精品解析：山东省济宁市2026届高考模拟考试数学试题

2026年高考模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（ ） A. 5， B. 5， C. 10， D. 10， 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 用模型拟合一组数据，令，若根据样本数据计算可得，，且与的经验回归方程为，则（ ）（参考数据，） A. 1.2 B. 0.92 C. 0.3 D. 0.4 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（ ） A. 展开式共项 B. 展开式中常数项为 C. 展开式中所有项的二项式系数之和为 D. 展开式中所有项的系数之和为 10. 已知函数的一条对称轴为直线，若在区间上单调，且，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（ ） A. B. 四面体体积的最大值为1 C. 时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D. 时，四面体外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点（0，1）处的切线方程为_________. 13. 已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于，两点，为坐标原点，若是，的等比中项，则________ 14. 是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记为数列的前项和，求. 16. 随着量子计算技术的突破，传统密码的安全性受到挑战.某实验室为研究“量子算力等级”与“密码破译成功率”的关系，进行了模拟测试，统计数据如下： 量子算力等级 密码破译成功 密码破译失败 合计 高算力量子机 64 16 80 低算力量子机 36 24 60 合计 100 40 140 （1）依据小概率值的独立性检验，即认为密码破译成功率是否与量子算力等级有关； （2）该实验室使用两台不同算力的量子机（记高算力量子机为A机、低算力量子机为B机）对同一套传统密码进行破译测试，已知A机单次破译成功的概率为，失败的概率为；B机单次破译成功的概率为，失败的概率为；两台机器的破译过程相互独立.测试方案：先随机选择一台机器进行第一次破译，选中A机的概率为，选中B机的概率为；若第一次破译成功则停止测试；若第一次破译失败，则换用另一台机器进行第二次破译，无论第二次破译是否成功都停止测试，求破译成功的概率. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知实数，设函数. （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，证明：函数有唯一极大值点，且； （3）记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由. 19. 已知双曲线过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）圆与轴交于、两点.记直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为.过坐标原点作，垂足为. （i）求直线和直线的斜率之积； （ii）若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 所以，所以． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，再利用共轭复数的意义求出结果. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 3. 已知，，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，解得， 反之，若，则，则， 所以的充要条件是. 4. 抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（ ） A. 5， B. 5， C. 10， D. 10， 【答案】B 【解析】 【分析】应用二项分布的均值和方差公式求解. 【详解】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立的， 所以30次试验中成功次数服从二项分布,即． 故. 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理结合诱导公式化简，再结合特殊角三角函数值计算求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理得，又因为， 所以得， 化简得，即得， 所以，且 则. 6. 用模型拟合一组数据，令，若根据样本数据计算可得，，且与的经验回归方程为，则（ ）（参考数据，） A. 1.2 B. 0.92 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的数据求出样本中心点，求出即可. 【详解】由，， 则，解得，因此， 由两边取对数，得，又， 所以，又因为，所以. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即， 令，， 当时，，单调递减， 所以，即，即， 因为，所以， 所以，即，即， 综上． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程可得，根据题意可得为的角平分线，结合角平分线性质可得，设，可得，代入椭圆方程可得，进而可得和离心率. 【详解】由题意可知：，则，， 因为，，则为的角平分线， 则，可得， 设，，，则，， 因为，则，解得，即， 则，解得，即， 则，则，即， 所以椭圆C的离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（ ） A. 展开式共项 B. 展开式中常数项为 C. 展开式中所有项的二项式系数之和为 D. 展开式中所有项的系数之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由两项二项式系数相等可得，根据二项式定理可判断AC，再通过通项公式可判断B，用赋值法判断选项D可得. 【详解】因为的展开式中，第项与第项的二项式系数相等， 所以，即，得. 所以二项式展开式的项数为，故A正确； 对于B，由通项公式. 令，得，所以常数项为 ，故B错误. 所以二项式展开式中所有项的二项式系数之和为，故C正确； 令，则展开式中所有项的系数之和为 ，故D正确； 10. 已知函数的一条对称轴为直线，若在区间上单调，且，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，对称轴为，求出和，得到解析式，由，且在区间上单调，可得与关于对称中心对称，即可求解的最大值，的最小值. 【详解】，其中， 因为一条对称轴为直线， 所以，解得，A错误； 则，所以可取， 此时， 由，得， 由于，所以在区间上单调递减，B正确； 因为在区间上单调，且， 所以的最大值为，C正确； 对称中心横坐标满足，得， 又，且在区间上单调， 所以与关于对称中心对称，所以， 所以当时，可得最小，D错误． 11. 如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（ ） A. B. 四面体体积的最大值为1 C. 时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D. 时，四面体外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，作辅助线通过证明线面垂直证明线线垂直；对于B选项，找出二面角的平面角，计算四面体体积与的关系来判断体积的最大值；对于C选项，通过取各边中点把截面作出来，结合A选项得到截面为矩形，再计算面积；对于D选项，时，四面体有两个平面互相垂直，属于垂面型外接球，找到球心，计算出半径即可. 【详解】对于A选项，取中点，连接 由于与是两个等腰三角形，， 沿着翻折到，所以，,点为中点， 所以， 故平面, ,所以A选项正确； 对于B选项，作于点，作 于点,连接,那么由可知 ,那么为二面角的平面角, 面, 所以，面,， ， 所以，四面体体积的最大值为1，故B选项正确； 对于C选项，分别取 的中点 ，连接 , 根据中位线的性质可知 ,且 所以， 且 ，四边形 为平行四边形， 所以，直线且与平行的平面截四面体的截面为.当时，由B选项可知为正三角形，, , 由可得，,为矩形， ，故C选项错误； 对于选项D，当时，平面平面,由B选项可知平面, 取的外心，取的外心，外接圆半径, 分别作平面的垂线，平面的垂线 交于一点,即四面体外接球球心，作于点 ，由于，所以为等腰直角三角形， 所以，, 所以，， ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点（0，1）处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为. 考点：利用导数求切线方程. 13. 已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于，两点，为坐标原点，若是，的等比中项，则________ 【答案】8 【解析】 【分析】设直线，与抛物线方程联立可得韦达定理，结合等比中项可得，进而可求弦长. 【详解】由题意可知：， 设直线，，， 则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 因为是，的等比中项，则， 可得，即， 所以. 14. 是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用三角形重心的性质，结合等高的三角形面积关系建立函数，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】设，由是的重心，得， 则，又点共线，因此，即， 而，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记为数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【小问1详解】 因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； 【小问2详解】 由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 16. 随着量子计算技术的突破，传统密码的安全性受到挑战.某实验室为研究“量子算力等级”与“密码破译成功率”的关系，进行了模拟测试，统计数据如下： 量子算力等级 密码破译成功 密码破译失败 合计 高算力量子机 64 16 80 低算力量子机 36 24 60 合计 100 40 140 （1）依据小概率值的独立性检验，即认为密码破译成功率是否与量子算力等级有关； （2）该实验室使用两台不同算力的量子机（记高算力量子机为A机、低算力量子机为B机）对同一套传统密码进行破译测试，已知A机单次破译成功的概率为，失败的概率为；B机单次破译成功的概率为，失败的概率为；两台机器的破译过程相互独立.测试方案：先随机选择一台机器进行第一次破译，选中A机的概率为，选中B机的概率为；若第一次破译成功则停止测试；若第一次破译失败，则换用另一台机器进行第二次破译，无论第二次破译是否成功都停止测试，求破译成功的概率. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为分析密码破译成功率与量子算力等级有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验判断即可； （2）根据独立事件乘法公式计算． 【小问1详解】 零假设密码破译成功率与量子算力等级无关， ， 所以，依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为分析密码破译成功率与量子算力等级有关； 【小问2详解】 记“破译成功”为事件，A机单次破译成功为事件，A机单次未破译成功为事件， B机单次破译成功为事件，B机单次未破译成功为事件， 选中A机为事件，选中B机为事件， 则 ， 故破译成功的概率为． 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 由四棱锥的底面是矩形，底面，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令， 则， ， 设平面，平面的法向量分别为， 则，取，得； ，令，得， 由平面平面，得，因此，而，解得， ，，则， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，结合（1）中信息，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量，， 设平面的法向量，则，取，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知实数，设函数. （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，证明：函数有唯一极大值点，且； （3）记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由. 【答案】（1）当,时，，单调递增；当,时，，单调递减. （2）证明：， 因为，恒成立，所以的符号完全由决定. , 当时，，，所以，因此在上单调递减. 因为， 由零点存在定理：存在唯一，使，即， 当 时，，故，单调递增； 当 时，，故，单调递减 故为唯一极大值点. 由，可得：，利用三角恒等式：​ 因此： 现在只需证明：， 对不等式两边取自然对数（两边均为正），即证： 令，只需证对所有成立. 化简：， ​对求导： ​ 通分整理： 可见，，且仅当时. 因此， 在上单调递减. , 当时， ，故恒成立 因此：恒成立， 即： 综上，函数 在内有唯一极大值点​，且. （3）数列是等比数列，公比. 【解析】 【分析】（1）利用导数可直接判断单调性 （2）求出，构造，进而利用导数证明有唯一极大值点；利用，结合三角恒等与对数公式转化为证明，构造，利用导数求出最值 （3）利用导数求出的所有极值点，设，则，进而，，化简即可判断. 【小问1详解】 已知，定义域. 求导： ， 因为 恒成立，符号由决定 所以，当,时，，单调递增； 当,时，，单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ，时，即， 方程在 (0,+∞) 内的所有解为：,  按从小到大排列，第个极值点为：, . ， 设，则，由三角恒等式：， 因此：， 代入：， ，, 故数列是等比数列，公比. 19. 已知双曲线过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）圆与轴交于、两点.记直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为.过坐标原点作，垂足为. （i）求直线和直线的斜率之积； （ii）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）直接由双曲线的渐近线方程设方程，再代入点的坐标可得方程； （2）（i）由圆的方程可得纵坐标之积为，再将直线和直线的斜率用点纵坐标表示，进而可得结果；（ii）先确定直线过定点，再设直线的方程为，结合可得点的坐标，再由直线和的方程可得，从而可表示出，再构造函数，通过导数求函数的最小值可得. 【小问1详解】 因双曲线渐近线方程为，所以设双曲线方程为 ​， 因为已知双曲线过点，代入方程得，得. 所以双曲线方程为，即. 【小问2详解】 （i）因为圆与轴交于、两点，令， 得，设，由韦达定理得，且， 所以，，所以. 因此直线和直线的斜率之积为. （ii）设直线斜率为，则由（i）得直线的斜率​， 将直线方程代入双曲线方程， 得，因为直线与双曲线一个交点为， 所以由韦达定理可得，， 再代入直线方程得，所以. 同理得，又因为，所以. 所以 ， 直线的方程为， 令得，， 所以直线PQ恒过定点. 设直线的斜率为，则，且过点，所以直线的方程为， 又因为，所以的直线方程为，代入， 解得，， 又因为直线的方程为，令得，同理可得， 由圆的圆心，得， 所以，，， 所以 令，则， 令，， 令，得，解得或（舍去，因为） 所以当时，；当时，. 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以函数有极小值也是最小值. 因为若恒成立，所以，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $