点；③ 连接对称点与反射光线的终点，交反射面于反射点；④ 连接光源与反射点、反射点与终点，即为入射光线和反射光线。 【典例8】．在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 【变式1】．如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】．如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型09镜面对称 解题技巧：① 数字/字母的镜面对称：记住常见对称数字（0、1、8左右对称，6与9对称）、对称字母（A、H、I、M、O、T、U、V、W、X、Y左右对称）；② 镜中时间：用12:00减去镜中时间（如镜中显示3:00，实际时间为9:00），或作时钟关于竖直直线的对称图形，读取对称后的时间。 【典例9】．小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称，是常见基础考点，联系生活实际，掌握镜面对称的性质是解题关键．根据镜面对称性质解题，可将四个数子写在全白纸上，再观察纸的背面即可得到答案． 【详解】解：∵5对称图形是2，1对的是1，如果是51号，5在前1在后，对应为5对的是2，1对的是1， ∴实际号码是12． 故选：C． 【变式1】．小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 【变式2】．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______． 【答案】 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】 解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴东东醒来时的正确时间是“”， 故答案为：． 题型10尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 解题技巧：牢记三种尺规作图的规范步骤，确保作图痕迹清晰，符合要求（无刻度直尺、圆规，不允许用刻度尺测量）。 【典例10】．如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）根据外心的定义，分别作三条边的垂直平分线，三条垂直平分线交于点O，则点O为的外心． 【详解】（1）解：如图所示，的垂直平分线即为所求： （2）解：如图所示，的外心O即为所求： 【变式1】．已知等腰三角形，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线分别交、于点、． (2)尺规作图：作的角平分线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图： （1）分别以点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，直线即为线段的垂直平分线； （2）在上分别截取，使得，分别以为圆心，大于长画弧，两弧交于一点，过点与交点作射线即是角平分线，角平分线与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求． （2）解：如图所示：即为所求． 【变式2】．如图，及边上一点．请你用尺规在内部求作一点，使得，且点到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】以点为圆心，任意长为半径画弧，与相交于两点；分别以该两点为圆心，大于两点距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过该点和点作直线；以点为圆心，任意长为半径画弧，与、相交于两点；分别以该两点为圆心，大于两点距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线；直线与射线的交点即为所求点． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 题型11对称轴问题 解题技巧：① 找对称轴：观察图形的对称性，用折叠法、直尺辅助法找对称轴；② 补全图形：根据对称轴，找到已知部分的对应点，顺次连接对应点即可。 【典例11】．下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的性质及相关概念，轴对称图形的对称轴是直线，据此可判断（1）（3），轴对称图形的轴对称可能不止一条，据此可判断（2）；根据轴对称的性质可判断（4）（5）． 【详解】解：（1）角平分线所在的直线是角的对称轴，原说法错误； （2）轴对称图形可能有多条对称轴（如圆有无数条），原说法错误； （3）等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身，原说法错误； （4）两个图形成轴对称，则它们全等，原说法正确； （5）若A、B关于直线对称，则垂直平分，而非垂直平分，原说法错误 综上，正确说法有（4），共1个， 故选：A． 【变式1】．下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对称轴，对称轴指的是一个图形沿着对称轴对折后，折痕两侧能够完全重合的直线．画出各图形的对称轴即可求解． 【详解】 解：A．对称轴有1条； B．对称轴有4条； C．对称轴有2条； D．对称轴有5条； 综上可知，对称轴最多的图形是， 故选D． 【变式2】．已知、线段、线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中为外任一点），则不一定正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，轴对称图形的对称轴的判断，解题的关键的掌握五个基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，过一点作已知直线的垂线，作角的角平分线，作线段的垂直平分线），据此分析即可作出判断． 【详解】解：①如图是作的角平分线，则该射线所在的直线为的对称轴，故该作图不符合题意； ②如图是过一点作线段所在直线的垂线，则该垂线不一定平分线段，即该垂线不一定是线段的垂直平分线，则该垂线不一定是线段的对称轴，故该作图符合题意； ③如图是作线段的垂直平分线，则该垂线所在的直线为的对称轴，故该作图不符合题意； 故选：B． 题型12折叠问题 解题技巧：① 确定折痕（对称轴）；② 找出折叠前后的对应点、对应线段、对应角；③ 利用“对应线段相等、对应角相等”，结合三角形内角和、勾股定理等知识求解；④ 注意折叠后重合的部分，避免重复计算。 【典例12】．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，推出，求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式1】．一条两边互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则______． 【答案】 【分析】将围巾展开，根据折叠的性质得：则，，设，根据平行线的性质得：，由平角的定义列式，可得x的值，从而得结论． 【详解】解：如图乙，由折叠得，，， 设，则， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式2】．折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点 (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G， ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数用含m的代数式表示 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】根据折叠的性质得到，求得，根据矩形的性质得到，得到； ①根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据折叠的性质即可得到结论； ②根据上述过程可得：，求得，得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F， ， ． 四边形是长方形， ， ； （2）解：四边形是长方形， ∴， ， ． 继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H， ， ， ； ②根据上述过程可得：， ， ， ， 解得， ． 题型13生活中的旋转现象 解题技巧：① 观察图形是否绕某个定点转动；② 确定旋转中心、旋转方向（顺时针、逆时针）、旋转角；③ 判断旋转前后图形的形状、大小是否不变。 【典例13】．下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【答案】A 【分析】本题考查生活中的旋转现象，熟记旋转定义是解决问题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，根据选项中的常见现象，结合旋转定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：旋转的本质是物体绕一个固定点转动， A. 秋千绕悬挂点摆动，做圆弧运动，属于旋转，符合题意； B. 火车沿轨道直线行驶，属于平移，不符合题意； C. 标枪被掷出后主要做平移运动，属于平移，不符合题意； D. 电梯垂直上下运动，属于平移，不符合题意； 故选：A． 【变式1】．小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 【变式2】．2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变换的定义并准确识图是解题的关键．根据翻折、旋转、平移的定义进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图绕图案中心点旋转后可得到图，通过平移或者翻折不可以得到， 这次运动可以是旋转， 故选：C． 题型14找旋转中心、旋转角、对应点 解题技巧：掌握旋转三要素的判断方法，紧扣旋转的性质——对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 【典例14】．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 【变式1】．如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 根据旋转的性质，利用旋转角，计算即可． 【详解】解：∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形， ∴是旋转角， ∵，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 【答案】(1)图见解析；图见解析 (2) 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据平移的性质作图即可． （2）分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． （2）解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心M的坐标为． 题型15根据旋转的性质求解 解题技巧：① 找到对应点、对应线段、对应角，明确旋转角；② 利用“对应点到旋转中心距离相等”，得到等腰三角形，结合等腰三角形性质求解；③ 利用“对应角相等、旋转角相等”，结合三角形内角和、平角等知识求角度；④ 复杂问题可结合全等三角形辅助证明。 【典例15】．如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． (1)旋转角是什么？旋转中心是什么？ (2)经过旋转，分别转到什么位置？ (3)与的长有什么关系？与呢？ (4)与有什么关系？ 【答案】(1)或，旋转中心是点O (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义回答； （2）根据旋转的定义回答； （3）根据旋转的性质回答； （4）根据旋转的性质回答． 【详解】（1）旋转角是或，旋转中心是点O； （2）经过旋转，分别转到D、E、F的位置； （3）与长的关系，，与长的关系，； （4）与的关系：． 【变式1】．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 【答案】(1) (2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析 (3)或或60或70秒 【分析】（1）先根据平分，得到，即可求出； （2）先根据题意可得，，然后作差即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）平分， ， 三角板旋转的角：， （2）当在外部时，，理由如下： ，， ，， ； 当在内部时，，理由如下： ，， ； （3）射线平分，射线平分， ，， 选择前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①，解得，； ②，解得，； ③，解得，， ； ④，解得，， ， 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或60或70 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 【变式2】．青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)灯A射线经过20秒，第一次照射到灯B (2) (3)①或；②或 【分析】（1）根据平行线的性质求出，据此可得答案； （2）设和为灯A和灯B发出的射线，再根据平行线的性质求解即可； （3）①分当时，当时，当时三种情况进行讨论求解即可；②根据①所求，分当时，当时，两种情况分别求出与即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 灯A转动的速度是秒， 灯A射线经过秒，第一次照射到灯B； （2）解：如图所示，设和为灯A和灯B发出的射线，则， ，， ，， ， 解得； （3）解：①如图所示，当时，过点C作，则， ，， ； 当时，两条射线的交点C不在两灯带之间，不符合题意，舍去； 如图所示，当时， 同理可得 ； 综上所述，或； ②如图所示，当时， 由（3）①得，． ， ， ； 如图所示，当时， 由（3）①得， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题的关键是利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合光线的动态转动，分情况讨论角度变化，通过构造辅助线和用含t的代数式表示角度，再消元求解数量关系． 题型16利用旋转设计图形 解题技巧：① 确定基本图形（简单、对称的图形）；② 确定旋转中心（通常是图形的中心、顶点或线段中点）；③ 确定旋转方向（顺时针、逆时针）和旋转角（如90°、180°、120°）；④ 将基本图形的关键点绕旋转中心旋转指定角度，得到对应点，顺次连接对应点，重复旋转，得到完整设计图形。 【典例16】．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 【变式1】．如图，线段可以看成是线段先绕点C___________旋转，再向___________平移___________小格得到的． 【答案】 逆时针 左 1 【分析】本题考查了线段的旋转，平移，根据题意和旋转的相关知识即可得；掌握旋转角度，旋转方向，平移是解题的关键． 【详解】解：由图可知，线段可以看成是线段先绕点C逆时针旋转，再向左平移1小格得到的， 故答案为：逆时针；左；1． 【变式2】．（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）；（3）作图见解析 【分析】（1）①利用方格纸，取格点，连接即可，②利用方格纸，取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）根据点到直线的距离和线段的定义即可求解； （3）在射线的上方作即可． 【详解】解：（1）①如图，取格点，连接， ∵所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上， ∴点向上平移3格，再向右平移2格与点重合，同时点向上平移3格，再向右平移2格与点重合， 即线段向上平移3格，再向右平移2格与线段重合， ∴， 则即为所作； ②如图，取格点，连接，与交于点， 在和中， ，，， ，， 即绕点顺时针旋转与重合， ∴绕点顺时针旋转与重合， ∴， 由①知：， ∴，即， 则即为所作． （2）∵， ∴， ∴线段的长度表示点到的距离． 故答案为：． （3）如图，在射线的上方作， 又∵， ∴ ， ∴， 则射线即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，尺规作图，平移和旋转，点到直线的距离，角的计算，垂直的判定．解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质． 题型17画已知图形关于某点对称的图形 解题技巧：可借助直尺测量，确保OA' = OA；对于规则图形（如矩形、正方形），可先找对角线交点（对称中心），再找各顶点的对称点。 【典例17】．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______； (2)在图中画出关于点O成中心对称的图形． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为． ； （2）解：如图所示． 【变式1】．如图，在正方形网格中有，直线，互相垂直，垂足为O． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心（保留作图痕迹）；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 【分析】（1）先根据平移的规律找到点，再依次连接得，即可作答； （2）先根据中心对称的性质找到点，再依次连接得，即可作答； （3）观察与，得出与成中心对称，再连接，它们相交于一点，即为对称中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：与成中心对称．如图点即为所求 【变式2】．小明在学习乘法公式时，通过计算图形的面积发现了平方差公式及完全平方公式，他课后遇到了这样一个问题，请帮他一起解决： (1)如图，已知是直角三角形，，，，，请分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． (2)第（1）问画出的四边形是一个什么图形？______． 一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为______；另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为______．于是，我们得到______．（用含、、且化简后的整式表示） (3)请你借助，再画出一种示意图推出第（2）题得到的等式，并简要说明推导过程． 【答案】(1)见详解 (2)正方形，，， (3)见详解 【分析】本题为开放性问题，考查了通过数形结合思想﹒理解利用图形证明平方差公式，完全平方公式的过程是解题关键﹒ （1）根据题意进行作图即可求解； （2）根据题意分别计算图形面积，再进行整理即可求解； （3）类比（1）（2）进行拼图，计算面积即可求解﹒ 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）解：四边形是一个正方形，一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为，另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为，于是，我们得到﹒ 故答案为：正方形，，，； （3）解：如图，已知是直角三角形，，，，，分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． 则四边形是一个正方形，一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为，另一方面，它的面积等于四边形的面积减去四个三角形，为，于是，我们得到﹒ 题型18中心对称图形 解题技巧：① 动手想象旋转180°的过程，观察图形是否与自身重合；② 记住常见中心对称图形的对称中心（如平行四边形的对称中心是对角线交点）；③ 注意：中心对称图形是一个图形，成中心对称是两个图形。 【典例18】．未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 【变式1】．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，只有将方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形， 故这样的小方格有个． 【变式2】．如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 【答案】(1)中心对称 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称的性质，轴对称图形，解决问题的关键是掌握中心对称的性质． （1）按照轴对称或中心对称的性质判断即可． （2）按照中心对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：从图中看出，都是中心对称图形． 故答案为：中心对称． （2）解：如图所示（答案不唯一）： 题型19根据中心对称的性质求面积、长度、角度 解题技巧：① 找到成中心对称的对应点、对应线段、对应角；② 利用“对应线段相等”求未知线段，利用“对应角相等”求未知角度；③ 求面积时，利用“成中心对称的两个图形全等”，将不规则图形转化为规则图形，或利用对称中心平分线段的性质，简化计算。 【典例19】．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】（1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴． （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20． 【变式1】．作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，在中，是中点．求作，使它与关于点对称； (2)如图②，线段是由线段旋转所得，且点对应点，求作该变换的旋转中心； (3)图③是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺作一条直线，使它平分该图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—旋转变换，应用与设计作图，关于原点对称的点的坐标，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）连接，延长到，连接，，即为所求； （2）连接，，作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求； （3）过右边4个小正方形的中心和左边小正方形的中心作直线即可． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求； （2）解：如图②中，点即为所求； （3）解：如图③中，直线即为所求． 【变式2】．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 题型20方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 解题技巧：① 确定对称中心（通常是方格纸的格点，或已知图形的中心）；② 找出已知图形的所有关键点，在方格纸中找到每个关键点关于对称中心的对称点（借助方格数，确保对称点与关键点到对称中心的格数相等、方向相反）；③ 顺次连接所有对称点，补全图形，确保补全后的图形绕对称中心旋转180°后与自身重合。 【典例20】．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查中心对称图形的概念与作图，旋转作图，掌握好相关知识是关键． （1）根据中心对称图形的定义进行作图即可； （2）由旋转的要求进行作图即可． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示． 【变式1】．图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图，应用与设计作图．掌握平行四边形、等腰三角形、筝形的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的轴对称性质，结合面积画图即可； （2）可画一个平行四边形即可； （3）利用勾股定理及等腰梯形或筝形的性质画图即可． 【详解】（1）如答图①，即为所求．（答案不唯一） （2）如答图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）如答图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 【变式2】．图1和图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，且均有两个小正方形涂上了颜色． (1)请你在图1中选择1个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． (2)请你在图2中选择3个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，中心对称图形，解题的关键是理解中心对称图形的定义． （1）根据题目要求以及中心对称图形的定义画出图形即可； （2）根据题目要求以及中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：图形如图1所示．（答案不唯一） （2）解：图形如图2所示．（答案不唯一） 05 期中过关•检测 1．广水市以清代古民居为代表，保存了一批精美的雕花窗棂传统建筑．下面四幅图是在窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移变换的定义判断即可． 【详解】解：根据平移变换的定义可知选项C，可以由一个基本图案（图中红线框内部分）平移得到． 2．窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．解题的关键是掌握两种图形的定义：轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形.根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 3．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴． 4．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】∵，观察图形可知，点是点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，点是由点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的， ∴， ∴点可能是点． 5．将沿着点B到点C的方向平移到如图所示的位置，点A的对应点是点D，，，，的面积为9，则平移的距离为（） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据平移的性质可得，在中，利用面积公式和已知边长关系求出的长，再根据线段的和差关系求出的长，即为平移距离． 【详解】解：由平移的性质得：， 是直角三角形， ，且， ， 解得：（负值舍去）， ， ， 平移的距离． 6．如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：由点，分别是点P关于，的对称点，可知：， ∴的周长为． 7．如图，将沿直线折叠后，使点B与点A重合，若，的周长为，则的长为（   ） A．5 B．9 C．14 D．19 【答案】B 【分析】由折叠知，由的周长即可求得结果． 【详解】解：由折叠知， ∵的周长为14， ， ， ∴． 8．将一条长方形纸带先沿折叠，再沿折叠，如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，然后由折叠得到，然后根据平行线的性质得到，，然后由折叠得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴． 9．如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，量得，，则A，间的距离是________． 【答案】3 【分析】根据题意可得，，先求出，再计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移到的位置， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为_________． 【答案】42 【分析】根据题意，得，计算即可； 【详解】解：根据题意，得这条小路的面积为． 11．如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为___________． 【答案】12 【分析】根据题意和平移的性质得到和的长度，然后即可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：如图， 由题意可得，，， ∴阴影部分的面积． 12．如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为_______ 米． 【答案】136 【分析】根据图形可得图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于，据此求解即可． 【详解】解：由图可得，图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于， 从出口到出口所走的路线长为（米）． 13．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度的最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度的最小， 当时，， ∴，解得：， ∴，即线段长度的最小值是． 14．如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起，将簸箕绕点顺时针旋转，点落在点处，使其平放在地面，箕面绕点旋转的度数为_____． 【答案】 【分析】根据旋转的性质和邻补角的定义计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴， ∴箕面绕点旋转的度数为． 15．已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，．在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，当时t的值为______． 【答案】 12 或 16.5 【分析】分、都在右侧；、在两侧；、都在左侧，三种情况讨论，根据列方程求解即可. 【详解】由题意得，， ∴， 当、都在右侧时； 由题意得，，， ∵， ∴， 解得； 当、在两侧时， 由题意，得，， ∵， ∴， 解得； 当、都在左侧时， 由题意，得，， ∵， ∴， 得（舍去）， ∴的值为或. 16．已知直线和交于点O，，，平分．射线以每秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线也以每秒的速度绕点O顺时针转动，当射线转动一周时，射线、也停止转动．在射线转动一周的过程中．当时，射线转动的时间为_____秒． 【答案】或或 【分析】先依次求得，，，再“与重合前，”、“与重合后，”、“与重合后，在内，且在内，即”分三种情况讨论，分别列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵直线和交于点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当与重合前，时，如图， ， 解得：（秒）； 当与重合后，时，如图， ， 解得：（秒）； 当与重合后，在内，且在内，即时，如图， 此时， 解得：（秒）， 综上所述，射线转动的时间为秒或秒或秒， 故答案为：或或​． 【点睛】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，垂线的定义理解，旋转中的规律性问题，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 17．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平移的性质和平行的性质得到，再利用互余的定义即可计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，所以，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵平移到的位置， ∴， ∴， ∵与互余， ∴． （2）解：∵分别平移到和的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 18．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【分析】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 19．小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． (1)因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 (2)如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）根据平行线性质及反弹规律可求得结果； 【详解】（1）（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． （2）解：过点作，如图所示： ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， ． 20．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 21．在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】如图1，将一个含角的直角三角尺的一边与直线重合，其中，．将该三角尺绕点逆时针旋转，如图2所示，过点作直线，的角平分线与直线交于点． (1)当时，求的度数； (2)当为多少度时，？请说明理由． (3)【拓展探究】如图3，延长得射线，与的角平分线交于点．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用含的代数式表示；若不会，求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)不会， 【分析】（1）求得，再利用平行线的性质可得，即可解答； （2）利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义推出，即可解答； （3）过点作，可得，再推出，利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：，， ，   ， ，    ； （2）解：，理由如下： 当时， ， ， ，    平分， ， ． . （3）解：不会，，理由如下： 过点作， ，      ，， 为的角平分线， ， 由对顶角相等得：， 为的角平分线， ， ， ． 22．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． (1)若，，求的度数； (2)如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； (3)在（1）的条件下，将三角尺绕E点以每秒的速度按逆时针方向，设旋转时间为．请直接写出当与的一边平行时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或40或10 【分析】（1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）根据（1）可得，，，进而分类讨论，根据平行线的性质，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）可得，，， ∴，， 过点F作直线，则， ∴， ∴， ∴， ∵将三角尺绕E点以每秒的速度按逆时针方向， ∴，， ①当时，延长交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或或（舍去）； ②当时， 同理或， 解得或（舍去）或（舍去）； ③当时， 同理或， 解得或（舍去）或（舍去）； 综上，t的值为或40或10． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的变换 （期中复习讲义，全章20大题型） 题型01生活中的平移问题 3 题型02利用平移的性质求解 4 题型03利用平移解决实际问题 4 题型04平移作图 5 题型05轴对称图形 6 题型06根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 7 题型07台球某面上的对称问题 9 题型08轴对称中的光线反射问题 10 题型09镜面对称 10 题型10尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 11 题型11对称轴问题 12 题型12折叠问题 13 题型13生活中的旋转现象 13 题型14找旋转中心、旋转角、对应点 14 题型15根据旋转的性质求解 15 题型16利用旋转设计图形 17 题型17画已知图形关于某点对称的图形 18 题型18中心对称图形 20 题型19根据中心对称的性质求面积、长度、角度 20 题型20方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 22 1. 理解平移、轴对称、旋转、中心对称的概念，掌握它们的基本性质，能准确区分不同图形变换的特点。 2. 能识别生活中的图形变换现象，运用平移、轴对称、旋转的性质解决简单的计算（角度、长度、面积）和判断问题。 3. 掌握平移作图、轴对称作图、旋转作图、中心对称作图及尺规作图（垂直平分线、垂线、角平分线）的方法，能规范完成作图步骤。 