精品解析：广东深圳市南山区2025-2026学年第二学期九年级学业质量检测数学学科试卷

2025-2026学年第二学期 九年级学业质量检测数学学科试卷 说明：1．全卷共6页． 2．考试时间为90分钟，满分100分． 3．答题前，考生务必将姓名、班级、考号用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，答案须写在答题卡各题目指定区域相应位置上．不准使用涂改液．在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为( ) A. 三人坐一辆车，有一车少坐2人 B. 三人坐一辆车，则2人需要步行 C. 三人坐一辆车，则有两辆空车 D. 三人坐一辆车，则还缺两辆车 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若正方形的边长为9，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）则大楼的高度是（ ）米．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：，精确到整数） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 第Ⅱ卷（非选择题共76分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 8. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为________． 9. 在平面直角坐标系中，是平面内一点，且点到轴、轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点的坐标________． 10. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上、顶点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若图像经过点C，且，则k的值为______． 12. 如图，在正方形中，是边上的一点，点在的延长线上，，为的中点，点在边上，．若，，则的长为________． 三．解答题（共7小题，满分61分） 13. 计算：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 今年是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为________，并将直方图补充完整； （2）已知这组的具体成绩为，则这8个数据的中位数是________； （3）若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数； （4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率． 16. 阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： （1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ （2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 17. 如图，在等腰中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰上． （1）请画出(尺规作图，保留作图痕迹)； （2）求证：与相切； （3）当，时，求的半径． 18. 【综合与实践】 【情境导入】 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： … 【探究任务】 （1）根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． （2）若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． ③在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底的横坐标的取值范围． 19. 【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． （1）【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； （2）【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； （3）【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期 九年级学业质量检测数学学科试卷 说明：1．全卷共6页． 2．考试时间为90分钟，满分100分． 3．答题前，考生务必将姓名、班级、考号用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，答案须写在答题卡各题目指定区域相应位置上．不准使用涂改液．在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 科学记数法，将原数表示为的形式，其中，为整数． 【详解】解：， 故选：D． 3. 一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.20，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知，该球的频率稳定在0.20左右，所以抽到该球的概率为0.20， ∵抽到白球的概率为：， 抽到黑球的概率为：， 抽到红球的概率为：， 抽到黄球的概率为：， ∴该球的颜色最有可能是红色． 故选：B． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式大于零，且二次项系数不为零．本题中二次项系数为1，已满足，故只需判别式大于零． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴， ∴ ，即， ∴ 实数的取值范围为． 故选：A． 5. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为( ) A. 三人坐一辆车，有一车少坐2人 B. 三人坐一辆车，则2人需要步行 C. 三人坐一辆车，则有两辆空车 D. 三人坐一辆车，则还缺两辆车 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程组中2个方程表示的意义即可求解． 【详解】解：∵小明同学设有x辆车，人数为y， 表示若2人坐一辆车，则9人需要步行， 表示三人坐一辆车，则有两辆空车， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若正方形的边长为9，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出，结合相似三角形的对应边成比例得到比例式，进而得出的长，由此即可得出点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键； 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， 由题意得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 7. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）则大楼的高度是（ ）米．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：，精确到整数） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作，垂足为E，过点B作，垂足为D，可得四边形是矩形，得到，根据斜坡的坡度设米，则米，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而表示出的长，在中，利用锐角三角函数表示出的长，即可得到关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作于点E，过点B作于点D，则 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴设米，则米， ∵在中，， ∴，解得， ∴米，米， 设米， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴，解得：， ∴（米）， ∴大楼的高度约为92米． 第Ⅱ卷（非选择题共76分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 8. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知根代入方程即可求解． 【详解】解：把代入方程得， ， ， 解得． 9. 在平面直角坐标系中，是平面内一点，且点到轴、轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点的坐标________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据点到轴、轴的距离即可判断出点的可能性，从而写出符合条件的坐标，解题的关键在于熟练掌握点到轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到轴的距离即点的横坐标的绝对值． 【详解】解：点到轴、轴的距离分别为2，5， ，． 所在的象限不确定， （答案不唯一）． 10. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上、顶点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若图像经过点C，且，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA＝OE，得到OE＝2OB，求得OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝3x，根据相似三角形的性质得到 ，即，求得S△BDF＝，S△CDF＝，即可求得S△CDO＝S△BDC＝6，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接OC，BD， ∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处， ∴OA＝OE， ∵点B恰好为OE的中点， ∴OE＝2OB， ∴OA＝2OB， 设OB＝BE＝x，则OA＝2x， ∴AB＝3x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3x， ∵CDAB， ∴△CDF∽△BEF， ∴，即， ∵S△BEF＝， ∴S△BDF＝，S△CDF＝， ∴S△BCD＝6， ∴S△CDO＝S△BDC＝6， ∴｜k｜＝2S△CDO＝12， ∵反比例函数图像在第二象限 ∴k<0 ∴k＝－12 故答案为：－12 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，是边上的一点，点在的延长线上，，为的中点，点在边上，．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，添加辅助线是解答的关键． 设，先利用正方形的性质和直角三角形的性质求得，则，过N作于P，过M作于Q，利用等腰三角形的性质和勾股定理分别求得，，证明是等腰直角三角形，设，则，，利用等面积法列方程求得，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， 在正方形中，，， 在中，，， ∵为的中点，， ∴，则， 由勾股定理得， 解得（负值舍去），则， 过N作于P，过M作于Q，如图， 则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则，， ∵， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴， 在中，， 由勾股定理得， 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分61分） 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂和二次根式化简，代入特殊角的三角函数值，再进一步计算即可． 【详解】解： ． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分进行化简，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 今年是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为________，并将直方图补充完整； （2）已知这组的具体成绩为，则这8个数据的中位数是________； （3）若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数； （4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率． 【答案】（1）50，， 频数分布直方图补充如下图： （2）95 （3）620人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据“”计算本次共抽取学生数，根据“一般抽取总学生数较差良好优秀”，结合计算的数据将直方图补充完整，根据“圆心角度数”计算“一般”对应的圆心角的度数； （2）将成绩按从低到高排列后，取中间两数的平均数为中位数； （3）根据用样本估计总体计算该校学生掌握程度达到良好及以上的人数； （4）用列表法列举出所有等可能的情况，计算即可． 【小问1详解】 解：本次共抽取学生：（人）， 竞赛成绩“一般”的学生数：（人）， “一般”对应的圆心角的度数为：， 【小问2详解】 解：将这组的具体成绩从低到高排列：， 这8个数据的中位数是：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数为620人； 【小问4详解】 解：从3名女生，1名男生中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，列表如下： 男 女 女 女 男 （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 共有12种等可能的情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果， ， 答：恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为． 16. 阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： （1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ （2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷 （2）采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元 【解析】 【分析】（）设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，根据题意列出方程解答即可求解； （）设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，根据题意求出的取值范围和与的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷， 由题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷； 【小问2详解】 解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， 的值随的增大而减小， 当时，（万元）， 此时乙型无人机（台）， 答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元． 17. 如图，在等腰中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰上． （1）请画出(尺规作图，保留作图痕迹)； （2）求证：与相切； （3）当，时，求的半径． 【答案】（1） 即为所求； （2） 证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为 ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判断，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． 18. 【综合与实践】 【情境导入】 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： … 【探究任务】 （1）根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． （2）若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． ③在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2）①这棵小树的最大可能高度是；②点坐标为；③ 【解析】 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②过作于点，连接，设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案； ③可证明四边形是平行四边形，则，即直线与抛物线要有两个不同的交点，求出直线恰好经过点P和直线与抛物线恰好只有一个交点时点N的横坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过作于点，连接， 设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为 ∵， ∴为中点，即 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点坐标为； ③如图所示，由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即直线与抛物线要有两个不同的交点， ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 在中， 当时，， ∴， 当直线恰好经过点时， 则， 解得， ∴此时设直线的解析式为， 联立 得， 解得或， ∴此时点N的横坐标为； 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 联立 得， 即， ∴， 解得， ∴方程 即为方程， 解得， ∴此时点N的横坐标为； 综上所述，． 19. 【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． （1）【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； （2）【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； （3）【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，的长是或 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解： ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； 【小问2详解】 如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； ∴ 【小问3详解】 分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $