专题03平行四边形的性质与判定、三角形的中位线15种题型（期中复习讲义）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

专题03 平行四边形的性质与判定、三角形的中位线 （期中复习讲义15种题型） 【题型01利用平行四边形的性质求线段长】 1 【题型02利用平行四边形的性质求角度】 4 【题型03利用平行四边形的性质求周长】 6 【题型04利用平行四边形的性质求面积】 9 【题型05利用平行四边形的性质证明】 13 【题型06添加条件判定是平行四边形】 16 【题型07平行四边形判定的证明】 20 【题型08平行四边形性质与判定的综合】 25 【题型09平行四边形与平面直角坐标系的综合】 36 【题型10平行四边形中的多结论判断问题】 41 【题型11平行四边形与折叠问题】 50 【题型12平行四边形与动点运动问题】 54 【题型13平行四边形与最值问题】 60 【题型14利用三角形的中位线计算】 65 【题型15利用三角形中位线证明】 67 1. 考查分值：占期中试卷15%~20%，是八下期中几何板块的核心考点，属于必考点、重点考点； 2. 考查题型：覆盖选择、填空、解答题，难度分层明显——基础题考查性质/判定的直接应用，中档题考查综合证明、计算，压轴题常结合折叠、动点、最值、平面直角坐标系考查（分值6~10分）； 3. 核心考点：① 平行四边形的性质（求线段长、角度、周长、面积）；② 平行四边形的判定；③ 三角形中位线的计算与证明；④ 平行四边形综合应用；⑤ 性质与判定的综合推理； 4. 易错点汇总：① 混淆平行四边形的性质与判定；② 三角形中位线与中线混淆；③ 折叠题漏标相等边、角；④ 坐标系中求顶点坐标漏解；⑤ 误用判定条件；⑥ 动点题未用参数表示线段； 5. 命题趋势：侧重基础应用与逻辑推理，基础题占60%、中档题30%、压轴题10%；三角形中位线结合生活实际，平行四边形结合折叠、动点，强调“数形结合”。 03 期中知识•梳理 知识点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等。即若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD、AD∥BC，且AB=CD、AD=BC； 2. 角的性质：两组对角分别相等，邻角互补。即∠A=∠C、∠B=∠D，且∠A+∠B=180°、∠B+∠C=180°（可推导所有邻角互补）； 3. 对角线的性质：对角线互相平分。即对角线AC、BD相交于点O，则OA=OC、OB=OD； 4. 其他性质：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；两条平行线之间的距离处处相等；平行四边形的对角线将其分成两个全等的三角形。 知识点2：平行四边形的判定 1. 定义判定（最基础）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（AB∥CD且AD∥BC ⇒ 四边形ABCD是平行四边形）； 2. 边的判定：① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（AB=CD且AD=BC ⇒ 平行四边形）；② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（AB∥CD且AB=CD ⇒ 平行四边形）； 3. 角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（∠A=∠C且∠B=∠D ⇒ 平行四边形）； 4. 对角线的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形（OA=OC且OB=OD ⇒ 平行四边形）； 5. 易错提醒：① 一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（反例：等腰梯形）；② 对角线相等的四边形不一定是平行四边形。 知识点3：三角形的中位线 1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形有3条中位线，中位线不与三角形的中线重合（中线是连接顶点与对边中点的线段）； 2. 核心性质（必考）：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。即若D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC，且DE=BC； 3. 推论：① 三角形的三条中位线围成的三角形，周长是原三角形周长的½，面积是原三角形面积的¼；② 中位线分得的两个三角形全等，且与原三角形相似（相似比1:2）； 4. 核心作用：转化线段（将长线段转化为短线段，或反之）、转化平行关系，常用于求线段长度、证明两直线平行。 04 期中题型•汇总 【题型01利用平行四边形的性质求线段长】 核心技巧：紧扣“对边相等、对角线互相平分”，结合勾股定理、角平分线、全等三角形求解。已知对边直接用相等关系，对角线相交用平分性质转化线段；角平分线+对边平行可推导等腰三角形，复杂题型连接对角线转化为三角形求解。 【典例1】．如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的尺规作图以及等腰三角形的判定，解题关键是利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，再通过线段差计算DH的长度． 【详解】解：由题意是通过“作一个角的平分线”的尺规作图方法得到的， 因此， 在平行四边形中：，，，， 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）； 结合，可得； 因此为等腰三角形，即； 因为，， 所以． 故选：B． 【变式1】．如图，在中，，，于E，，的平分线交于F，连接．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作于点G，利用平行四边形的性质得出，，结合已知条件利用勾股定理求得的值，通过三角形面积公式推导出的长，再通过勾股定理求得的长，由角平分线的性质和得出，通过线段和差求得和的长，最终通过勾股定理求得结果． 【详解】解：如图，过点E作于点G， 在平行四边形中，，， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴在中，． 【变式2】．如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出，再由平行四边形对角线互相平分得，接着在中利用勾股定理求得，最后由即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中 ， ∴． 【变式3】．如图，平行四边形中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，推出，结合角平分线的性质可推出，进而得到，即可求解． 【详解】解：平行四边形中，，， ， 平分， ， ， ， . 【题型02利用平行四边形的性质求角度】 核心技巧：牢记“对角相等、邻角互补”，结合平行线性质求解。已知一角用对角相等求对角，用邻角互补求邻角；平行线与角平分线结合先求等腰三角形底角，复杂题型结合三角形内角和辅助计算，标清已知角避免混淆。 【典例2】．如图，在中，，平分交边于点，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线的定义可证得，利用平行四边形的性质及平行线的性质可得到，，由此可求出，的度数，从而可求出的度数． 【详解】解：平分， ， 平行四边形， ， ， ， ， ． 【变式1】．如图，中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在中，，由尺规作图的痕迹，则的度数为________． 【答案】/65度 【分析】首先根据平行四边形的性质求出，然后由作图得，平分，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∴ 由作图得，平分 ∴． 【变式3】．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 【答案】/40度 【分析】先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，，推出，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 【题型03利用平行四边形的性质求周长】 核心技巧：掌握公式“周长=2（一组邻边之和）”，简化计算。已知一组邻边直接代入；已知一边及与另一边的关系，设未知数结合对边相等表示另一边；已知对角线与边长关系，结合勾股定理求未知边再计算。 【典例3】．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 【变式1】．如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，若的周长是12，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．32 D．44 【答案】B 【分析】由作图方法可知，垂直平分，则，根据三角形的周长公式和线段的和差关系可推出，再由平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长是12， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长． 【变式2】．如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ______． 【答案】40 【分析】本题考查了平行四边形的性质及图形翻折的性质．利用平行四边形的性质和折叠的性质，分别找出、与平行四边形边长的关系，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：由题意知， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵由翻折得到， ∴，， ∴，， ∴， 即平行四边形的周长为40． 故答案为：40． 【变式3】．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是________． 【答案】18 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质．由平行四边形对角线互相平分和可知，由的周长是，即可推导出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴． 故答案为：18． 【题型04利用平行四边形的性质求面积】 核心技巧：灵活运用两种方法：① 基本公式“面积=底×高”（注意底与高对应）；② 同底等高平行四边形面积相等，可转化底高；无直角时作高构造直角三角形求解。 【典例4】．如图，点E在平行四边形的边上，的面积记为，的面积记为，的面积记为，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】A 【分析】分别表示出三个三角形的面积，再根据平行四边形的性质得出答案． 【详解】解：设和之间的距离是h，根据题意，得，，． ∵四边形是平行四边形， ∴． 可知． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，理解各三角形面积之间的关系是解题的关键． 【变式1】．如图，在平行四边形中，，是的中点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是（    ）平方厘米． A．10 B．12 C．15 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中线平分面积的性质， 根据平行四边形的性质，可得，设，则，设点到的高为，根据三角形的面积为可得，由此可得，再根据三角形中线平分面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴设，则，设点到的高为， ∵，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故选：C ． 【变式2】．如图，五边形中，，交于点O，四边形是平行四边形，若的面积是5，四边形的面积是6，则的面积是________． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的形状，熟练掌握知识点是解题的关键． 连接，由平行线的性质可得与同底等高，继而得出两三角形面积相等，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，继而得出的面积，进而根据求解即可． 【详解】连接， ∵， ∴与同底等高， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3】．如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是______． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，根据平行四边形的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：16． 【题型05利用平行四边形的性质证明】 核心技巧：明确证明目标，结合性质推导。证明线段相等用对边相等、对角线平分或三角形全等；证明角相等用对角相等、邻角互补或平行线性质；证明平行用对边平行或角的关系，步骤规范，先说明平行四边形再引用性质。 【典例5】．已知：如图，点为平行四边形对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，证明出，得，即可证出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到、，结合对顶角相等，证明与全等，进而证得； （2）由平行四边形对边相等得，结合可知为直角三角形，用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形面积公式计算面积。 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， 是直角三角形． 根据勾股定理，． ∴． 【变式2】．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点，证明两条对角线互相平分即可． 【详解】解：连接，交于点， ， ， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 【变式3】．如图，平行四边形中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F．求证： (1)是等边三角形； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，所以，然后结合角平分线的定义，得到，所以，再结合已知条件，即可证明结论； （2）根据“”即可证明结论； （3）根据平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质，可证明，，即得答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ， 由（1）知， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 即． 【题型06添加条件判定是平行四边形】 核心技巧：“缺啥补啥”，结合4种判定方法，避免错误条件。已知一组对边平行，补另一组平行或该组相等；已知一组对边相等，补平行或另一组相等；已知对角线一角平分，补另一角平分；禁忌添加“一组对边平行+另一组对边相等”。 【典例6】．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，根据“一组对边平行且相等”可判定平行四边形，根据“两组对边分别平行”可判定平行四边形，根据同旁内角互补可推出另一组对边平行，而一组对边平行另一组对边相等可能是等腰梯形． 【详解】解：, 若添加，则(同旁内角互补，两直线平行)， 四边形是平行四边形，选项A正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项C正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项D正确， 若添加，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，选项B错误． 【变式1】．在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，结合各选项条件，利用平行线性质、全等三角形判定与性质、平行四边形判定定理，判断能否推出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：∵， ∴ A、若，四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形，符合题意， C、由本身即可推出，无法额外判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、无法推出或，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：B． 【变式2】．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件中有，因此被覆盖住的条件应为，或者能够推导出． 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 【变式3】．如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（或或或） 【分析】利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定证明即可． 【详解】解：， ； 添加， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：（或或或）． 【题型07平行四边形判定的证明】 核心技巧：选择最优判定方法简化步骤，有“平行+相等”优先用对应判定，有对角线优先用平分判定。先推导判定条件，再下判定结论；条件不足时连接对角线，通过全等推导对边相等或对角线平分，不跳过步骤。 【典例7】．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，证明出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ， ， ． 的长为． 【变式1】．如图，在四边形中，，垂足分别为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定． （1）根据垂直得到和是直角三角形，根据斜边直角边相等，判定两直角三角形全等． （2）根据两三角形全等，得到对应角相等，继而根据内错角相等得到，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形得证结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知：， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】．如图，在四边形中，，对角线，交于点，且，点为上一点，延长交于点． (1)求证：； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质结合证明即可； （2）证明得到，再由即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【变式3】．如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】只要证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，即， 又， ，即， 四边形是平行四边形． 【变式4】．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得出，再证，得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图， 四边形是平行四边形， ， ，， 点是的中点， ， 在和中 ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【变式5】．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)36． 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 【题型08平行四边形性质与判定的综合】 核心技巧：分清逻辑顺序，“先判定后性质”或“先性质后判定”。先证四边形是平行四边形，再用性质求解；或先用性质得条件，再证另一四边形是平行四边形，标清相等边、角，辅助线以连接对角线为主。 【典例8】．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①________，________（用含的式子表示）； ②若，求的长． (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)存在，或12 【分析】（1）①由运动知，，即可得出结论； ②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时；由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①由运动知，，， ∵在线段上取点，使得， ∴； ②作于M，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在， ∵， ∴若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则， 分以下两种情况讨论： （ⅰ）当点Q、E在线段上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， ∴， 解得：； （ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，此时或12秒． 【变式1】．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 【变式2】．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）首先由平行四边形的性质得到，，，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）如图所示，过点C作于点M，求出，，，得到为等腰三角形，然后利用勾股定理求出，证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点G作于点M， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式3】．如图，点C是线段的中点，，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵点C是线段的中点， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式4】．在一次数学活动课上，小明把两块完全相同且含角的直角三角板和按如图的位置放置，三角板的边长． (1)四边形是平行四边形吗？请说明理由． (2)小明在上放置一动点P，点P从A点出发，沿方向以的速度在射线上运动． ①P点运动几秒时，是等腰三角形？ ②的面积之和记作S，设P点运动了． a．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若会改变，请说明理由，若不会改变，请求出S的值． b．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若不会改变，请说明理由，若会改变，请写出S随 t变化的函数关系式． 【答案】(1)四边形是平行四边形．理由见解析 (2)①P点运动或时，是等腰三角形；②a．不会改变，；b．会改变， 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理解答即可； （2）①根据直角三角形的性质可得，，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，即可解答；②a． 当时，此时点P在线段上根据题意可得，可得到；b． 当时，此时点P在线段的延长线上，，根据，即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 理由： 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①在中，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， 当点P在线段上时，， ∴点P的运动时间为； 当点P在线段的延长线上时，， ∴点P的运动时间为； 综上所述，P点运动或时，是等腰三角形； ②a．如图：当时， S的大小不会随着P点运动而改变． 此时点P在线段上， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； b． 如图：当时， S的大小会随着P点运动而改变． 此时点P在线段的延长线上，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ． 【变式5】．在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 【答案】(1)．证明见解析 (2)14 【分析】（1）如图①，过点P作分别交，于点M，N，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，即可得出结论； （2）如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是平行四边形，，再结合（1）的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：；证明如下： 如图①，过点P作分别交，于点M，N， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 平行四边形的周长为． 【题型09平行四边形与平面直角坐标系的综合】 核心技巧：利用对边平行（横/纵坐标差相等）、对角线平分（中点坐标相同）求解。设未知顶点坐标，结合中点公式或平行关系列方程；分类讨论对角线不同情况，避免漏解，核对横纵坐标对应关系。 【典例9】．如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标依次为，，将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段，则四边形的周长为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，坐标平移，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据，，求出，过点D作轴于点E，根据勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 过点D作轴于点E， ∵将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段， ∴，， ∴， ∵线段平移后得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 故选：C． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，，，连接，已知点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及平面直角坐标系中点的坐标，解题的关键是利用平行四边形的性质确定点的坐标． 先根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及点、的坐标确定点的坐标． 【详解】解：因为，， 所以四边形是平行四边形， 在平行四边形中，，， 已知点，所以， 又因为轴，点， 所以点的纵坐标与点的纵坐标相同，为3， 因为，点的横坐标为2， 所以点的横坐标为， 所以点的坐标为． 故选：B． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； (2)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （2）分不同情况画出图形，由菱形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：若点在点的左侧，四边形为平行四边形，， 由题意得， 解得， 若点在点的右侧，四边形为平行四边形，， ， 解得， 综上：或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； （2）解：点的坐标为或或或． 理由如下： 点，， ，， ， 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； 如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，现同时将点分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到点的对应点，连接． (1)求点C，D的坐标：C______，D______，______； (2)在x轴上有一点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1)，，18 (2)点的坐标为或． 【分析】（1）根据向右平移2个单位，横坐标加2，向上平移3个单位，纵坐标加3，即可求出点的坐标，再求出长，即可求面积； （2）设点的坐标为，求得，再利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标分别为，， 现同时将点向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到点的对应点分别是点， ∴，， ∴； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【题型10平行四边形中的多结论判断问题】 核心技巧：逐一验证结论，结合平行四边形、全等、等腰三角形等知识排除错误选项。优先验证简单结论，画图标注条件，假设结论成立推导是否矛盾；验证特殊情况，举反例快速排除错误，提高效率。 【典例10】．如图，在中，，，于点，于点，．连接，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接．过点作交于点．则下列结论正确的有（    ）个． ①；②为等腰直角三角形；③四边形的周长为．    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】①根据是等腰直角三角形得到，根据得到，根据得到，即可根据证明；②根据可得，然后结合即可证明；③根据勾股定理求出的长度，然后进一步求出的长度，根据为等腰直角三角形可求出的长度，然后根据题意证明四边形是平行四边形，即可求出四边形的周长． 【详解】解：如图所示，设和相交于点，    ∵，于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ∴， 故①正确； 由①可得， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴设， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵沿直线翻折至所在的平面内，得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长． 故③错误． 综上所述，正确的个数是2． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形全等的证明，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是根据题意证明出． 【变式1】．如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故①平分，正确； ，， ， ， ， ， ， ， 故②③都正确； 根据前面的证明，得直线是线段的垂直平分线， 故， 故④正确． 【变式2】．两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定； ②利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断； ③利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可； ④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，含的特殊直角三角形等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 【变式3】．如图，在和中，，，，是的中线，相交于点，以下7个结论：①；②；③；④的面积等于的面积；⑤；⑥平分；⑦平分，其中正确结论的个数是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、角平分线的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． ①证明可得，即可判断①；②由全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理以及等量代换可得，即可判断②；如图：延长到H，使得，连接．证明可得，，即， 再证明可得，进而判断③；由可得，再证明可得，然后根据面积关系可判定④；⑤由可得，再根据平角的性质可得，进而得到，即，从而判定⑤； 通过假设法可判断⑥；如图：过 A 作 于 P， 于 Q，由可得、，再利用三角形的面积可得，最后根据角平分线的判定定理可判断⑦． 【详解】解：①∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 如图：相交于点G，    ∵， ∴， ∵，， ∴，即，故②正确； 如图：延长到H，使得，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即④正确； ⑤设与交于 N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即．故结论⑤正确． ⑦如图：过 A 作 于 P， 于 Q． ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ 平分 ，结论⑦正确． ⑥假设平分，则． ∵ 平分 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 但这一相等关系不一定成立，结论⑥错误． 综上，正确的结论有①②③④⑤⑦，共6个． 故选C． 【题型11平行四边形与折叠问题】 核心技巧：抓住折叠前后全等性（对应边、角相等，折痕垂直平分对应点连线）。标全相等边、角，结合平行四边形性质转化线段角度，利用勾股定理、等腰三角形列方程求解，避免漏标相等关系。 【典例11】．将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，设，先根据平行四边形的性质得到，然后根据等要三角形的性质得到，求出的度数，然后根据列方程解答即可． 【详解】解：设， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：A． 【变式1】．如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，过点作于． ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】．如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】作于点，根据平行四边形的性质，求出，进而得到，易得为等腰直角三角形，得到，进而求出，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作于点， ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵平行四边形的面积为28， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 【变式3】．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 【题型12平行四边形与动点运动问题】 核心技巧：用含t的代数式表示动点相关线段长度，结合判定条件列方程。确定动点轨迹、速度，用t表示线段；根据平行四边形判定列方程求解t，验证动点位置合理性，分类讨论不同运动位置。 【典例12】．如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）    A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则， 设运动时间为， 当时，，， ∴， ， ∴(舍去)； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：(舍去)； 综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形． 故选:B． 【变式1】．如图，在中，，点P在边上以的速度从点A出发在上往返运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（点P同时也停止运动），设运动时间为秒，若四边形是平行四边形，则t的值是________．      【答案】4或8或12． 【分析】首先设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，四边形是平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过秒，四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， 分为以下情况：①点P的运动路线是，方程为， 解得：； ②点P的运动路线是，方程为， 解得：； ③点P的运动路线是，方程为， 解得：； ④点的运动路线是，方程为， 解得：（舍去）； 或8或12． 故答案为：4或8或12． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用． 【变式2】．如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【答案】(1)动点同时出发，经过8秒钟两点相遇 (2)当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分 (3)点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用． （1）相遇时，和所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答． （2）存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，根据四边形是平行四边形，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，推出，列方程即可得到结论； （3）因为按照的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，—直在上运动，当点运动到边上的时候，点、才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当到点时以及在上时，所以要分情况讨论． 【详解】（1）解：设秒时两点相遇， ∵在中，， ， ∴的周长， ∴，解得， ∴动点同时出发，经过8秒钟两点相遇； （2）解：存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵，即， ∴， ∴当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分； （3）解：由（1）知，点一直在上运动，所以当点运动到边上的时候，点、、、才可能组成平行四边形，所以， 设经过秒，四点可组成平行四边形． 分两种情形： ①当点在点右侧， 如图2：此时，则四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ②当点在点与点之间，，解得， ∴点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形． 【变式3】．如图，在中，，的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． （1）则和之间的距离为 _____； （2）当平分的面积时，则____________． 【答案】 4 或或 【分析】本题考查平行四边形的性质，中心对称： （1）由平行四边形的面积公式即可求解； （2）由平行四边形的性质，中心对称的性质得到，分三种情况讨论即可解决问题． 【详解】解：（1）设和之间的距离为h， ∵的面积为36， ∴， ∴， ∴和之间的距离为4． 故答案为：4． （2）如图，连接交于点O， ∵平分的面积，是中心对称图形， ∴经过的中心，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． ∴当平分的面积时，或或． 故答案为：或或． 【题型13平行四边形与最值问题】 核心技巧：结合将军饮马模型、垂线段最短，利用平行四边形性质转化动点轨迹。将线段转化到同一直线，构造对称点或利用垂线段最短，将最值问题转化为基本模型，简化求解。 【典例13】．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E．若点P是直线l上的一个动点，则+PB的最小值_______． 【答案】 【分析】不管P点在l上哪个位置，PD始终等于PD'，故求PD'+PB可以转化成求PD+PB，显然当D、P、D'共线时PD+ PB最短． 【详解】过点D作DM⊥AB交BA的延长线于点M， ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝1，AB＝2，∠ADC＝60°， ∴∠DAM＝60°， 由翻折变换可得，AD＝AD′＝1，DE＝D′E，∠ADC＝∠AD′E＝60°， ∴∠DAM＝∠AD′E＝60°，∴AD∥D′E， 又∵DE∥AB，∴四边形ADED′是菱形， ∴点D与点D′关于直线l对称， 连接BD交直线l于点P，此时PD′+PB最小，PD′+PB＝BD， 在Rt△DAM中，AD＝1，∠DAM＝60°， ∴AM=AD=，DM=AD=， 在Rt△DBM中，DM=，MB＝AB+AM=， ∴BD=， 即PD′+PB最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形性质和菱形性质，掌握这些是本题解题关键． 【变式1】．如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， 如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当点、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 【变式2】．如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值． 【详解】解：如图，与相交于点， 在中，， 四边形是平行四边形， ，． 当取最小值时，线段最短，此时． 点是的中点， ， ，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质． 【变式3】．如图，平行四边形ABCD中，，，，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转，得到EG，连接BG、CG，则的最小值__________． 【答案】 【分析】如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由“SAS”可证△EGN≌△BGN，可得GB=GE，推出GB+GC=GE+GC≥EC，求出EC即可解决问题． 【详解】解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H， ∵AE=2DE， ∴AE=4，DE=2， ∵点N是AB的中点， ∴AN=NB=4， ∴AE=AN， ∵∠A=60°， ∴△AEN是等边三角形， ∴∠AEN=∠FEG=60°， ∴∠AEF=∠NEG， ∵EA=EN，EF=EG， ∴△AEF≌△NEG（SAS）， ∴∠ENG=∠A=60°， ∵∠ANE=60°， ∴∠GNB=180°-60°-60°=60°， ∴点G的运动轨迹是射线NG， ∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG ∴△EGN≌△BGN（SAS）， ∴GB=GE， ∴GB+GC=GE+GC≥EC， 在Rt△DEH中，∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°， ∴DH=DE=1，EH=， 在Rt△ECH中，EC=， ∴GB+GC≥， ∴GB+GC的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【题型14利用三角形的中位线计算】 核心技巧：紧扣“平行于第三边且等于第三边的一半”，先确定中位线。已知中位线求第三边（第三边=2×中位线），已知第三边求中位线（中位线=½×第三边）；复杂题型构造中位线转化线段，区分中位线与中线。 【典例14】．如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理解题． 【详解】解：由题意知，点为的中点， ∴，故选项C不合题意； 为的中位线， ∴，且， ∴，故选项A和选项B不合题意； ∵点为的中点， ∴，无法得到，故选项D符合题意． 【变式1】．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 【变式2】．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 【变式3】．如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为______． 【答案】160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 【题型15利用三角形中位线证明】 核心技巧：证明平行或线段倍分关系时，优先构造中位线。连接两边中点利用中位线平行性质证平行；构造中位线利用倍分关系证线段倍分，无中点时取中点构造，步骤规范，先说明中位线再用性质。 【典例15】．如图，E，F，G，H分别是四边形的四边中点．求证：四边形是平行四边形．（提示：连接或，利用三角形中位线的性质） 【答案】见解析 【分析】连接，利用三角形中位线的性质即可证明． 【详解】证明：如图，连接， E，F，G，H分别是四边形的四边中点， ，分别为，的中位线， 且，且， ，， 四边形是平行四边形． 【变式1】．如图，在四边形中，，、、、分别为、、、的中点，顺次连接、、、． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)当时，四边形为正方形，理由见解析 【分析】（）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形； （）根据平行线的性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形 理由：∵分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形为正方形． 理由：由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【变式2】．如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)若，求的度数； (2)若为的中点，，和互余，求的长度． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且且，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解； （2）先判断出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出即可求解． 【详解】（1）解：∵分别是的中点， ， ∵分别是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； （2）解：∵和互余， ， ， ∵为的中点，， ， 由（1）知四边形是平行四边形， ． 【变式3】．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明； (3)若，，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形，见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明出且，即可得到四边形是平行四边形； （2）首先得到，，然后结合推出，进而证明即可； （3）勾股定理求出，，勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点． ∴且，，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形． ∵分别是的中点． ∴，， 当时，， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 【变式4】．综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)， (2)； (3)四边形为正方形，证明见解析 【分析】本题主要考查中位线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定． （1）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是菱形，再由，证明菱形是正方形； （2）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是矩形；当时，证明四边形是菱形； （3）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，再由，证明四边形为菱形，最后由证明菱形为正方形． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为；，； （2）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 当时，可得， ∴四边形是矩形； 当时，可得， ∴四边形是菱形； （3）解：四边形为正方形． 证明：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点 ∴，，，， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， 四边形为菱形， ∵，，， ， ∴， ， ∴菱形为正方形． 05 期中过关•检测 1．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可知，再结合即可求出的度数． 【详解】解：如下图： 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 2．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含角的直角三角形和勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 由平移的性质可知：，， 四边形为平行四边形， 点A对应直尺的刻度为14，点对应直尺的刻度为0， ， ． 3．如图，在中，，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则的长是（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由平行四边形的性质可得，，，由邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由可得，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，则，求出的长，即可求出的长． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴． 4．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解． 【详解】解：∵,, ∴, ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 5．如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过延长交于，构造直角三角形与全等三角形，先证得到，结合勾股定理求出、的长度，再利用直角三角形的性质与勾股定理求出，最终得到的长度，同时逐一判断选项． 【详解】解：延长交于． ∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∴, ∵，， ∴, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，则③，其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3．个 【答案】C 【分析】①通过平行四边形的性质分析、列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和三角形三边关系求出的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ， 同理可证 ，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴ ， 在中，根据三角形三边关系：， ∴，即 ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴​， ∵​，​ ∴​， ∵​， ∴​， ∵​， ∴，结论③正确 综上，正确的结论是②和③．即选项C符合题意． 7．如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论：①，②，③，④中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长、交于点，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：延长、交于点，如图所示， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点，∴， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴，， ∴②正确； ∵，∴， ∴，∴， ∴①正确； ∴， ∴， ∴， ∴④正确； 由现有条件无法证明，③不一定正确； 故选：C ． 8．如图，在中，，、分别是、的平分线分别交于点、，交于点，若，，则的长为______________． 【答案】1 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义，推出，，得到，再推出是等边三角形，即可得解． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ， ∴， 是等边三角形， ， ． 9．如图，在中，平分，交于点E，交延长线于点F．若，，则的长为______________． 【答案】 8 【分析】利用平行四边形的性质得出，，进而得出，再利用角平分线的性质推出，进而得到，得到，同理可得：，即可得出答案． 【详解】解：平行四边形，， ，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ，， ． 10．如图，在中，，是边上的动点，连结，过点作于点．则的值是_____． 【答案】 12 【分析】将转化为与面积相关的表达式．因为平行四边形中，且已知，，所以可利用平行四边形的面积公式，结合与平行四边形的面积关系求解． 【详解】过作边上的高，连结， 在平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ． ∵动点在上时， ∴ ． ∵， ∴， 代入， 得， 整理得． 11．如图，在中，，点是上一点，将沿折叠得到，连接，．下列结论：①当点落在边上时，；②当点为中点时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】② ③ ④ 【分析】根据平行四边形的性质，判定是等边三角形，过点E作于点F，根据勾股定理求解即可判定①错误；过点C作交延长线于点G，根据勾股定理求解即可判定②正确；设，则，计算可判定③正确；延长交于点M，根据勾股定理求解即可判定④正确； 【详解】解：当点落在边上时，如图，四边形是平行四边形， ， 由折叠可知，，， ， ，， ， ∴是等边三角形， ， 过点E作于点F， ，， 根据勾股定理可得， 在中，， 故①错误； 当点为中点时，如图，过点C作交延长线于点G， 因为四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， 在中，， 故②正确； 当时，则， 因为四边形是平行四边形， ， ， 设， 则， ， 故③正确； 当时，延长交于点M， 因为四边形是平行四边形， ， 由折叠可知，， ， ， ， ，， ，， 故． 故④正确； 综上，正确的有②③④． 12．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，，射线交于点E，交的延长线于点H，连接，的延长线交于点F，下列结论：①；②；③四边形的周长等于平行四边形周长的一半；④；⑤其中正确的结论是___________ 【答案】①②⑤ 【分析】根据平行四边形的性质结合已知得出，根据三线合一可得平分，，进而判断①，证明得出，即可判断②，进而求得四边形的周长为：，而平行四边形周长的一半为：，即可判断③，根据，在中，勾股定理即可判断④，根据平行线间的距离相等，由同底等高可得，，结合图形即可得出，进而判断⑤． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，，，， 平分， ， 故结论①正确； ， 又， 故结论②正确； 四边形的周长为： 平行四边形周长的一半为： 四边形的周长为： 即四边形的周长大于平行四边形周长的一半， 故结论③错误； 由①可得，，， ∴ 在中，， 又 ∴，故④不正确， ∵ ∴ ∴ 即 又∵ ∴ ∴故⑤正确． 13．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点若，，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】根据三角形中位线定理得到，再根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案即可． 【详解】解：矩形，， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， ，， ∵， ， 在中，， ． 14．如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交对角线于点G，作于点M，于点N，则______． 【答案】 【分析】过点Ｄ作于点H，由平行四边形的性质及含角的直角三角形的性质求出、的长，根据勾股定理求出的长，由旋转的性质得出为等边三角形，最后利用面积法即可求的长． 【详解】解：作于点H 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知： ， 是等边三角形， ，，， 即． 15．如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，易证，得出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ． 16．如图，在中，是对角线，作于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，时，求的周长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而通过两直线平行内错角相等得到，结合已知条件即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，，结合已知条件可证得是等腰直角三角形，从而求得的长度，再利用勾股定理结合平行四边形的性质求出，最后利用平行四边形周长公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 17．如图，在中，，，E是所在直线上的动点，连接，将沿着对折，点A的对应点为． (1)当为等边三角形时，请判断和的位置关系： ； (2)如图2，当点E与点D重合时，恰好垂直，求重叠部分的面积； (3)若，当与平行四边形的边互相垂直时，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由等边三角形的性质证出，得出； （2）由折叠的性质得出，，求出，由三角形面积可得出答案； （3）分四种情况，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：若点E在的延长线上，，过点B作于点F， ∴由翻折可得，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，，过点B作于点F， 同理可得； 当点E在上时，，延长交于点M， ∵折叠， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，，延长交于点F， ∵折叠， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为或或或． 18．问题探究： (1)如图①，在和中，，，，求证：； (2)如图②，在五边形中，，，，，的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，，，，求证：； (3)问题解决：某区现有一块三角形空地，如图③所示，经测量：，，政府准备在空地内修建景观以丰富市民生活．为了方便游览，现计划在点处设立入口，在点和点处设立出口，并修建两条步道和．其中，点，分别在，上，要求，，若步道，请直接写出步道的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为 【分析】（1）根据已知条件证明， （2）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，利用其性质以及角平分线的定义，得出，则，结合平行四边形的性质，得出；分别连接，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而证明，再证明是等边三角形，即可得出结论； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中： ； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ； 如图，分别连接，， 点绕点逆时针旋转，得到点， ，， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， 在和中： ， ； ，， ， 即， 是等边三角形， ； （3）解：如图，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 19．在中，． (1)如图1，，连接和交于点，，求的面积； (2)如图2，，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为的中点，连接，且，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，已知，，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接和，当最小时，直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）中由平行四边形性质及判定为等边三角形，为菱形，利用菱形对角线性质求面积; （2）中连接交于点，由对顶角及得平分，证，再证，得，由直角三角形斜边中线性质得; （3）中过点作,由角得，作点关于的对称点，证为等边三角形，当共线时取最小值，为等边三角形的高，再求，得,根据的面积等于与边高的积的一半即可解题． 【详解】（1）解：, 为等边三角形， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ， 在中，， ∴， ∵，即 解得， ， ； （2）解：猜想，． 证明：连接交于点，连接， ，四边形为平行四边形， ， 又 ， 为等腰直角三角形，， 为中点， 平分，即，而（是等腰直角三角形）， ， ，， ，即平分， 在和中， ， ， 又， 为等腰直角三角形， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ，即为直角三角形， 又为中点， ， ∵为等腰直角三角形，， ． （3）解：四边形为平行四边形，， ， ， 过点作于点， 在中， ， ， ， ， 作点关于的对称点， 连接， ， ， 为等边三角形， 由对称性，， ， 当三点共线且时，取得最小值， 为等边三角形，边长为6， 由三线合一，为等边三角形的高， ， 即的最小值为， 此时为的中点（三线合一），， 中，， ， ∴， ， ∵的边的高 ， 当最小时，的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、将军饮马模型（最短路径问题）及三角形面积的计算．解题的关键是利用角构造垂直关系将转化为，再通过对称构造将军饮马模型求最值． 20．如图，已知在四边形中，、相交于点O，且，E、F分别是、的中点，连接． (1)求四边形的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）取中点P，连接，，根据三角形的中位线定义得出，，，，根据平行线的性质并结合可得出，最后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：取中点P．连接，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴． 21．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小明在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小明的思路作答： (1)若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小明思考问题的方法，解决以下问题： (2)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是菱形．请说明理由； (3)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】(1)四边形还是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）连接，根据中位线定理，可得，，，，从而，，再根据平行四边形的判定，即可说明； （2）根据中位线定理，易得，，从而，再根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可说明； （3）根据中位线定理，易得，，从而且，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，即可说明． 【详解】（1）解：四边形还是平行四边形，理由如下： 如图，连接， E，F分别是，的中点， ，， 同理可得，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形．理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， G，F分别是，的中点， ， ，， ， 四边形是菱形； （3）解：当且时，四边形是正方形．理由如下： 由（2）可知，四边形是菱形， G，F分别是，的中点， ， ，， ，即， 四边形是正方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行四边形的性质与判定、三角形的中位线 （期中复习讲义15种题型） 【题型01利用平行四边形的性质求线段长】 2 【题型02利用平行四边形的性质求角度】 4 【题型03利用平行四边形的性质求周长】 5 【题型04利用平行四边形的性质求面积】 6 【题型05利用平行四边形的性质证明】 7 【题型06添加条件判定是平行四边形】 8 【题型07平行四边形判定的证明】 9 【题型08平行四边形性质与判定的综合】 10 【题型09平行四边形与平面直角坐标系的综合】 13 【题型10平行四边形中的多结论判断问题】 14 【题型11平行四边形与折叠问题】 16 【题型12平行四边形与动点运动问题】 17 【题型13平行四边形与最值问题】 18 【题型14利用三角形的中位线计算】 19 【题型15利用三角形中位线证明】 21 1. 考查分值：占期中试卷15%~20%，是八下期中几何板块的核心考点，属于必考点、重点考点； 2. 考查题型：覆盖选择、填空、解答题，难度分层明显——基础题考查性质/判定的直接应用，中档题考查综合证明、计算，压轴题常结合折叠、动点、最值、平面直角坐标系考查（分值6~10分）； 3. 核心考点：① 平行四边形的性质（求线段长、角度、周长、面积）；② 平行四边形的判定；③ 三角形中位线的计算与证明；④ 平行四边形综合应用；⑤ 性质与判定的综合推理； 4. 易错点汇总：① 混淆平行四边形的性质与判定；② 三角形中位线与中线混淆；③ 折叠题漏标相等边、角；④ 坐标系中求顶点坐标漏解；⑤ 误用判定条件；⑥ 动点题未用参数表示线段； 5. 命题趋势：侧重基础应用与逻辑推理，基础题占60%、中档题30%、压轴题10%；三角形中位线结合生活实际，平行四边形结合折叠、动点，强调“数形结合”。 03 期中知识•梳理 知识点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等。即若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD、AD∥BC，且AB=CD、AD=BC； 2. 角的性质：两组对角分别相等，邻角互补。即∠A=∠C、∠B=∠D，且∠A+∠B=180°、∠B+∠C=180°（可推导所有邻角互补）； 3. 对角线的性质：对角线互相平分。即对角线AC、BD相交于点O，则OA=OC、OB=OD； 4. 其他性质：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；两条平行线之间的距离处处相等；平行四边形的对角线将其分成两个全等的三角形。 知识点2：平行四边形的判定 1. 定义判定（最基础）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（AB∥CD且AD∥BC ⇒ 四边形ABCD是平行四边形）； 2. 边的判定：① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（AB=CD且AD=BC ⇒ 平行四边形）；② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（AB∥CD且AB=CD ⇒ 平行四边形）； 3. 角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（∠A=∠C且∠B=∠D ⇒ 平行四边形）； 4. 对角线的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形（OA=OC且OB=OD ⇒ 平行四边形）； 5. 易错提醒：① 一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（反例：等腰梯形）；② 对角线相等的四边形不一定是平行四边形。 知识点3：三角形的中位线 1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形有3条中位线，中位线不与三角形的中线重合（中线是连接顶点与对边中点的线段）； 2. 核心性质（必考）：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。即若D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC，且DE=BC； 3. 推论：① 三角形的三条中位线围成的三角形，周长是原三角形周长的½，面积是原三角形面积的¼；② 中位线分得的两个三角形全等，且与原三角形相似（相似比1:2）； 4. 核心作用：转化线段（将长线段转化为短线段，或反之）、转化平行关系，常用于求线段长度、证明两直线平行。 04 期中题型•汇总 【题型01利用平行四边形的性质求线段长】 核心技巧：紧扣“对边相等、对角线互相平分”，结合勾股定理、角平分线、全等三角形求解。已知对边直接用相等关系，对角线相交用平分性质转化线段；角平分线+对边平行可推导等腰三角形，复杂题型连接对角线转化为三角形求解。 【典例1】．如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式1】．如图，在中，，，于E，，的平分线交于F，连接．则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，平行四边形中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型02利用平行四边形的性质求角度】 核心技巧：牢记“对角相等、邻角互补”，结合平行线性质求解。已知一角用对角相等求对角，用邻角互补求邻角；平行线与角平分线结合先求等腰三角形底角，复杂题型结合三角形内角和辅助计算，标清已知角避免混淆。 【典例2】．如图，在中，，平分交边于点，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【变式1】．如图，中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，，由尺规作图的痕迹，则的度数为________． 【变式3】．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 【题型03利用平行四边形的性质求周长】 核心技巧：掌握公式“周长=2（一组邻边之和）”，简化计算。已知一组邻边直接代入；已知一边及与另一边的关系，设未知数结合对边相等表示另一边；已知对角线与边长关系，结合勾股定理求未知边再计算。 【典例3】．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【变式1】．如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，若的周长是12，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．32 D．44 【变式2】．如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ______． 【变式3】．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是________． 【题型04利用平行四边形的性质求面积】 核心技巧：灵活运用两种方法：① 基本公式“面积=底×高”（注意底与高对应）；② 同底等高平行四边形面积相等，可转化底高；无直角时作高构造直角三角形求解。 【典例4】．如图，点E在平行四边形的边上，的面积记为，的面积记为，的面积记为，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D．以上结论都不对 【变式1】．如图，在平行四边形中，，是的中点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是（    ）平方厘米． A．10 B．12 C．15 D．8 【变式2】．如图，五边形中，，交于点O，四边形是平行四边形，若的面积是5，四边形的面积是6，则的面积是________． 【变式3】．如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是______． 【题型05利用平行四边形的性质证明】 核心技巧：明确证明目标，结合性质推导。证明线段相等用对边相等、对角线平分或三角形全等；证明角相等用对角相等、邻角互补或平行线性质；证明平行用对边平行或角的关系，步骤规范，先说明平行四边形再引用性质。 【典例5】．已知：如图，点为平行四边形对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．求证：． 【变式1】．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【变式2】．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式3】．如图，平行四边形中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F．求证： (1)是等边三角形； (2)； (3)． 【题型06添加条件判定是平行四边形】 核心技巧：“缺啥补啥”，结合4种判定方法，避免错误条件。已知一组对边平行，补另一组平行或该组相等；已知一组对边相等，补平行或另一组相等；已知对角线一角平分，补另一角平分；禁忌添加“一组对边平行+另一组对边相等”。 【典例6】．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 【题型07平行四边形判定的证明】 核心技巧：选择最优判定方法简化步骤，有“平行+相等”优先用对应判定，有对角线优先用平分判定。先推导判定条件，再下判定结论；条件不足时连接对角线，通过全等推导对边相等或对角线平分，不跳过步骤。 【典例7】．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【变式1】．如图，在四边形中，，垂足分别为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【变式2】．如图，在四边形中，，对角线，交于点，且，点为上一点，延长交于点． (1)求证：； (2)四边形为平行四边形． 【变式3】．如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【变式4】．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【变式5】．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【题型08平行四边形性质与判定的综合】 核心技巧：分清逻辑顺序，“先判定后性质”或“先性质后判定”。先证四边形是平行四边形，再用性质求解；或先用性质得条件，再证另一四边形是平行四边形，标清相等边、角，辅助线以连接对角线为主。 【典例8】．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①________，________（用含的式子表示）； ②若，求的长． (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【变式2】．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 【变式3】．如图，点C是线段的中点，，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【变式4】．在一次数学活动课上，小明把两块完全相同且含角的直角三角板和按如图的位置放置，三角板的边长． (1)四边形是平行四边形吗？请说明理由． (2)小明在上放置一动点P，点P从A点出发，沿方向以的速度在射线上运动． ①P点运动几秒时，是等腰三角形？ ②的面积之和记作S，设P点运动了． a．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若会改变，请说明理由，若不会改变，请求出S的值． b．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若不会改变，请说明理由，若会改变，请写出S随 t变化的函数关系式． 【变式5】．在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 【题型09平行四边形与平面直角坐标系的综合】 核心技巧：利用对边平行（横/纵坐标差相等）、对角线平分（中点坐标相同）求解。设未知顶点坐标，结合中点公式或平行关系列方程；分类讨论对角线不同情况，避免漏解，核对横纵坐标对应关系。 【典例9】．如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标依次为，，将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段，则四边形的周长为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，，，连接，已知点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，现同时将点分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到点的对应点，连接． (1)求点C，D的坐标：C______，D______，______； (2)在x轴上有一点P，使得，求点P的坐标． 【题型10平行四边形中的多结论判断问题】 核心技巧：逐一验证结论，结合平行四边形、全等、等腰三角形等知识排除错误选项。优先验证简单结论，画图标注条件，假设结论成立推导是否矛盾；验证特殊情况，举反例快速排除错误，提高效率。 【典例10】．如图，在中，，，于点，于点，．连接，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接．过点作交于点．则下列结论正确的有（    ）个． ①；②为等腰直角三角形；③四边形的周长为．    A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1】．如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】．如图，在和中，，，，是的中线，相交于点，以下7个结论：①；②；③；④的面积等于的面积；⑤；⑥平分；⑦平分，其中正确结论的个数是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【题型11平行四边形与折叠问题】 核心技巧：抓住折叠前后全等性（对应边、角相等，折痕垂直平分对应点连线）。标全相等边、角，结合平行四边形性质转化线段角度，利用勾股定理、等腰三角形列方程求解，避免漏标相等关系。 【典例11】．将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【变式2】．如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【变式3】．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【题型12平行四边形与动点运动问题】 核心技巧：用含t的代数式表示动点相关线段长度，结合判定条件列方程。确定动点轨迹、速度，用t表示线段；根据平行四边形判定列方程求解t，验证动点位置合理性，分类讨论不同运动位置。 【典例12】．如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）    A． B． C．或 D．或 【变式1】．如图，在中，，点P在边上以的速度从点A出发在上往返运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（点P同时也停止运动），设运动时间为秒，若四边形是平行四边形，则t的值是________．      【变式2】．如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【变式3】．如图，在中，，的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． （1）则和之间的距离为 _____； （2）当平分的面积时，则____________． 【题型13平行四边形与最值问题】 核心技巧：结合将军饮马模型、垂线段最短，利用平行四边形性质转化动点轨迹。将线段转化到同一直线，构造对称点或利用垂线段最短，将最值问题转化为基本模型，简化求解。 【典例13】．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E．若点P是直线l上的一个动点，则+PB的最小值_______． 【变式1】．如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 【变式2】．如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________． 【变式3】．如图，平行四边形ABCD中，，，，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转，得到EG，连接BG、CG，则的最小值__________． 【题型14利用三角形的中位线计算】 核心技巧：紧扣“平行于第三边且等于第三边的一半”，先确定中位线。已知中位线求第三边（第三边=2×中位线），已知第三边求中位线（中位线=½×第三边）；复杂题型构造中位线转化线段，区分中位线与中线。 【典例14】．如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【变式2】．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【变式3】．如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为______． 【题型15利用三角形中位线证明】 核心技巧：证明平行或线段倍分关系时，优先构造中位线。连接两边中点利用中位线平行性质证平行；构造中位线利用倍分关系证线段倍分，无中点时取中点构造，步骤规范，先说明中位线再用性质。 【典例15】．如图，E，F，G，H分别是四边形的四边中点．求证：四边形是平行四边形．（提示：连接或，利用三角形中位线的性质） 【变式1】．如图，在四边形中，，、、、分别为、、、的中点，顺次连接、、、． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【变式2】．如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)若，求的度数； (2)若为的中点，，和互余，求的长度． 【变式3】．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明； (3)若，，，，求四边形的周长． 【变式4】．综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 05 期中过关•检测 1．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则的长是（    ） A．6 B．3 C． D． 4．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 5．如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 6．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，则③，其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3．个 7．如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论：①，②，③，④中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在中，，、分别是、的平分线分别交于点、，交于点，若，，则的长为______________． 9．如图，在中，平分，交于点E，交延长线于点F．若，，则的长为______________． 10．如图，在中，，是边上的动点，连结，过点作于点．则的值是_____． 11．如图，在中，，点是上一点，将沿折叠得到，连接，．下列结论：①当点落在边上时，；②当点为中点时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是_____． 12．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，，射线交于点E，交的延长线于点H，连接，的延长线交于点F，下列结论：①；②；③四边形的周长等于平行四边形周长的一半；④；⑤其中正确的结论是___________ 13．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点若，，则线段的长为________． 14．如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交对角线于点G，作于点M，于点N，则______． 15．如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 16．如图，在中，是对角线，作于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，时，求的周长． 17．如图，在中，，，E是所在直线上的动点，连接，将沿着对折，点A的对应点为． (1)当为等边三角形时，请判断和的位置关系： ； (2)如图2，当点E与点D重合时，恰好垂直，求重叠部分的面积； (3)若，当与平行四边形的边互相垂直时，求线段的长度． 18．问题探究： (1)如图①，在和中，，，，求证：； (2)如图②，在五边形中，，，，，的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，，，，求证：； (3)问题解决：某区现有一块三角形空地，如图③所示，经测量：，，政府准备在空地内修建景观以丰富市民生活．为了方便游览，现计划在点处设立入口，在点和点处设立出口，并修建两条步道和．其中，点，分别在，上，要求，，若步道，请直接写出步道的长． 19．在中，． (1)如图1，，连接和交于点，，求的面积； (2)如图2，，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为的中点，连接，且，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，已知，，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接和，当最小时，直接写出此时的面积． 20．如图，已知在四边形中，、相交于点O，且，E、F分别是、的中点，连接． (1)求四边形的面积； (2)求的长． 21．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小明在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小明的思路作答： (1)若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小明思考问题的方法，解决以下问题： (2)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是菱形．请说明理由； (3)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $