上海市行知中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2026年上海市行知中学高二下期中数学 一、填空题 1.直线y=一3+1的倾斜角为一 【解析】号 2.圆x2+y2-4x+2y=0的半径为 【解析】√5 3.己知等比数列{a}的各项均为正数，若a2a6=6,则a4=一 【解析】√后 4.已知(1-2x)5=ao+a1x+a2x2+a3x2+a4x+asx2,则a2+a3= 【解析】-40 5.若球的表面积为1，则其体积为一 【解析】 6.向量=(0,1,2)在向量b=(1,1,-2)方向上的投影向量的坐标为一 【解析】（-) 7.已知项数不少于2的有穷数列{a}中各数不全相等，它们的方差为σ1，若数 列2a+)中各数的方差为则- 【解析】子 8.导电体中的电量q关于时问t的变化率称为电流强度.若q=0.01sin(100mt), 则t=1时的电流强度为一 【解析】π 9.以0、1、2、3、4中随机选取4个不同的数排成一个四位数.已知3和4相 邻，则该数为偶数的概率为一 【解析】名 10.在正方体ABCD-A1B,C1D1中，M是线段A1B1的中点，平面ACM将正方 体分成体积分别为V,、V,的两部分，其中V,≥V,则号=一 【解析】号 1.已知点A(1,)过原点0的动直线交椭圆千+yP=1于点B、C,则△ABC 面积的最大值为 【解析】√2 常规方法：联立+三角形面积公式邪修：中心三角形面积公式+三角换元 12.甲同学走楼梯，每一步可跨1级台阶或2级台阶或3级台阶.若恰走完8 级台阶，则有种不同的走法， 【解析】81 由题总，8=x·1+y·2+z·3,x,y,z∈N,分类讨论，符合条件的有序实数对分别为： (8,0,0)(6,1,0)4,2,0)2,3,0)0,4,0) (5,0,1)3,1,1)1,2,1) (2,0,2)0,12) 易得81种， 二、选择题 13.P(AIB)=P(A)是事件A和B为独立事件的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分条 件也非必要条件 【解析】c 14.若把该立体图形绕某条直线旋转角度日，日∈(0,2π)，使之与原图形重合，则该 直线称为该立体图形的旋转轴.侧棱互相垂直的正三棱锥的旋转轴的条数为( A.0 B.1 C.3 D.4 【解析】D 15.对于问题“己知直线1过抛物线y2=4x的焦点F,且交抛物线于P、Q 两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS,垂足分别为R、S,设PF= a,IQF|=b,M为线段RS的中点，求MF的长度”，甲同学解得Vab,乙同学解得 √a+b,则下列正确的选项为( A.只有甲同学正确 B.只有乙同学正确 C.两人都正确 D.两人都不 正确 【解析】A 16.设无穷数列a}的前n项和为Sm,定义Tk=s**(k=1,23,）,则下 列正确的选项为( A.当an=1时 T2026<S2026 B.当a1=(-1)-1时，T2026<S2026 2 C当aa=nd时，则T20z6>Sz0z6 0.当a-)” 时，T2026>S2026-2026 【解折】对于A,显然Sn=n→S2026=2026,T2026=22?>2025,故A错误； 2 对于B,Smn= ,n为奇→506=0，To6=8器>0，故B错误： (0,n为偶 对打c5。=1-→”-货显1-的品 n 故Sn>Tn→T2026<S2026,故C错误； 对于=1-目5s1-目mas1-点+目 ，故 2026 2026 1 +) >0→T2026>S2026- 1 ,故D正确， 2026 三、解答题 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分已知 等比数列{an}的首项为2，公比为2，等差数列{bn}的首项为1，公差为1，设cn= anbn,{cn}的前n项和为Sm· (1)求cn: (2)求Sn. 【解析】(1)cn=n·2m,n∈W(2)Sn=(n-1)2+1+2 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分如图， 将正四棱柱ABCD一A1B,C1D1置于空间直角坐标系中，点D为坐标原点 0,A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4), (1)求异而直线BD1与A0所成角的大小（结果用反三角表示）： (2)记直线BD1分别和BB1、BC、BA所成角为a、B、Y,求证：cos2a+cos2B+ cos2y =1. 【解析】 (1)由题意得D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4)。 因为底面ABCD为正方形，所以B(2,2,0)。 又因为AA1IDD1且AA1=DD1,所以A1(2,0,4)。 所以BD1=(-2,-2,4),A10=(-2,0,-4)。 设异面直线BD1与A10所成的角为日，则 Cos0= BDA@=1-2x(-2-2.1(-2)×(-2)+(-2)×0+4×（-4 BDa0V-2y2+-2y+42 =14-161 12 3V30 V24V元=2N62W5=V5元=10 所以异面直线BD1与A,0所成角的大小为arccos 10 (2)由(1)知BD1=(-2,-2,4),BD=2V6· 因为BB1‖z轴，BCIy轴，BAIx轴，所以直线BD1与BB1、BC、BA所 成角的余 弦值分别为直线BD1的方向向量与z轴、y轴、x轴方向向量夹角的余弦值的 绝对值。即cosa=是-后：cosB=-言：co9y==后 所以cosa+cosg+cosy=()+(偏)'+（偏}-8++1 故cos2a+cos2B+cos2y=1得证。 19.若函数y=f(x)和y=g(x)的图象有公共点P,各自过点P的切线均存在， 则称两函数在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角.若两切线重合，则 将重合的切线称为两函数在点P处的公切线 (1)若f(x)=2x3+ax和g(x)=bx2+c在P(2,0)处有公切线，求实数a、b、c 的值； (2若a>0,求y=Vax>0)和y=盖的公共点P及在点P处的夹角， 【解析】(1)因为fx)=2x3+ax和gx)=bx2+c在P(2,0)处有公切线，所以： 点P在fx)上：2×23+a×2=0,即16+2a=0,解得a=-8; 点P在g(x)上：b×2+c=0,即4b+c=0: f(x)=6x2+a,f(2)=6×22-8=16; 9(x)=2bx,g(2)=4b; 公切线斜率相等：4b=16,解得b=4: 代入4b+c=0,得c=-16。 故a=-8,b=4,c=-16。 (2)联立y=V应与y-益得应=盖，两边平方后解得x=4如，则y=20,公 共点P(4a,2a) y=应的导数y=号在P处切线斜率k:= y=云的导数y=总在P处切线斜率k=1: 夹角日满足tan0 1 =}放=arctan号。 答：公共点P(4a,2a),夹角为arctan 20.设m为一个至少为2的正整数.在两个罐了中，各有m个形状和质地均相 同的小球，都分别标记为1到m号现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的 数字的乘积可以被m整除的概率为P(m), (1)当m=6时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率： (2)求P(10): ()若Pm)≥f一恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求fm)的表达式， 并说明理由. 【解析】 (1)由题意，m=6时，抽取一个小球为奇数的概率为号，设两小球上的数字的乘积 为奇数为事件A,则P(A=×-故乘积为奇数的概率为} (2)由题意，若乘积为10的倍数，则必为10×n,5×偶数，故10×n有10+ 10-1=19种，5×偶数去掉重复有5+5-2=8种，共27种，故P(10=品 (3)由题意，不妨设P(m)=点=一→k=fm)有无数个解， 故不妨设取出小球编号为有序数对(a,b),1≤a,b≤m,a,bEN,m为ab的因数， 不妨取m为质数，则显然仅有(m,b),(a,m)成立，故k=m+m-1=2m-1, 故取f0m)=2m-1,则此时P()=点=2成立 当m为合数时，必然存在（(a,b),a≠m,b≠m使之成立，故k>2m-1, 故此时P(m)=点>2一，故P()≥恒成立满足题意， 故f(m)=2m-1. 21.已知双曲线1：3x2-y2=1和双曲线32：Sx2-ty2=1,其中常数s、t满足 s·t>0,0为坐标原点. (a岩直线y=kx和双曲线：交于点P,求证：oPP=器； 2若双曲线1上有一条动弦AB,保持∠A0B=号，求证：+7为定值： 1 1 (3)若点A在31上运动，点B在32上运动，保持∠A0B=?,点0在线段AB 上的垂足为点D求证：0D1为定值的充要条件是{：4 【解析】)由题意，由对称性设高京p点→0P-贷， (2)由题意，直线0A,0B斜率存在且不为0，设yoA=kx,y0B=-x, 由国得=g⅓=9海=咖品’ k k -1 故1OA=器，10B-器÷品+品2. 1 (2得，不妨设=赢，以点8=品 k k 放品向+偏” 1M62 1 k2+1 显然当|0D1为定值时，s-1=-t+3>0→S+t=4,S>1; 反之814101为定值 综上，10D1为定值的充婴条件是低：4 >2025-2026上海市行知中学高二第二学期期中 2026.4 一填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分） 1.直线y=-V3+1的倾斜角为 2.圆x2+y2-4x+2y=0的半径为 3.已知等比数列{an}的各项均为正数，若a2a6=6,则a4= 4.已知(1-2x)3=a+ax+a2x2+43x2+a4x4+ax2,则a2+a= 5.若球的表面积为1，则其体积为 6.向量a=(0,1,2)在向量b=(1,1,-2)方向上的投影向量的坐标为 7.已知项数不少于2的有穷数列{an}中各数不全相等，它们的方差为o,若数列{2an+1 中各数的方差为o,则可 02 8.导电体中的电量g关于时间t的变化率称为电流强度.若q=0.01sin(100πt),则t=1时 的电流强度为」 9.以0、1、2、3、4中随机选取4个不同的数排成一个四位数.已知3和4相邻，则该数 为偶数的概率为 10.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，M是线段A,B,的中点，平面ACM将正方体分成体 积分别为V2的两部分，其中V≥'2，则 11.已知点 4[，过原点0的动直线交+y=1于点么C,则A0C有积的 大值为 12.甲同学走楼梯，每一步可跨1级台阶或2级台阶或3级台阶.若恰走完8级台阶，则有 种不同的走法、 第页共页 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13.P(AB)=P(A)是事件A和B为独立事件的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件 14.若把该立体图形绕某条直线旋转角度0,0∈(0,2π)，使之与原图形重合，则该直线称为 该立体图形的旋转轴.侧棱互相垂直的正三棱锥的旋转轴的条数为（ A.0 B.1 C.3 D.4 15.对于问题“已知直线1过抛物线y2=4x的焦点F,且交抛物线于P、2两点，由 P2分别向准线引垂线PR、OS,垂足分别为R、S,设PF=a,2F=b,M为线段RS 的中点，求MF的长度”，甲同学解得√ab,乙同学解得Va+b.则下列正确的选项为() A.只有甲同学正确B.只有乙同学正确C.两人都正确D.两人都不正确 16.设无穷数列{a,}的前n项和为3，定义=+5+.+8(k=12,3,则下列 k 正确的选项为（） A.当an=1时，T026<S2026 2 B当a(-时， C.当an= n(n+1) 时，则T6>S26D.当a,=2 时，T2026>S2026- 2026 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知等比数列{an}的首项为2，公比为2，等差数列{bn}的首项为1，公差为1，设cn=abn, {Cn}的前n项和为Sn· (1)求Cn; (2)求Sn· 第页共页 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图，将正四棱柱ABCD一ABC,D,置于空间直角坐标系中，点D为坐标原点 0,A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,4), (1)求异面直线BD与A,O所成角的大小（结果用反三角表示）； (2)记直线BD,分别和BB、BCBA所成角为B、, 求证：cos2a+cos2B+cos2y=1. D A B, o(D) 第页共页 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 若函数y=f(x)和y=g(x)的图象有公共点P,各自过点P的切线均存在，则称两函数 在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角.若两切线重合，则将重合的切线称为两函 数在点P处的公切线. (1)若f(x)=2x3+ax和g(x)=bx2+c在P(2,0)处有公切线，求实数abc的值； 2)若a>0求y=Var(>0)和)-元的公共点P及在点P处的夹角 第页共页 20.(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 设m为一个至少为2的正整数在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分 别标记为1到m号.现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除 的概率为P(m), (1)当m=6时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； (2)求P(10); 3)若P(m)≥f(m 恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求f(m)的表达式，并 说明理由. 第页共页 21.(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知双曲线51：3x2-y2=1和双曲线52：sx2-y2=1,其中常数、t满足s·t>0,0为坐 标原点 )若直线y=和双曲线交于点P,求证：OP心-中 3-k29 2)）若双曲线1上有一条动弦AB,保持∠40B=分求证： 。1 O为定值； (3)若点A在，上运动，点B在5：上运动，保持∠40B-万，点0在线段AB上的垂足 s+t=4 为点D,求证：OD为定值的充要条件是 s>1 第页共页 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分） 1.直线y=-V3+1的倾斜角为. 2π 【答案】 3 2. 圆x2+y2-4x+2y=0的半径为 【答案】√5 3.已知等比数列{an}的各项均为正数，若a246=6,则a4= 【答案】V6 4.已知(1-2x)°=a。+a,x+a2x2+a,x2+a4x4+a,x2,则a2+a,= 【答案】-40 5.若球的表面积为1，则其体积为 π 【答案】 6π 6.向量a=(0,1,2)在向量b=(1,1,-2)方向上的投影向量的坐标为 【答案】 封 7.已知项数不少于2的有穷数列{an}中各数不全相等，它们的方差为o,若数列{2an+1 中各数的方差为o,则 【答案】 4 8.导电体中的电量q关于时间t的变化率称为电流强度.若q=0.01sin(100πt),则t=1时 的电流强度为 【答案】π 第页共页 9.以0、1、2、3、4中随机选取4个不同的数排成一个四位数.已知3和4相邻，则该数 为偶数的概率为， 【答案19 4 10.在正方体ABCD-ABC,D中，M是线段A,B,的中点，平面ACM将正方体分成体 积分别为V2的两部分，其中V≥V2,则 1号 11.已知点 过原点O的动直线交椭圆+y=1于点B、C,则△4BC面积的最 大值为」 【答案】√2 12.甲同学走楼梯，每一步可跨1级台阶或2级台阶或3级台阶若恰走完8级合阶，则有 种不同的走法 【答案】81 【解析】法一：递推， 最后一步跨1级：前面只需要走到第n-1级需f(n-1)种； 最后一步跨2级：前面只需要走到第n-2级需f(n-2)种； 最后一步跨2级：前面只需要走到第n-3级需f(n-3)种； 故f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)种， 由f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4→f(8)=81. 法二：穷举，由题意，8=x1+y·2+z·3,x,y,z∈N,分类讨论，易得共81种， 第页共页 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13.P(AB)=P(A)是事件A和B为独立事件的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件 【答案】C 14.若把该立体图形绕某条直线旋转角度0,8∈(0,2π)，使之与原图形重合，则该直线称为 该立体图形的旋转轴.侧棱互相垂直的正三棱锥的旋转轴的条数为（)》 A.0 B.1 C.3 D.4 【答案】B 15.对于问题“已知直线1过抛物线y2=4x的焦点F,且交抛物线于P2两点，由 P、Q分别向准线引垂线PR、QS,垂足分别为R、S,设PF=a,QF=b,M为线段RS 的中点，求MF的长度”，甲同学解得Vab,乙同学解得√a+b.则下列正确的选项为() A.只有甲同学正确B.只有乙同学正确C.两人都正确D.两人都不正确 【答案】C 第页共页 16.设无穷数列{a,}的前n项和为3，定义7=9+S++(k=12,3,则下列 k 正确的选项为（ A.当an=1时，T026<S2026 B.当a,=(-I)时，Ts<)Ss 2 c.当a.- 1 n(n+1) 时，则T026>S2026 时，>5as2 026 2027、2026 答案】对于A,显然Sn=n→S26=2026,T26= 2 2,故A错误 对于B,S1,n为奇今86=0，=2026> 0,n为偶 2>0,故B错误； 对于C,S,=1- 7 n+1 n+1 n =0, 故Sn>Tm,→T2026<S2026,故C错误； 对D,1-→=1-=12026*d 2026 2026'2026 2026 1,故D正确. 第页共页 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤) 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知等比数列{an}的首项为2，公比为2，等差数列{bn}的首项为1，公差为1，设cn=anbn, {cn}的前n项和为Sn: (1)求cm; (2)求Sn· 【答案】(1)cn=n·2",n∈N*(2)Sn=(n-1)2m++2 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图，将正四棱柱ABCD-A,BC,D置于空间直角坐标系中，点D为坐标原点 0,A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,4), (1)求异面直线BD,与A,O所成角的大小（结果用反三角表示）； (2)记直线BD,分别和BBBC、BA所成角为、B、Y, 求证：cos2a+cos2B+cos2y=1. 30 【答案】(1)arccos (2)证明略 10 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 若函数y=f(x)和y=g(x)的图象有公共点P，各自过点P的切线均存在，则称两函数 在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角若两切线重合，则将重合的切线称为两函 数在点P处的公切线 (1)若f(x)=2x3+ax和g(x)=bx2+c在P(2,0)处有公切线，求实数abc的值； 若a>0,求y=Vaxx>0和y三的公共点P及在点P处的头 【答案1(1)a=-8、b=4、c=-16第(2骄i422a,0=arctan 3 20.(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 设m为一个至少为2的正整数.在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分 别标记为1到m号.现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被整除 的概率为P(m), (1)当m=6时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； (2)求P(10); 3)若P(m)≥fm 恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求f(m)的表达式，并 说明理由， 1 【答案】（1)由题意，m=6时，抽取一个小球为奇数的概率为二，设两小球上的数字的乘 积为奇装为事件么则P(--子散积为奇频的概率为子 224 (2)由题意，若乘积为10的倍数，则必为10×n,5×偶数， 故10×n有10+10-1=19种，5×偶数去掉重复有5+5-2=8种，共27种， 数P10)=10 7 E由题意，不折设Pm)心今k=了m)有无数个 m2 故不妨设取出小球编号为有序数对(a,b),1≤a,b≤m,a,b∈N,m为ab的因数， 不妨取m为质数，则显然仅有(m,b),（a,m)成立，故k=m+m-1=2m-1, 故取f(m侧)=2m-l则此时P(m)=-2m- 成立； m2 当m为合数时，必然存在(a,b),a≠m,b≠m使之成立，故k>2m-1, 故花时P侧)广点>2调，故P侧：2恒成X请题意。 故f(m)=2m-1. 第页共页 21,(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知双曲线51：3x2-y2=1和双曲线52：sx2-y2=1,其中常数、t满足st>0,O为坐 标原点。 《)若直线y=c和双曲线交于点P,求证：OP=牛 3-k2 (2) 若双曲线5上有一条动弦4B,保持∠A0B=7求证： 为定值； (3)若点4在(：上运动，点B在5：上运动，保特∠A0B=子点0在线段B上的垂足 S+t=4 为点D,求证：OD为定值的充要条件是 s>1 k 【答案】（1)由题意，由对称性设xp= 京→opP-+ -k2 1 (2)由题意，直线OA,OB斜率存在且不为0，设yoM=,yoB=- k 1 由(1)得xA= -1 3-k2y= f-edo 1,1 =2 3)由2)得，不妨设=3-产少=3-在。2= Vsk2-t 故o 4B +082 11 (s-1)k2-1+3 1OA2082 O4208 042 08 k2+1 显然当OD为定值时，S-1=-t+3>0→s+t=4,s>1; 反之4→0为定 综上，OD为定值的充要条件是s+f=4 >1 第页共页