4. 能运用图形变换的知识解决实际问题（如台球运动、光线反射、折叠、生活中的测量等），提升几何推理和应用能力。 5. 识别轴对称图形、中心对称图形，能在方格纸中补画图形，使之成为轴对称图形或中心对称图形，培养空间想象能力。03 期中知识•梳理 知识点1：平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。 2. 性质： · 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等； · 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； · 对应角相等。 3. 关键要点：平移的两个要素——平移方向、平移距离；平移后图形与原图形全等。 知识点2：轴对称与轴对称图形 1. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴（对称轴是直线，不是线段或射线）。 2. 成轴对称：如果两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）。 3. 性质： · 对称轴垂直平分对应点所连的线段； · 对应线段相等，对应角相等； · 成轴对称的两个图形全等，轴对称图形的两部分也全等。 4. 常见轴对称图形：线段（2条对称轴）、角（1条对称轴）、等腰三角形（1条对称轴）、矩形（2条）、菱形（2条）、正方形（4条）、圆（无数条）。 知识点3：旋转 1. 定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2. 性质： · 对应点到旋转中心的距离相等； · 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； · 对应线段相等，对应角相等； · 旋转前后图形全等。 3. 关键要点：旋转的三要素——旋转中心、旋转方向（顺时针、逆时针）、旋转角；旋转角的确定：对应点与旋转中心连线的夹角。 知识点4：中心对称与中心对称图形 1. 中心对称图形：如果一个图形绕着一个定点旋转180°后，能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心。 2. 成中心对称：如果两个图形绕着一个定点旋转180°后能够互相重合，那么这两个图形关于这个定点成中心对称，这个定点叫做对称中心，旋转后重合的点叫做对应点（对称点）。 3. 性质： · 对称中心是对应点所连线段的中点； · 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； · 对应角相等； · 成中心对称的两个图形全等，中心对称图形的两部分也全等。 4. 常见中心对称图形：平行四边形（1个对称中心）、矩形、菱形、正方形（对称中心是对角线交点）、圆（无数个对称中心，即圆心）。 知识点5：尺规作图核心 1. 垂直平分线：过线段中点且垂直于线段的直线，尺规作图关键是“两圆相交”，以线段两端为圆心、大于线段一半为半径画圆，两交点连线即为垂直平分线。 2. 垂线：过一点（线上或线外）画已知直线的垂线，本质是垂直平分线的简化，线外一点时，以该点为圆心画圆交直线于两点，再作这两点的垂直平分线。 3. 角平分线：平分一个角的射线，尺规作图关键是“等距画弧”，以角顶点为圆心画弧交两边于两点，再分别以这两点为圆心画弧，交点与顶点连线即为角平分线。 04 期中题型•汇总 题型01生活中的平移问题 解题技巧：① 观察图形是否发生形状、大小变化；② 判断运动方向是否固定，是否有转动；③ 确定平移的方向和距离（若需计算）。 【典例1】．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_______________． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 题型02利用平移的性质求解 解题技巧：① 找到对应点、对应线段、对应角；② 利用“对应线段相等”求未知线段，利用“对应角相等”求未知角度；③ 若对应线段平行，可结合平行线性质（同位角、内错角相等）辅助求解。 【典例2】．如图，在中，，于是沿射线方向平移4个单位至处，与交于点．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式1】．如图，将沿方向平移到的位置，量得，，则，间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为________ 题型03利用平移解决实际问题 解题技巧：① 分析实际问题，提取图形核心部分；② 将图形中的线段或图形沿合适方向平移，转化为规则图形（长方形、正方形等）；③ 利用规则图形的公式计算求解。 【典例3】．如图，广场上有一块长米，宽米的长方形的草坪，草坪上有一条弯曲等宽的小路，小路的左边线向右平移可以与右边线重合，小路宽为米． (1)求草坪的总面积；（用代数式表示并化简） (2)草坪每平方米一年的维护费用为元，若米，米，求草坪的一年的维护总费用． 【变式1】．如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？ 【变式2】．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 题型04平移作图 解题技巧：① 确定平移方向和平移距离；② 找出原图形的所有关键点（顶点、端点、交点等）；③ 分别将每个关键点沿平移方向移动指定距离，得到对应点；④ 顺次连接所有对应点，得到平移后的图形。 【典例4】．如图，在的正方形网格中有三角形，点A，B，C均在格点上．经过平移，三角形的顶点A平移到了点B的位置，作出平移后的三角形，（其中F，G分别是三角形的顶点B，C的对应点），并直接写出与的位置关系． 【变式1】．如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 【变式2】．如下图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（网格线的交点）． (1)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段． (2)描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分． 题型05轴对称图形 解题技巧：① 动手想象折叠过程，或用直尺模拟对称轴，观察两边是否重合；② 记住常见轴对称图形的对称轴数量和位置（如等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线）；③ 注意：对称轴是直线，不是线段（如角的对称轴是角平分线所在的直线，不是角平分线）。 【典例5】．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在正方形网格中，8条等长线段形成一个轴对称图形，那么擦去下列选项中的两条线段后，剩下的图形将不再是轴对称图形的是（    ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④ 【变式2】．如图，已知点A，B，C，请你再找一个点D，使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点的个数为______个． 题型06根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 解题技巧：① 找到成轴对称的两个图形的对应点、对应线段、对应角；② 利用“对称轴垂直平分对应点连线”求线段中点、垂线；③ 利用“对应线段相等、对应角相等”求未知量；④ 若需证明，结合全等三角形辅助证明。 【典例6】．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【变式1】．（1）如图（1），已知和线段，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）： （2）如图（2）， （a）分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （b）若，则的周长为___________．    【变式2】．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 题型07台球某面上的对称问题 解题技巧：① 确定对称轴（台球桌的边）；② 作目标球（或母球）关于该对称轴的对称点；③ 连接母球与对称点，交对称轴于反弹点；④ 连接母球与反弹点、反弹点与目标球，即为完整运动路径。 【典例7】．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式1】．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 题型08轴对称中的光线反射问题 解题技巧：① 确定反射面（镜面）作为对称轴；② 作入射点（或光源）关于反射面的对称点；③ 连接对称点与反射光线的终点，交反射面于反射点；④ 连接光源与反射点、反射点与终点，即为入射光线和反射光线。 【典例8】．在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】．如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________． 题型09镜面对称 解题技巧：① 数字/字母的镜面对称：记住常见对称数字（0、1、8左右对称，6与9对称）、对称字母（A、H、I、M、O、T、U、V、W、X、Y左右对称）；② 镜中时间：用12:00减去镜中时间（如镜中显示3:00，实际时间为9:00），或作时钟关于竖直直线的对称图形，读取对称后的时间。 【典例9】．小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【变式1】．小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______． 题型10尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 解题技巧：牢记三种尺规作图的规范步骤，确保作图痕迹清晰，符合要求（无刻度直尺、圆规，不允许用刻度尺测量）。 【典例10】．如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 【变式1】．已知等腰三角形，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线分别交、于点、． (2)尺规作图：作的角平分线交于点． 【变式2】．如图，及边上一点．请你用尺规在内部求作一点，使得，且点到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 题型11对称轴问题 解题技巧：① 找对称轴：观察图形的对称性，用折叠法、直尺辅助法找对称轴；② 补全图形：根据对称轴，找到已知部分的对应点，顺次连接对应点即可。 【典例11】．下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知、线段、线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中为外任一点），则不一定正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．①和② 题型12折叠问题 解题技巧：① 确定折痕（对称轴）；② 找出折叠前后的对应点、对应线段、对应角；③ 利用“对应线段相等、对应角相等”，结合三角形内角和、勾股定理等知识求解；④ 注意折叠后重合的部分，避免重复计算。 【典例12】．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （  ） A． B． C． D． 【变式1】．一条两边互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则______． 【变式2】．折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点 (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G， ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数用含m的代数式表示 题型13生活中的旋转现象 解题技巧：① 观察图形是否绕某个定点转动；② 确定旋转中心、旋转方向（顺时针、逆时针）、旋转角；③ 判断旋转前后图形的形状、大小是否不变。 【典例13】．下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【变式1】．小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【变式2】．2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 题型14找旋转中心、旋转角、对应点 解题技巧：掌握旋转三要素的判断方法，紧扣旋转的性质——对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 【典例14】．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 题型15根据旋转的性质求解 解题技巧：① 找到对应点、对应线段、对应角，明确旋转角；② 利用“对应点到旋转中心距离相等”，得到等腰三角形，结合等腰三角形性质求解；③ 利用“对应角相等、旋转角相等”，结合三角形内角和、平角等知识求角度；④ 复杂问题可结合全等三角形辅助证明。 【典例15】．如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． (1)旋转角是什么？旋转中心是什么？ (2)经过旋转，分别转到什么位置？ (3)与的长有什么关系？与呢？ (4)与有什么关系？ 【变式1】．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 【变式2】．青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 题型16利用旋转设计图形 解题技巧：① 确定基本图形（简单、对称的图形）；② 确定旋转中心（通常是图形的中心、顶点或线段中点）；③ 确定旋转方向（顺时针、逆时针）和旋转角（如90°、180°、120°）；④ 将基本图形的关键点绕旋转中心旋转指定角度，得到对应点，顺次连接对应点，重复旋转，得到完整设计图形。 【典例16】．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【变式1】．如图，线段可以看成是线段先绕点C___________旋转，再向___________平移___________小格得到的． 【变式2】．（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 题型17画已知图形关于某点对称的图形 解题技巧：可借助直尺测量，确保OA' = OA；对于规则图形（如矩形、正方形），可先找对角线交点（对称中心），再找各顶点的对称点。 【典例17】．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______； (2)在图中画出关于点O成中心对称的图形． 【变式1】．如图，在正方形网格中有，直线，互相垂直，垂足为O． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心（保留作图痕迹）；若不是，说明理由． 【变式2】．小明在学习乘法公式时，通过计算图形的面积发现了平方差公式及完全平方公式，他课后遇到了这样一个问题，请帮他一起解决： (1)如图，已知是直角三角形，，，，，请分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． (2)第（1）问画出的四边形是一个什么图形？______． 一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为______；另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为______．于是，我们得到______．（用含、、且化简后的整式表示） (3)请你借助，再画出一种示意图推出第（2）题得到的等式，并简要说明推导过程． 题型18中心对称图形 解题技巧：① 动手想象旋转180°的过程，观察图形是否与自身重合；② 记住常见中心对称图形的对称中心（如平行四边形的对称中心是对角线交点）；③ 注意：中心对称图形是一个图形，成中心对称是两个图形。 【典例18】．未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【变式2】．如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 题型19根据中心对称的性质求面积、长度、角度 解题技巧：① 找到成中心对称的对应点、对应线段、对应角；② 利用“对应线段相等”求未知线段，利用“对应角相等”求未知角度；③ 求面积时，利用“成中心对称的两个图形全等”，将不规则图形转化为规则图形，或利用对称中心平分线段的性质，简化计算。 【典例19】．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【变式1】．作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，在中，是中点．求作，使它与关于点对称； (2)如图②，线段是由线段旋转所得，且点对应点，求作该变换的旋转中心； (3)图③是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺作一条直线，使它平分该图形的面积． 【变式2】．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 题型20方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 解题技巧：① 确定对称中心（通常是方格纸的格点，或已知图形的中心）；② 找出已知图形的所有关键点，在方格纸中找到每个关键点关于对称中心的对称点（借助方格数，确保对称点与关键点到对称中心的格数相等、方向相反）；③ 顺次连接所有对称点，补全图形，确保补全后的图形绕对称中心旋转180°后与自身重合。 【典例20】．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【变式1】．图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 【变式2】．图1和图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，且均有两个小正方形涂上了颜色． (1)请你在图1中选择1个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． (2)请你在图2中选择3个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． 05 期中过关•检测 1．广水市以清代古民居为代表，保存了一批精美的雕花窗棂传统建筑．下面四幅图是在窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．将沿着点B到点C的方向平移到如图所示的位置，点A的对应点是点D，，，，的面积为9，则平移的距离为（） A．9 B．6 C．4 D．3 6．如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．如图，将沿直线折叠后，使点B与点A重合，若，的周长为，则的长为（   ） A．5 B．9 C．14 D．19 8．将一条长方形纸带先沿折叠，再沿折叠，如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，量得，，则A，间的距离是________． 10．某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为_________． 11．如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为___________． 12．如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为_______ 米． 13．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 14．如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起，将簸箕绕点顺时针旋转，点落在点处，使其平放在地面，箕面绕点旋转的度数为_____． 15．已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，．在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，当时t的值为______． 16．已知直线和交于点O，，，平分．射线以每秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线也以每秒的速度绕点O顺时针转动，当射线转动一周时，射线、也停止转动．在射线转动一周的过程中．当时，射线转动的时间为_____秒． 17．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 18．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 19．小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． (1)因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 (2)如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 20．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 21．在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】如图1，将一个含角的直角三角尺的一边与直线重合，其中，．将该三角尺绕点逆时针旋转，如图2所示，过点作直线，的角平分线与直线交于点． (1)当时，求的度数； (2)当为多少度时，？请说明理由． (3)【拓展探究】如图3，延长得射线，与的角平分线交于点．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用含的代数式表示；若不会，求出的度数． 22．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． (1)若，，求的度数； (2)如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； (3)在（1）的条件下，将三角尺绕E点以每秒的速度按逆时针方向，设旋转时间为．请直接写出当与的一边平行时t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $