精品解析：青海省2026年初中学业水平考试模拟试卷数学

青海省2026年初中学业水平考试模拟试卷 数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“江”字一面的相对面上的字是（ ） A. 山 B. 此 C. 多 D. 娇 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 太阳从西边升起 C. 三条长为1，2，3的线段能围成三角形 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 4. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各图象中，表示是的函数的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ① 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ） A. B. 图象与轴的另一个交点为 C. D. 当时，随的增大而减小 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若式子有意义，则实数的取值范围是_______． 10. 因式分解多项式：_____________． 11. 已知，则______． 12. 如图，在中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为______． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则________． 14. 如图，为的弦，直径于点，，，则的半径为_______． 15. 晨晨家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光晨晨设计了下图所示的直角遮阳篷，既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行），此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为，则遮阳篷的宽度______． 16. 观察一组等式的规律：，，，…，则第n个等式为：________．． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解分式方程： 19. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第二象限交于点． （1）求反比例函数的解析式： （2）过点作轴，垂足为，若点在反比例函数图象上，且的面积等于3，求点的坐标． 20. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）作的垂直平分线与，分别交于点，（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； （2）与交于点，求证：； （3）连接，，求证：四边形是菱形． 21. 某汽车销售公司计划购进，两种型号的新能源汽车，1辆型汽车和1辆型汽车总进价万元；2辆型汽车和3辆型汽车总进价127万元， （1）求每辆型汽车和型汽车的进价分别为多少万元？ （2）现公司购进，两种型号新能源汽车共20辆，每辆型汽车售价为万元，每辆型汽车售价为万元，为保证将这20辆车全部售出后所得利润不低于25万元，那么这个公司最多能购进型汽车多少辆？ 22. 如图，是的直径，为圆上一点，平分交于点，过点作的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）已知，，求的长． 23. 数学实践——谁的反应快 【活动准备】一把有刻度的直尺，一支铅笔． 【活动过程】 ①甲同学伸出一只手，将拇指和其余四指分开． ②乙同学把直尺直立，刻度0在下方，使刻度0的位置与拇指在同一高度，然后松手，甲同学以最快的速度抓住直尺，记录手抓在直尺上的刻度（单位：），重复试验10次． ③甲乙同学对调，重复上面过程，记录并整理试验所得数据． 【数据收集与整理】 第几次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.6 13 10.5 8.4 10.7 10.5 7.6 9.4 11.3 8 11 11.4 5.3 8.7 8 9.6 11.4 10 11.2 11.4 【数据分析】 数据 同学 平均数 中位数 众数 方差 甲 10.5 10.5 2.682 乙 3.586 （1）请补全表格中的数据：__________，__________，__________． 【数据应用】 （2）值的大小与反应速度快慢的关系是：__________； （3）甲、乙两位同学中__________同学的反应快（填“甲”或“乙”），并简要说明理由：_______________； （4）甲、乙两位同学中__________同学的反应速度比较稳定（填“甲”或“乙”），并简要说明理由：______________________________． 24. 如图，在矩形中，边上有一动点（不与，点重合）连接，作交于点． （1）求证：； （2）已知，，若的长为，的长为． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围． ②当的长为多少时，的长最大，最大为多少？ 25. 综合与探究 在凸多边形（以下简称为“多边形”）的各个顶点处作半径为1的圆且两两不相交，我们把这样的圆叫做多边形的“顶点圆”．现探索多边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和与多边形边数之间的关系． 探索任务： （1）任务1：如图①，三角形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________． （2）任务2：如图②，四边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________． （3）任务3：如图③，求五边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和．请写出过程（提示：五边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，）． （4）任务4：如图④，六边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和__________． 归纳： （5）推广到边形（）中，边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海省2026年初中学业水平考试模拟试卷 数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“江”字一面的相对面上的字是（ ） A. 山 B. 此 C. 多 D. 娇 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据正方体表面展开图可知，有“江”字一面的相对面上的字是“娇”． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 太阳从西边升起 C. 三条长为1，2，3的线段能围成三角形 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念，解题思路是根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义，结合相关数学知识和生活常识逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵ 根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都是， ∴ A是必然事件． ∵ 太阳不可能从西边升起， ∴ B是不可能事件，不符合要求． ∵ 三角形三边需满足任意两边之和大于第三边，，不满足三边关系，不能围成三角形， ∴ C是不可能事件，不符合要求． ∵ 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是不确定的， ∴ D是随机事件，不符合要求． 4. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质求出的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∵，， ∴． 5. 方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，两点相对位置不变，以点为原点时点的坐标已知，以为原点时，点的横、纵坐标分别为点A坐标对应横、纵坐标的相反数，据此计算即可. 【详解】解：以点为原点建立平面直角坐标系时，点的坐标为， 即点相对于点的横坐标为，纵坐标为， 当以点为原点建立平面直角坐标系时，点相对于点的横纵坐标，与点相对于点的横纵坐标互为相反数， 点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 6. 下列各图象中，表示是的函数的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ① 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：表示是的函数； 不符合函数的定义； 表示是的函数； 不符合函数的定义． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂乘法法则逐一判断选项． 【详解】解：∵，故A错误． ∵，故B错误． 不是同类项，不能合并，故C错误． ，故D正确． 8. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ） A. B. 图象与轴的另一个交点为 C. D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与 轴正半轴交点坐标为，故B正确，不符合题意； ∴，则，即，故C错误，符合题意； 由图象知，当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若式子有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 10. 因式分解多项式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 已知，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据已知等式求出的值，再将所求代数式变形为含的形式，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 12. 如图，在中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，则可求出的长，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴的周长． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况以及根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得，进行求解即可，熟练掌握根的判别式的应用是解决此题的关键． 【详解】由题意，得， 解得， 故答案为：． 14. 如图，为的弦，直径于点，，，则的半径为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，不妨设，利用垂径定理，可得，然后在中利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，不妨设，如图所示： 于点，， ， ，， ， ， ， ． 15. 晨晨家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光晨晨设计了下图所示的直角遮阳篷，既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行），此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为，则遮阳篷的宽度______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，推出，在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 16. 观察一组等式的规律：，，，…，则第n个等式为：________．． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察上面的等式，可以发现一个数乘以比它大2的数再加上1，结果等于比它大1的数的平方，根据此规律可得答案． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， ……， 以此类推，第n个等式为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【详解】解： ． 18. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第二象限交于点． （1）求反比例函数的解析式： （2）过点作轴，垂足为，若点在反比例函数图象上，且的面积等于3，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把点代入函数解析式，求k值即可； （2）先确定，，得到，设，由的面积等于3，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得， 故反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：一次函数的图象与轴交于点， 当时，，解得， 故， 轴，垂足为， 故， 故， 设，由的面积等于3， 故， 故， ， 解得或， 当时，； 当时，， 故或． 20. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）作的垂直平分线与，分别交于点，（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； （2）与交于点，求证：； （3）连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图，的垂直平分线与，分别交于点，； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴； （3） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径画圆，两圆相交于两点，过两点的直线即为的垂直平分线； （2）先根据平行四边形的性质推出，再根据垂直平分线的定义得，，即可证明； （3）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可证明四边形是平行四边形，根据垂直平分线的性质得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 某汽车销售公司计划购进，两种型号的新能源汽车，1辆型汽车和1辆型汽车总进价万元；2辆型汽车和3辆型汽车总进价127万元， （1）求每辆型汽车和型汽车的进价分别为多少万元？ （2）现公司购进，两种型号新能源汽车共20辆，每辆型汽车售价为万元，每辆型汽车售价为万元，为保证将这20辆车全部售出后所得利润不低于25万元，那么这个公司最多能购进型汽车多少辆？ 【答案】（1）每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元 （2）10 【解析】 【分析】（1）设每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元，根据汽车数量和总价格可列出关于，的方程组即可求解； （2）设购进A型汽车辆，可以表示出B型汽车的数量，再根据利润售价进价，可用关于的代数式表示出总利润，从而列出关于的不等式即可求解此题． 【小问1详解】 解：设每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元， 由题意得， 解得， 答：每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元． 【小问2详解】 设购进A型汽车辆．则购进B型汽车辆， 根据题意得：， 解得 ， 答：最多能购进A型汽车10辆． 22. 如图，是的直径，为圆上一点，平分交于点，过点作的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的定义和等边对等角推出，则可证明，进而可证明，则可证明是的切线； （2）连接，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23. 数学实践——谁的反应快 【活动准备】一把有刻度的直尺，一支铅笔． 【活动过程】 ①甲同学伸出一只手，将拇指和其余四指分开． ②乙同学把直尺直立，刻度0在下方，使刻度0的位置与拇指在同一高度，然后松手，甲同学以最快的速度抓住直尺，记录手抓在直尺上的刻度（单位：），重复试验10次． ③甲乙同学对调，重复上面过程，记录并整理试验所得数据． 【数据收集与整理】 第几次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.6 13 10.5 8.4 10.7 10.5 7.6 9.4 11.3 8 11 11.4 5.3 8.7 8 9.6 11.4 10 11.2 11.4 【数据分析】 数据 同学 平均数 中位数 众数 方差 甲 10.5 10.5 2.682 乙 3.586 （1）请补全表格中的数据：__________，__________，__________． 【数据应用】 （2）值的大小与反应速度快慢的关系是：__________； （3）甲、乙两位同学中__________同学的反应快（填“甲”或“乙”），并简要说明理由：_______________； （4）甲、乙两位同学中__________同学的反应速度比较稳定（填“甲”或“乙”），并简要说明理由：______________________________． 【答案】（1）；； （2）值越小，反应速度越快；值越大，反应速度越慢； （3）乙，乙的平均数小于甲的平均数 （4）甲；因为甲的方差比较小，反应速度比较稳定 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和方差的定义进行计算即可； （2）值越小，反应速度越快；值越大，反应速度越慢； （3）根据平均数大小进行判断即可； （4）根据方差的大小进行判断即可． 【小问1详解】 解：； 中位数是第和个数据的平均数， 将数据从小到大进行排列：， ； 众数为出现次数最多的数据，出现了次， ； 【小问2详解】 解：值越小，反应速度越快；值越大，反应速度越慢； 【小问3详解】 解：， 故甲、乙两位同学中乙同学的反应快，因为乙的平均数小于甲的平均数； 【小问4详解】 解：， 故甲、乙两位同学中甲同学的反应速度比较稳定，因为甲的方差比较小，反应速度比较稳定． 24. 如图，在矩形中，边上有一动点（不与，点重合）连接，作交于点． （1）求证：； （2）已知，，若的长为，的长为． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围． ②当的长为多少时，的长最大，最大为多少？ 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①；②当，的长最大，最大为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，则，再由垂线的定义和平角的定义可得，则可证明，据此可证明结论； （2）①根据相似三角形的性质得到，即，据此可得答案；②利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由题意得，， ∵， ∴，即， ∴； ②， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴当，的长最大，最大为． 25. 综合与探究 在凸多边形（以下简称为“多边形”）的各个顶点处作半径为1的圆且两两不相交，我们把这样的圆叫做多边形的“顶点圆”．现探索多边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和与多边形边数之间的关系． 探索任务： （1）任务1：如图①，三角形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________． （2）任务2：如图②，四边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________． （3）任务3：如图③，求五边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和．请写出过程（提示：五边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，）． （4）任务4：如图④，六边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和__________． 归纳： （5）推广到边形（）中，边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）设，对应的阴影部分面积为， 根据三角形内角和，扇形面积公式求解即可． （2）仿照（1）求解即可． （3）仿照前面的求解解答即可． （4）仿照前面的求解解答即可． （5）仿照全面的求解解答即可． 【小问1详解】 解：设，对应的阴影部分面积为， 根据题意，得， 由， 故； 【小问2详解】 解：设，对应的阴影部分面积为， 根据题意，得， 由， 故； 【小问3详解】 解：设五边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，， 根据题意，得，由， 故 ． 【小问4详解】 解：设六边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，， 根据题意，得， 由 ， 故 ． 【小问5详解】 解：设n边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，， 根据题意，得， 由 ， 故 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $