精品解析：安徽合肥市第三十八中学2025-2026学年下学期期中考试八年级 数学 试题卷

八年级数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程的两根分别为．则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 5. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 20 8. 若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 9. 如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 9.6 B. 6 C. 4.8 D. 10 10. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（ ） A. 或 B. 1或 C. 或 D. 1或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 式子有意义的的取值范围是______． 12. 如下是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是______． 新对话： 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同． 13. 已知：，则的值为______． 14. （1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则线段的长为______； （2）如图2，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足_____条件时，． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算和解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 16. 先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． （1）在中，已知，，，求的边上的高； （2）一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 20. 阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习（勾股定理）一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数． 关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是（九章算术）． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数； （2）若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． （1）______（用含的代数式表示）； （2）点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； （3）点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 22. 项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 七、（本大题共1小题，满分14分） 23. 在中，，点，分别是，上的点，连接． （1）【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） （2）【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长： （3）【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽的因数或因式，对四个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 2. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性和二次根式的基本性质，对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C，，计算正确，故选项符合题意； D，，故选项不符合题意 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和化简规则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； C、 ，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意． 4. 若一元二次方程的两根分别为．则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程为，且其两根分别为， ∴． 5. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 6. 下列一元二次方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项，， 方程没有实数根，符合题意； C选项，， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； D选项，， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 7. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】先判断为等腰直角三角形，得到与相等，再利用勾股定理计算斜边的长即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ， ， ， ． 8. 若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开等式，整理得到三边的平方关系，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形形状 【详解】解：∵ ， ∴ ， 整理得：， ∴该三角形是直角三角形． 9. 如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 9.6 B. 6 C. 4.8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一性质求出的长，利用轴对称性质将转化为，根据垂线段最短可知当时取得最小值，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，（等腰三角形三线合一）， 在中，， ∴， 作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∵是的平分线， ∴点在上， ∴， 当、、三点共线且时，有最小值，最小值为边上的高， 设边上的高为， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值是． 10. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（ ） A. 或 B. 1或 C. 或 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】根据新运算定义，分和两种情况列一元二次方程，求解后舍去不符合前提的解，即可得到的值，选出正确选项． 【详解】解：当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，x的值为或． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 式子有意义的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， ∵， ∴恒成立， ∴． 12. 如下是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是______． 新对话： 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同． 【答案】1 【解析】 【分析】设这个数为，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个数为，根据题意列方程得： ， ∴ ∴ 解得：． 13. 已知：，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 14. （1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则线段的长为______； （2）如图2，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足_____条件时，． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得 ，从而 ，，结合等边三角形性质可证，进而判定  为等边三角形，得出 ； （2）同理根据旋转性质和等腰直角三角形性质可证  为等腰直角三角形，得出 ，若，则在  中利用勾股定理，代入  即可得出关系式． 【详解】（1）解： 为等边三角形，  ，  绕点  顺时针旋转后到 ，  ， ， ， ，   为等边三角形， ； 故答案为： 4； （2）解：，理由如下：  为等腰直角三角形，，  ，  绕点  顺时针旋转后得到 ，  ， ， ，  为等腰直角三角形， ， 当  时， 为直角三角形， ， ，  ． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算和解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂先化简，再合并即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 16. 先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 【答案】a2+6a，4﹣3． 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法将原式变形，进而把已知代入求出答案． 【详解】解：原式＝2（a2﹣3）﹣a2+6a+6 ＝2a2﹣6﹣a2+6a+6 ＝a2+6a 把a＝﹣1代入，得， 原式＝a2+6a＝（﹣1）2+6（﹣1） ＝4﹣3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 【答案】该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 【解析】 【分析】设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x，根据2023年和2025年的项目营业收入建立方程求解即可． 【详解】解：设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x． 根据题意得． 解得，（舍去）． ∴该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为， （万元）． 答：该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． （1）在中，已知，，，求的边上的高； （2）一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【答案】（1） （2）该草地的面积为平方米 【解析】 【分析】（1）根据公式求得，然后将、、和的值代入公式求出面积，再根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解； （2）连接，在中用勾股定理得，再由勾股定理逆定理判定为直角三角形，分别算出两三角形面积，相加得四边形面积． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴边上的高； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵米，米，， ∴ （平方米）， ∴ （米）， ∵米，米，米， ∴ ， ∴是直角三角形， ∴， ∴ （平方米）， ∴（平方米）． 20. 阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习（勾股定理）一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数． 关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是（九章算术）． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数； （2）若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数． 【答案】（1） （2） 证明：∵， 又∵，且， ∴， ∴， ∴是中的最大数， ， 是一组勾股数． 【解析】 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论． 【小问1详解】 解：把代入，，中， 得，，， 这组勾股数为； 【小问2详解】 略 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． （1）______（用含的代数式表示）； （2）点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； （3）点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 【答案】（1） （2）t的值为 （3）当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值； 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：点Q从B向C运动，速度为， 故Q在上时，运动时间满足， 当是等腰三角形时，，则， ∵， ∴， 解得：， ∴是等腰三角形时，t的值为； 【小问3详解】 解：当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 已知点Q的速度为， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∴， ∴， 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 22. 项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】（1） （2）； 解：不能； 理由：∵，，但，， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，然后解方程并检验即可； 求出，，但，，从而即可判断玩具车不能完全放入该收纳盒． 【小问1详解】 解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； 【小问2详解】 解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 略 七、（本大题共1小题，满分14分） 23. 在中，，点，分别是，上的点，连接． （1）【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） （2）【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长： （3）【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长． 【答案】（1）直角 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够灵活应用相关知识点． （1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，再设，最后利用勾股定理列方程求解即可； （3）先求得，再根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点为的中点，，，， ． ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【小问2详解】 解：平分，，， ． ， ． 设，则， 在中，， ， 解得，， 即． 答：的长为． 【小问3详解】 解：如图， 连接， ， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． 设，则， ， ， ，． 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，， 即． 答：线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $