上海市顾村中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 聚焦函数与几何核心知识，通过分层问题设计考查数学抽象与逻辑推理能力，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|函数性质、导数应用、立体几何初步|结合购物优惠情境考查抽象能力，体现数学眼光| |填空题|4/20|数列求和、概率计算|设置疫情统计问题，强化数据意识与应用能力| |解答题|6/70|解析几何综合、导数应用|设计卫星轨道椭圆方程求解大题，多问递进考查逻辑推理与数学表达，贴合真题命题趋势|

2026年顾村高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1.若角a的终边经过点P(1,-8),则tana= 2.已知四边形ABCD是边长为1的正方形，则AB+BC= 3.已知扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的弧长是 4.已知两点A(-2,5)、B(1,4),且点P满足AP=-2PE,则点P的坐标为 5.在[o,2]上满足sinx≥的x的取值范围是 6.已知函数y=tanx,x∈牙，习，则该函数的最小值为 7.己知平而向量a=(1,月，d.五=2，则万在a上的投影向量的坐标为 8.方程sinx=号在(O,m)内的解为 9.若函数f(x)=12sinx+acosx的最大值为13，则常数a=一 10.若函数f(x)=Asin(ωx+p)的图像如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+.+ f(2026)= 11.定义运算a*b三8，b，则函数fx)=sinx*V3cosx的值域为 12.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量 的是英国大科学家牛顿.已知平面向量，石为单位向量，且.万=号.若平面向量 c满足=2·，侧a.+b的最大值是 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题有且只有一个正确答案，选对得 3分，否则一律得零分) 13.己已知p:a=2km+号，kEZ,q:sina=9,则p是q的 )。条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 14.下列向量中，与向量a=(3,4)共线的一个单位向量是( A(-6,-8)BA（-,-）(8,6) 15.下列函数中，既在(0， ）上为增函数，又是以π为最小正周期的偶函数是 A.y sin2x B.y=cos2x C.y=Isinxl D.y=|sin2xl 16.设函数f)=sin(ux+),其中w>0,p∈匠到，已知fx)在区间[o,2 内有且只有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是( A.w=月 B.w=号 c.w= D.0=号 三、解答题（本大题共有5题，共8+8+10+12+14=52分，解答下列各题必须写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.己知sin9-2cos8=0.()求tan(0+)的值；(2)求n-cose的值. 5sin@+3cose 18.已知平面向量a=(-1,2),b=(x,-3),x∈R. (1)若/历，求实数x的值：(2)若=V5,且1a,求平面向量的坐标， 19.已知△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、G,a=4,cosB=-号. (1)若a=2c,求△ABC的面积： (2)设线段AB的中点为D,若CD=V19,求△ABC外接圆半径R的值， 20.在平面直角坐标系x0y中，己知《是第二象限角，其终边上有一点P(x,⑤). (若cosa=,求x的值： (2)在(1)的条件下，将0P绕坐标原点顺时针旋转三至OP,求点P的坐标. 21.己知函数f()=V3 Bsinwxcosωx+sinwx--(其中常数w>0)的最小正周期 为π. (1)求函数y=f(x)的表达式： (2)作出函数y=f(x),x∈[O,π的大致图像，并指出其单调减区间： (3)将y=f(x)的图像向左平移p(0<p<π)个单位长度得到函数y=g(x)的图 像，若实数x1、x2满足f(x)g(x2)=-1,且x-xl的最小值是石，求p的值.2026年顾村高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1.若角a的终边经过点P(1,-8),则tana=一 【解析】-8 2.已知四边形ABCD是边长为1的正方形，则AB+BC=一 【解析】√2 3.已知扇形的圆心角为至，半径为1，则该扇形的弧长是 【解折1号 4.已知两点A(-2,5)、B(1,4),且点P满足AP=-2PB,则点P的坐标为 【解析】(4,3) 5.在[o,2上满足sinx≥号的x的取值范围是 【解析】 6.已知函数y=tanx,x∈[-，， 则该函数的最小值为」 【解析】-1 7.己知平而向量a=（1,3,b=2,则五在a上的投影向量的坐标为 【解析】 3 22 8.方程sinx=号在(0，)内的解为 【解折】arcsin写-in亏 3 9.若函数f(x)=12sinx+acosx的最大值为13，则常数a=_ 【解析】±5 10.若函数f(x)=Asin(ωx+p)的图像如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+.+ f(2026)= 【解析】 2 2 11.定义运算a*b= (a(a≤b) b(a>b) ,则函数f)=sinx*V5cosx的值域为 【解析】 2 12.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量 的是英国大科学家牛顿。已知平面向量元，方为单位向量，且石·万=号，若平面向量 c满足=2·，侧a.+的最大值是 【解析】4V6 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题有且只有一个正确答案，选对得 3分，否则一律得零分) 13.已知p:a=2kπ+，kEZ,q:sina=9，则p是q的( )。条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 【解析】A 14.下列向量中，与向量=(3,4)共线的一个单位向量是( A.(-6,-8)BA(-,-)8,6) D.引 【解析】B 15.下列函数中，既在(0，) 上为增函数，又是以π为最小正周期的偶函数是 () A.y=sin2x B.y=cos2x C.y=|sinxl D.y=|sin2xl 【解析】C 16.设函数f()=sin(ax+p),其中ω>0，p∈匠，到，己知f)在区间[o,2列 内有且只有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是() Aw=是B.w=若C.w=月 D.w=号 【解析】解：设t=ωx+p,则p≤t≤2πω+p,所 以y=sint在[p,2πω+p]上有4个零点， 可知m≤2mw+0<5n,所以2-品≤w<号-品 又。e作引所以2-甚≤0<号-去，阳普≤@号满足的只有D, 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，共8+8+10+12+14=52分，解答下列各题必须写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.己知sin6-2cos6=0.()求tan(0+)的值；2)求8e 的值 5sin0+3cos0 【解析】 (1)sine-2cos=0,sine =2cose,tane=sine cOs =20 tan(+) tang+tan 2+1 1-tanetan 71-2×7-3 (2)4sing-2cos0 4sine 2cose 4tan0-2 5sin0+3cos0 5tan0+3 cos0'cos0 将tan8=2代入an9-2 可得： 4×2-2=8-2=6 5tan0+3 5×2+310+313 3 18.己知平面向量a=(-1,2),b=(x,-3),x∈R. (1)若仍，求实数x的值：(2)若=V5,且1a，求平面向量的坐标 【解析】 (1)己知a=(-1,2),b=(x,-3), 若乃，则(-1)×(-3)-2x=0, 解得x=。 (2)设c=(m,n)。 己知c1a,则c.a=(-1)×m+2×n=0,即-m+2n=0①。 己知=5，则m2+nz=V5,即m2+n2=5②。 由①式可得m=2n,将m=2n代入②式可得： (2n)2+n2=5,解得n=±1。 当n=1时，m=2n=2×1=2；当n=-1时，m=2n=2×(-1)=-2。 所以，平面向量亡的坐标为(2,1)或(-2，-1)。 19.已知△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,Q=4,cosB=-号， (1)若a=2c,求△ABC的面积： (2)设线段AB的中点为D,若CD=V19,求△ABC外接圆半径R的值. 【解析】 (1)由a=4,a=2c,得c=2。 在△ABC中，由余弦定理得： 0=a2+c2-2ac0sB=4+2-2×4x2×(-) =16+4+4=24 所以b=V24=2W6。 因为cosB=-号，且BE(O,m), 所以snB=V-cosB=-（←=要。 所以△ABC的面积S=acsinB=×4×2×匹=V压。 (2)设AB的中点为D,则AD=子c。 在△ABC中，由中线长公式得：AC2+BC2=2(AD2+CD2)(建议用两次余弦定理去 解决) 即+a2=2°+cD2] 代入Q=4,cD=V9,得：b2+16=2(信+19) c2 b2+16=2+38 c2=2b2-22)① 又由余弦定理得：b2=a2+c2-2 accosB =16+2-2×4×c×(-引 b2=c2+2c+16② 联立①②解得c=2,b=2W后。 由正弦定理点g=2R,得：2R=9-8°- V15 5 所以R=w@ 5 20.在平面直角坐标系x0y中，己知《是第二象限角，其终边上有一点P(x,V), (若cosa=2,求x的值： (2)在1)的条件下，将0P绕坐标原点顺时针旋转至OP，求点P的坐标 【解析】 (1)由题意得P(x,V⑤，则r=Vx2+5。 根据三角函数定义，cos==· 5 又因为0a=要所以：点=受 因为。是第二象限角，x≠0，两边约去x得： 1 _V 4 V+5=万22 两边平方得：x2+5=8x2=3,解得x=±V3。 因为《是第二象限角，所以x<0。故x=一V3。 21知P(-,⑤，则r=(-2+(⑤2=2反。 所以cosa=游=-9sna=是-四 4 设旋转后的角为B,则B=心-日。设P(x,y）,则： x=rcos(a-f=22写+in写 a(9要9（匹 2 y=rsin(a-)=2V2((sinacos写-cos@sin写 ((9周-2(，9- 点P的坐标 21.己知函数f()=V3sinωxcOSWx+sin2wx-三（其中常数ω>0）的最小正周期 为π. (1)求函数y=f(x)的表达式： (2)作出函数y=f(x),x∈[O,π的大致图像，并指出其单调减区间： 6 (3)将y=f(x)的图像向左平移p(0<p<π)个单位长度得到函数y=g(x)的图 像，若实数x1、x2满足f(x)9(x2)=-1,且x1-x2l的最小值是石，求p的值. 【解析】 (1)sinxx+sinxsin2xsin(x) 2 因为y=f(x)的最小正周期为π，且w>0, 所以有交=π→ω=1，即f)=sin(2x-); 2w (2) (2)列表如下： 2x-R 0 3π 11π 6 6 2 6 0 7π 5 12 12 6 0 1 0 2 函数y=fx),x∈[0，x]的大致图象如下图所示： y 5π 单调递减区间为[吾]， (3)由题意可知：gx)=fx+p)=sin(2x+2p-)）， 因为lfx)l≤1，lg(x2)l≤1，f(x2)g(x2)=-1, 所以f(x),g(x2)中有一个为1，另一个为-1， 因为y=fx)的图象向左平移p(0<p<π)个单位长度得 到函数y=gx)的图象，且x-x的最小值是石， 所以传受-9=晋→=号或p=否，因此”的值为晋或晋. 7