精品解析：安徽省合肥市第四十五中学森林城分校2024--2025学年下学期八年级数学期中考试卷

2025合肥市45中森林城八下期中数学 八年级数学练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 0 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的长为（ ） A. 4cm B. 8cm C. D. 5. 对于实数，，如果，那么下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 以为根的一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 直角三角形的两直角边长分别是1和2，斜边上的高为（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 将一元二次方程配方后得到，则___________． 13. 如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么___________． 14. 如图是一块矩形菜地，，，面积为，现将边增加． （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则b的值是_____． （2）如图2，若边增加，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，则s的值是____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题．每小题8分，满分16分） 17. 如图为单位长度为1的的网格，请用无刻度的直尺在正方形网格中选择三个格点，使之构成直角三角形．要求如下： （1）三边为有理数； （2）两边是无理数，一边是有理数． 18. 已知关于的方程． （1）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 五、（本大题共2小题．每小题10分、满分20分） 19. 观察以下等式 ··· 按照以上规律，解决下列问题： （1）=___________ （2）=___________ （3）根据你的观察、猜想，写一个含n（n为正整数）的等式表示该规律，不用证明． （4）利用这一规律计算：（写出计算过程） 20. 某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； （2）按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 六、（本题满分12分） 21. 先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． （1）已知点，，试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标； （3）已知△ABC各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产量（个）的关系如下表所示． 成本（元） 15010 15020 15030 15040 15050 … 生产量（件） 1 2 3 4 5 … （1）该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________． （2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式； ②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？ 23. 如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． （1）如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； （2）若为直角三角形，求长； （3）线段的最小值为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025合肥市45中森林城八下期中数学 八年级数学练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】因为，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；； 因为不是二次根式，故本选项不符合题意； 因为是最简二次根式，故本选项符合题意； 因为，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，判断时，被开方数要同时满足两个条件，一是被开方数的因数是整数，因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，两个条件缺一不可． 2. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，直接求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：A． 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各选项进行分析即可作出判断．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 在中，，则的长为（ ） A. 4cm B. 8cm C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理． 由角度比确定为等腰直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 故选：D． 5. 对于实数，，如果，那么下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：∵≥0， ∴b-a≥0， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 6. 以为根的一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A. ， ，故该选项不正确，不符合题意； B. ， ，故该选项不正确，不符合题意； C. ， ，故该选项不正确，不符合题意； D. ， ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为0且判别式为非负数计算即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 8. 直角三角形的两直角边长分别是1和2，斜边上的高为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法． 先利用勾股定理求出斜边长，再通过等面积法求解斜边上的高即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和2， ∴斜边长为， 设斜边上的高为， ∴ 解得， 故选：A． 9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【详解】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 10. 关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或4 【答案】A 【解析】 【分析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值． 【详解】解：∵方程有两个实数根，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，， 若使有实数根，则， 解得，， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】x＞-1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件求解即可 ． 【详解】∵代数式有意义， ∴≠0，x+1≥0， ∴x＞-1， 故答案为：x＞-1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 12. 将一元二次方程配方后得到，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，先把原式变形为，进一步变形得到，则，据此可得b、c，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，全等三角形的性质，设，则，可得，由勾股定理可得，则，进而可得，解得，据此可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴， 故答案为：． 14. 如图是一块矩形菜地，，，面积为，现将边增加． （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则b的值是_____． （2）如图2，若边增加，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，则s的值是____________． 【答案】 ①. 6 ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据边减少，得到的矩形面积不变列方程求解即可； （2）由边增加，边增加，得到的矩形面积为，列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得：， 故答案为：6； （2）根据题意知， ∵边增加，边增加，得到的矩形面积为， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵有且只有一个a的值使得到的矩形面积为， ∴，即， ∴， 解得（不符合题意舍去）或， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式以及一元二次方程的解法等知识，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为列出关于s的方程． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据完全平方公式和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：移项得， 即， 提取公因式得， 或， 解得． 四、（本大题共2小题．每小题8分，满分16分） 17. 如图为单位长度为1的的网格，请用无刻度的直尺在正方形网格中选择三个格点，使之构成直角三角形．要求如下： （1）三边为有理数； （2）两边是无理数，一边是有理数． 【答案】（1） 如图所示： 即为所求； （2） 如图所示： 即为所求． 【解析】 【分析】（1）构造边长为的直角三角形即可得到答案； （2）构造边长为的直角三角形即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查利用勾股定理及其逆定理作图，灵活运用勾股定理及其逆定理在网格中构造直角三角形是解决问题的关键． 18. 已知关于的方程． （1）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），方程的另一根为 （2） 证明：是一元二次方程， ， 无论取何实数，总有， ， 方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键； （1）把代入方程即可求得k，然后解这个方程即可； （2）根据进行判断； 【小问1详解】 解：把代入方程，得， 解得， 此时方程可化为， 解得，． 方程的另一根为； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题．每小题10分、满分20分） 19. 观察以下等式 ··· 按照以上规律，解决下列问题： （1）=___________ （2）=___________ （3）根据你的观察、猜想，写一个含n（n为正整数）的等式表示该规律，不用证明． （4）利用这一规律计算：（写出计算过程） 【答案】（1） （2） （3）（n为正整数） （4） 原式 ． 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）根据算术平方根，即可解答； （3）先把根号内通分，再利用算术平方根进行解答； （4）先分别计算出减法，再进行乘法计算，最后利用算术平方根即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案是：； 【小问2详解】 解： 故答案是：； 【小问3详解】 解：根据题意可得该规律为：（n为正整数）， 由题意可得： ； 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查了算术平方根运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根． 20. 某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； （2）按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1） （2） 解：能，理由如下： 依题意，（件）． 他们的目标能实现． 【解析】 【分析】（1）该生产线日产量的增长率，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据题意求出第四试验阶段日产量，将其与2500件比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，有理数的运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：该生产线日产量的增长率， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该生产线日产量的增长率为； 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． （1）已知点，，试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标； （3）已知△ABC各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由． 【答案】（1）A，B两点间的距离为13 （2）A的纵坐标为6或 （3）为等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离公式及勾股定理，熟记以上知识是解题的关键． （1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）由于横坐标相同，所以、两点间的距离等于纵坐标差的绝对值； （3）先根据两点间的距离公式计算出、、，然后根据勾股定理的逆定理进行判断． 【小问1详解】 ， 即A，B两点间的距离为13． 【小问2详解】 ∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4， ∴A的纵坐标为或者．即点A的纵坐标为6或． 【小问3详解】 为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ， ， ∴，且 ∴为等腰直角三角形． 七、（本题满分12分） 22. 材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产量（个）的关系如下表所示． 成本（元） 15010 15020 15030 15040 15050 … 生产量（件） 1 2 3 4 5 … （1）该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________． （2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式； ②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？ 【答案】（1）15000；10 （2）①；②当售价定为12元时，能使厂商每天获得的利润为27000元 【解析】 【分析】（1）由表格可知，每增加一件产品，成本增加10元，据此可得答案； （2）①设销量与销量单价之间的函数关系式，再利用待定系数法求解即可；②根据利润等于销售额减去成本建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，每增加一件产品，成本增加10元， ∴该工艺品每天的固定成本为（元），每件产品的可变成本为10元； 【小问2详解】 解：①设销量与销量单价之间的函数关系式， 把代入中， 得， 解得， ∴； ②由题意得，每件产品的销售毛利为元， ∴每天总利润为元， ∴， 整理得， 解得或， ∵， ∴， 又∵售价不能低于每件产品的可变成本， ∴； 当时，， 当时，， 又∵该工艺品销路很好， ∴满足题意， 答：当售价定为12元时，能使厂商每天获得的利润为27000元． 23. 如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． （1）如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； （2）若为直角三角形，求长； （3）线段的最小值为___________． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）6或 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合中点的定义可得，从而得到，即可解答； （2）先根据勾股定理可得，然后分两种情况：当时，当时，结合直角三角形的性质以及全等三角形解答即可； （3）当点在上时，取得最小值，最小值为，根据勾股定理求出的长即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或； 【小问3详解】 解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $