广东惠州市第一中学2025-2026学年高一下学期期中诊断数学试题

高一下学期·期中诊断 数学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 则图中阴影部分可表示( ) A. {0,1,2} B. {1,2} C. {-2,-1} D. {-2} 2. 已知复数z满足z·=8,则|z|= ( ) A. B. C. 8 D. 12 3.如图，△O'AB'是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，则△OAB的周长为( ) A. 12 B. 6 C. D. 4. 已知点A(1,3),B(2,4),C(0,5),则在上的投影向量为( ) A. (0,0) B. (2,2) C. D. (1,1) 5.函数 的值域为( ) A. (4,+∞) B. (2lg2,+∞) C. (3lg2,+∞) D. (-∞,+∞) 6.如图，三棱柱 中,点 E, F, G, H分别为BB₁, CC₁, A₁B₁,A₁C₁的中点，则下列说法错误的是 A. E, F, G, H四点共面 B. AA₁与GH 是异面直线 C. EG, FH, AA₁三线共点 D. ∠EGH=∠FHG 7.如图，一个底面半径为2dm，母线长为 的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的 ，则当圆锥的顶点在桌面上，且底 学科网（北京）股份有限公司 面平行于水平桌面时，液面的高度为( ) A. dm B. 2dm C. 3dm D. 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的有 A.正四面体是正三棱锥。 B.棱台的侧面一定是梯形。 C.棱锥的侧面是全等的三角形. D.延长棱台所有侧棱，它们会交于一点。 10.已知正四面体P-ABC的各棱长均为2 A.正四面体P-ABC的高为 B.正四面体P-ABC的体积为2 C. M是棱PA的中点,N是棱AC上一动点,则MN+BN的最小值为 D.球O₁同时与正四面体P-ABC的四个面相切，球O₂同时与正四面体P-ABC的三个面相切，且与球O₁外切，则球O₁和球O₂的半径比为2：1 11.已知方程 则下列说法正确的是 A.若方程有一根为0，则a=0且b=0 B.方程可能有两个实数根 C. 时，方程可能有纯虚数根 D.若方程存在实数根x₀，则 或 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知y=f(x)是奇函数,当x>0时, 则f(-3)= . 13.如图，向量OZ对应的复数为-1+i，把OZ绕点O按逆时针方向旋转 150°，得到 则 对应的复数为 (用代数形式表示). 学科网（北京）股份有限公司 14.如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，已知该“四角反棱柱”的棱长为4，则其外接球的表面积为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(满分13分)已知函数 的部分图象如图所示。 (1)求A , ω的值: (2)求f(x)的单调增区间; (3)求f(x)在区间 上的最大值和最小值. 16. (满分15分)在△ABC中, (1)求∠C; (2)若b=6,且△ABC的面积为( 求 △ABC的周长. 17. (满分15分)如图,四面体ABCD中,点G是△ABC的重心,点E在AD上, AE=2ED. (1)求证: GE∥平面BCD; (2)设过点G，E，C的平面为α，α与四面体的面相交，交线围成一个多边形. (i)请在图中画出这个多边形(不必说出画法和理由)； (ii)求出α将四面体分成两部分几何体体积之比. 学科网（北京）股份有限公司 18. (满分17分) 在 中, 角A, B, C的对边分别为a, b,c, cos2A=1-2sinAsinB. (1)求证: a=b; (2)设AC边上的中点为D. (ì) 若 求C; (ii) 记 求θ的最大值. 19.(满分17分)对于一个向量组 且n≥3), 令 如果存在 使得 则称 是该向量组的“k向量”. (1)设 若 是向量组 的“2向量”，求实数x的取值范围： (2)若向量组 是否存在“-1向量”若存在，求出正整数t的值；若不存在，请说明理由； (3)已知 均是向量组 的“1向量”，若 其中A是△ABC的内角, 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若 的平分线AM交BC于M, AM=2, 求 的取值范围.4 学科网（北京）股份有限公司 $数学科 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A A B ABD ACD ACD 8.【详解】由题可知，b=2c.由A=2B,结合正弦定理 a b sin2 3sinB,得a= b.2sin Bcos B=2bcos B=4c cos B. sin B 再由余弦定理：c0sB-d+c-_a+c-,代入a=4 tco,得：a=4c3C =2.a-3c2 2ac 2ac 2ac 2ac 得a2=2d-6c2,得a=6c,即a=6c,则2=V6,故选：B. 11.【详解】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有(a-b)i+2ab=0,则有a=b,2ab=0,即a=0且b=0, 故A正确：B选项：方程可变形为：x2+2x+2ab+(a-b+2)i=0,即x2+2x+2ab=0,(a-b+2)=0,则x=b-0 2 只有一解，故B错误；C选项：当a=0且b=4时，方程为x2+2(1+i)x+4i=0,x=-2i是该方程的一个纯虚根， C正确：D选项：若方程存在实数根，则x,6,0,代入方程可得：+d+4b-4a+6ab=0,目 (b-a)+4(b-a-8(-ab=0,即(b-a)2+4(b-a)-2(b-a)≤0，解得：(b-a)≤0或(b-a)≥4，即x≤0或x≥2， 故D正确故选：ACD 二、填空题 12.-25 135-1+ 22 14.(32+82)元 【详解】如图，由对称性可知旋转角度为号设上、下正方形的中心分别为Q.0, 连接O,O,,则O,O,的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点， OA即为该几何体的外接球的半径，OA=2√2，O,B=2,AB=25, 过点B作BC⊥OA于点C,则AC=QA-O,B=2√2-2， BC=√AB2-AC=V8√互=2V2√2，易得四边形CB0O,为矩形， 即a0,Bc=25.o0=00,=2i,则 0A=V00,2+042=V8+2W, 即R=V8+2W,S=4R2=(32+8V2)元， 即该“四角反棱柱”的外接球的表面积为32+8√2)π.故答案为：(32+8√②)π 15.【详解】(1)由图象可知，函数f(x)的最大值为2，最小值为-2， 所84-2，因为号-沿后-导所以a要-2：@》由)同-22： 3 令号三2x骨好2cz,解得铅=合hcz, 则以图数因的单河格区同为音+红音+如e2: (3)因为x∈ 后升所拟2x*宁0，当2x+兮分即时，西数有城大恒为2，当2x+号0 3 即x=- 时，医数/有最小省为0 16.【详解】(1)由正弦定理得2 sin CcosC=√3 sin AcosB+V3 sin B cosA=V3si(A+B),因为A+B+C=π，则 A+B=π-C,则2 sinC cosC=V3sin(π-C)=√3sinC,因为0<C<元，所以sinC>0,则有2cosC=√5，解得 eosC=5,则C-君 2 5 (2)由慰意得absinC=-65,共中snC=方6=6，则片a-665,解得a=45,由余弦定理得 2 c2=a+B2-2 o=45j+6-2456512, 2 因为c>0,则c=2√5，则△ABC的周长为a+b+c=4v5+6+2√5=6+6√5 17.【详解】(1)连接AG并延长交BC于点F,连接DF, 因为G-52,所以GB1DP,GB立平面BCD,DPc平面BCD,所以GE1/平面8CD (2)(i)连接CG并延长交AB于点H,连接HB,EC,则平面HBC即为C (3)(ii)由(i)知，x将四面体ABCD分成两部分， 分别为三棱锥C-AHE与四棱锥C-BDH,很显然两个棱锥的高相等，记为， 2 4×n∠F △AHE的面积与△ABD的面积之比为 2 XAl×ADxsin∠HaE 1 3 hxS△As 所以△AE的面积与四边形BDEH的面积之比为1：2，则 VA= P BDEH ) hx SaDER 3 18.【详解】(1)cos2A=1-2 sin A sin B,则2 sin Asin B=1-cos2A=2sin2A, 因A∈(0，π)，则sinA>0,则sinB=siA,又B∈(O,π)，则A=B或者A+B=π（舍），则a=b;(2)(i)因c=2, BD=V3,a=b,∠CDB+∠ADB=元，则在△CDB和△ADB中利用余弦定理可得， 2 +3-a2 2 COS∠CDB+COS∠ADB= 手e-0符a=b=2,则△ABC为等边三角形，故C-骨 2号5 25 2V3a (i)设AC=BC=2a,则D为AC中点，故CD=a 在△BCD中，由正弦定理：n=s∠BDC代入BC=2a,CD=Q得血9=B0c→sin∠BDC=2sin6. CD BC a 2a 由于∠BDC是三角形的内角，必有sin∠BDC≤1，因此2sin日≤1→sin6≤2 由图形可知日为锐角（点D在AC上，∠CBD小于90°），故0≤30°.等号成立当且仅当sin∠BDC=1,即∠BDC=90°。 此时sin日=2得日=30经验证，此时BC=2a,CD=a,∠BDC=90, 由勾股定理得BD=√(2a)2-a2=V3a,进一步可推出△ABC为等边三角形(LC=60),符合题意。 因此，∠CBD的最大值为/ 19.【详解】(1)由题意可得：a≥a+a+4-a,a=1,x-1),4,=(2,x-2),4=(3,x-3),a=(4,x-4), 则V4+(x-4)≥√2+(2x-2),解得：-2V2≤x≤22 (2)有在-1向星，且-1向量为a4,4,理由如下：由题意可得问-Q@s牙+m年-1， 4 若存在-1向量a”,只需使S,+as1.因为 2 4=@-4-994=04-(票9，所以-4+g+6 2’2 6 5co牙mgs1,2m经+到s-1,即m任》-te2g.所心 4 4 5+2m≤红+s匹+2m,k∈Z,解得4+8张≤1≤6+欲，k∈Z,当k=0时，4≤1≤6，故当1=4或5或6时，符 444 合要求，当k为其他整数时，均不合要求，故存在“-1向量”，且“-1向量为a4,a,a,· (3)由题意，得可≥+a,a≥a+a,回≥+a, 问≥口+4平方得问≥a+4可，即a≥(a+a),即a≥a+a+2aa, →2 一2 同理，≥日2+2+2a4,6≥42+82+204 三式相加并化简，得：0≥a+a4+a,+2a4+2aa+2a,4: 即(a+a+a≤0，a+a+as0,所以g+a+a=0, 所以4=--a=-(sinA,cosA)-（-sinA-V5,-cosA+1=(V3,-1, 4-5m4-m4=24】-1得n4引号 1 sinB 因为0<A<元，所以A=于在△ABM中，由正弦定理可得1M BM 所以7Am =sin B sin B sin∠BAM 同理AMCM中.dC,则+mC,又A=号A+c 3 所以如8+血C=动B+任n房+血头o8os8-n8+ cosB=3sinB+ 6 因为》m以后器m传以+6m+升兽