精品解析：广东广州市培正中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（问卷）

2025—2026学年培正中学七（下）期中数学试卷（问卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列四个选项中，为无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 将方程写成用含x的代数式表示y的形式为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 的平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 81 5. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，则与的数量关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 7. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图所示，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 有理数和数轴上的点是一一对应的 B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 10. 如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为2，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 已知是的整数部分，是的小数部分，求______． 12. 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是______． 13. 比较大小：______．（填“”或“”） 14. 如图，若棋盘中“帅”的坐标是(0，1)，“卒”的坐标是(2，2)，则“马”的坐标是________． 15. 现有角、角、元硬币各枚，从中取出枚，共元．角、角、元硬币的取法共有______种． 16. 甲和乙同时从A地出发，匀速行走到B地．甲走完一半路程时，乙才走了4千米．乙走完一半路程时，甲已走了9千米．当甲走完全程时，乙未走完的路程还有__________千米 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 如图，在平面内有A，B，C三点．请按照要求画图． （1）分别画出直线，线段，射线； （2）过点A画，垂足为点D； （3）尺规作图：在射线上作出点E，使（要求保留作图痕迹）． 20. 如图，的三个顶点坐标分别为：，，．将向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到．请在图中画出，并求的面积． 21. 完成下面的证明并填上推理根据． 如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：． 证明：∵（______）， ∴（______）． ∵（已知）， ∴（______）． ∵（已知）， ∴______（______）， 即______， ∴______（等式的基本事实）， ∴（______）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． （1）点的坐标为________，点的坐标为________； （2），分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．规定其中一个动点到达端点时，另 一个动点也随之停止运动．若两点同时出发，则几秒后轴？ 23. 随着交通安全意识的增强，甘州区居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），求该商店共有几种购买方案？ （3）销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，在（2）问的购买方案中，若将所购头盔全部售出，可获得的最大利润是多少元？ 24. 如图，已知直线平分交于点E，且． （1）判断直线与是否平行？并说明你的理由； （2）若于D，，求的度数（用含α的代数式表示）． （3）连接，以点D为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B、C的坐标分别为、，且的面积等于的面积与的面积之和，求点A的坐标． 25. 我们知道： 关于的二元一次方程有无数个解，每个解记为点，称点为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线”．特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”．回答下列问题： （1）已知，则是“复兴线”的“中国结”的是____； （2）“复兴线” （是常数且） 是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面直角坐标系中，，若“复兴线”与线段的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年培正中学七（下）期中数学试卷（问卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列四个选项中，为无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：，，都是有理数，是无理数． 故选：B． 【点睛】题考查了无理数，有理数的知识．掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 2. 将方程写成用含x的代数式表示y的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程，掌握代入消元法是解题关键．将含的项移到等式右边即可． 【详解】解：将方程写成用含x的代数式表示y的形式为， 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是象限点的坐标特征，根据第二象限内点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 故选：B． 4. 的平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 81 【答案】C 【解析】 【详解】解： 3的平方根是 ∴的平方根为． 5. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，则与的数量关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系；由可得，，即可得解． 【详解】解：， ，， ， ， 即； 故选：B． 6. 如图，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行．由可得，而A、B、D无法证明，即可得到答案． 【详解】解：由可得，C选项正确；而A、B、D无法证明， 故选：C． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；根据题意，每3人坐一车有2辆空车，可得；每2人坐一车有9人步行，可得，据此对照选项即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车， 由题意得：， 故选：C． 8. 如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图所示，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 有理数和数轴上的点是一一对应的 B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真命题，解题的关键是：明白正确的命题叫真命题，错误的叫假命题，需要结合所学的定理进行判断． 根据实数与数轴，平行线的性质与基本事实，进行判断． 【详解】解：A、实数和数轴上的点是一一对应的，故原说法错误，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确，符合题意； D、两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为2，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据“与的差为2，小长方形的周长为14”，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 已知是的整数部分，是的小数部分，求______． 【答案】## 【解析】 【分析】先估算出的范围，得出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解此题的关键是能根据的范围求出m、n的值． 12. 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握从直线外一点作直线的垂线，这点到垂足间的垂线段长度叫点到直线的距离． 根据点到直线的距离的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴点P到直线l的距离是3， 故答案为：3． 13. 比较大小：______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据平方法比较实数的大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴． 14. 如图，若棋盘中“帅”的坐标是(0，1)，“卒”的坐标是(2，2)，则“马”的坐标是________． 【答案】（－2，2） 【解析】 【分析】根据“帅”和“卒”的坐标得出原点的位置，即可求得“马”的坐标． 【详解】如图所示：“马”的坐标是：（-2，2）． 故答案为：（-2，2）． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 15. 现有角、角、元硬币各枚，从中取出枚，共元．角、角、元硬币的取法共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设角、角、元硬币分别取枚、枚、枚，根据总枚数和总金额列出方程组，结合为不超过10的非负整数，即可求出取法的数量． 【详解】解：设角、角、元硬币分别取枚、枚、枚，将单位统一为角，元角， 由题意得 由①得：，代入②得： 整理得： ∵均为不超过的非负整数，所以为非负整数， 因此是的倍数， 当时，，，不符合题意， 当时，，，满足，，，符合题意， 当时，，为负数，不符合题意， 综上，符合条件的取法只有种． 16. 甲和乙同时从A地出发，匀速行走到B地．甲走完一半路程时，乙才走了4千米．乙走完一半路程时，甲已走了9千米．当甲走完全程时，乙未走完的路程还有__________千米 【答案】4 【解析】 【分析】可设全程为2S，以及两个人的速度分别为x，y．等量关系为：甲走全程一半的时间=乙走4千米用的时间；乙走全程一半的时间=甲走9千米用的时间，把相关数值代入化简可得路程的一半长，进而求得全程长，进而可求乙未走完的路程长． 【详解】解：设全程为2S千米，甲速度为x千米/时，乙速度为y千米/时， 由题意得， ∴， ∴， ∴S2=4×9=36， 又S＞0，∴S=6，2S=12． ∵甲走完一半路程时乙走了4千米． ∴甲走完完全程时乙走了8千米，12-8=4千米． ∴甲走完全程时，乙未走完的路程为4千米． 故答案为：4． 【点睛】本题考查方程组的应用，一些必须的量没有时，可设其为未知数；根据所用的时间相等得到等量关系是解决本题的关键；得到全程长是解决本题的突破点 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①②得，，解得 将代入①得，，解得 ∴原方程组的解为． 19. 如图，在平面内有A，B，C三点．请按照要求画图． （1）分别画出直线，线段，射线； （2）过点A画，垂足为点D； （3）尺规作图：在射线上作出点E，使（要求保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线、线段和射线的定义进行作图即可； （2）先延长，然后过点A作于点D，即可； （3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点M，以点M为圆心为半径画弧，交射线于点E，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图：直线，线段，射线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图：点E即为所求作的点． 20. 如图，的三个顶点坐标分别为：，，．将向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到．请在图中画出，并求的面积． 【答案】作图见解析，的面积为 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，坐标与图形；根据平移的性质确定，顺次连接，得到，连接，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求， 21. 完成下面的证明并填上推理根据． 如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：． 证明：∵（______）， ∴（______）． ∵（已知）， ∴（______）． ∵（已知）， ∴______（______）， 即______， ∴______（等式的基本事实）， ∴（______）． 【答案】已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据以及可得，再由，可得，从而得到，即可解答． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴（等式的基本事实）， ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． （1）点的坐标为________，点的坐标为________； （2），分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．规定其中一个动点到达端点时，另 一个动点也随之停止运动．若两点同时出发，则几秒后轴？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移的性质求解即可； （2）设秒后轴，根据轴，得到点与点的纵坐标相同，据此构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：，． ∵线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，，， ∴，． 【小问2详解】 解：设秒后轴， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同， 则有， 解得， 时，轴． 23. 随着交通安全意识的增强，甘州区居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），求该商店共有几种购买方案？ （3）销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，在（2）问的购买方案中，若将所购头盔全部售出，可获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 （2）2种 （3）220元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用. （1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解， （3）求出两种情况的利润，比较即可． 【小问1详解】 解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 即A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元； 【小问2详解】 解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个； 【小问3详解】 解：①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 24. 如图，已知直线平分交于点E，且． （1）判断直线与是否平行？并说明你的理由； （2）若于D，，求的度数（用含α的代数式表示）． （3）连接，以点D为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B、C的坐标分别为、，且的面积等于的面积与的面积之和，求点A的坐标． 【答案】（1）；理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，坐标与图形性质，平行线的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义，坐标与图形性质，平行线的判定与性质是解决问题的关键. （1）先由平分得, 再根据得, 据此即可得出答案； (2)由（1）可知,则, 再根据得, 然后根据交平分线的定义可得的度数； (3)过点作轴于, 设交轴于,根据点得,, 则再根据（1）可知, 则 , 则 即 ，由此得，进而可得点的坐标. 【小问1详解】 ，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 【小问3详解】 依题意建立直角坐标，过点B作轴于F，设交y轴于H，如图所示： ∵点B、C的坐标分别为、， ∴，，， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵的面积等于的面积与的面积之和， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 25. 我们知道： 关于的二元一次方程有无数个解，每个解记为点，称点为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线”．特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”．回答下列问题： （1）已知，则是“复兴线”的“中国结”的是____； （2）“复兴线” （是常数且） 是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面直角坐标系中，，若“复兴线”与线段的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值． 【答案】（1）A （2）存在唯一“超级中国结”的坐标为 （3）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的计算，理解题目中的相关概念及计算，掌握二元一次方程的解的计算是关键． （1）根据“中国结”的定义代入计算即可求解； （2）根据“超级中国结”的定义进行计算，当时，可得，分类讨论即可求解； （3）根据“奇妙中国结”的定义计算，根据题意得到轴，“奇妙中国结”的纵坐标为，代入，整理得，分类讨论计算即可求解． 【小问1详解】 解：，“复兴线”， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 故选：A； 【小问2详解】 解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”， 当时，由，消去得到：， ∴此方程的解的情况决定“超级中国结”的存在情况， ①当，即时，方程无解，不存在“超级中国结”； ②当，即时，方程有无数个解，此时存在无数个“超级中国结”，“超级中国结”的坐标可表示为（为任意实数）； ③当，即时， 得， ∴这种情况下存在唯一“超级中国结”的坐标为． 【小问3详解】 解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”， ∵，即纵坐标相等， ∴轴，“奇妙中国结”的纵坐标为， 代入，整理得， 当，即时，等式不成立，舍去， 当，即时，， ∵均为整数， ∴，或， 对应的， 当时，，此时“奇妙中国结”没有在线段上，应舍去， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $