2025届山东省济宁市高考二模数学试题

2025年高考模拟考试 数学试题 2025.04 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A= x|x2-x-2>0 ,B= x|y=lg(x-1) ,则(∁RA)∩B= A.[-1,1) B.(1,2) C.(1,2] D.[-1,+∞) 2.已知1-2i是关于x 的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根,则|a+bi|= A.2 B.3 C.5 D.29 3.已知圆锥的体积为 22π 3 ,其侧面展开图是一个圆心角为2π 3 的扇形,则该圆锥的底面半径为 A. 1 2 B.1 C.2 D.2 4.若函数f x = 1 2 x2-ax 在 1,+∞ 上单调递减,则实数a 的取值范围是 A.a≤2 B.a≥2 C.a≤1 D.a≥1 5.已知 an 为等比数列,且a1=1,则“a5=2”是“a9=4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数f x =sinωx- 3cosωx+ 3ω>0 在区间 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 上有且仅有3个零点,则实数 ω 的取值范围是 A.[ 14 3 ,20 3 ) B.[4, 16 3 ) C.[4, 22 3 ] D.[4, 22 3 ) )页4共(页1第 题试学数 7.若圆x2+y2-2ax-2y-1=0关于直线x+by-2=0对称,其中a>0,b>0,则 1 a+ 4a+1 b 的最小值为 A.2 B. 5 2 C.4 D.2+25 8.已知F 是椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的右焦点,直线y= 4 3x 交C 于A,B 两点,若AF⊥BF, 则椭圆C 的离心率为 A. 5 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 3 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 9.已知A,B 为随机事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下列结论正确的是 A.若A,B 互斥,则P(A∪B)=0.9 B.若A,B 相互独立,则P(AB)=0.2 C.若A,B 相互独立,则P(A∪B)=0.7 D.若P(B|A)=0.5,则P(B|A)=0.3 10.已知函数f(x)=cosx-sin(cosx)-1,则下列结论正确的是 A.f(x)的图象关于y 轴对称 B.2π是f(x)的一个周期 C.f(x)在[0,π]上为增函数 D.f(x)<- 2 2 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,点P 在正方体的内切球表面上运动,且满足 BP//平面ACD1,则下列结论正确的是 A.BP⊥B1D B.点P 的轨迹长度为π C.线段BP 长度的最小值为 6 6 D.BP→·BC1 → 的最小值为1- 3 3 )页4共(页2第 题试学数 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知函数f(x)= 4x+1,x≤1, -log2(x+1),x>1, 则f(f(12))的值为 ▲ . 13.已知抛物线C:x2=4y 的焦点为F,P 为C 上的动点,点A(1,-1),则 |PF| |PA| 取最小值时, 直线PA 的斜率为 ▲ . 14.箱子中装有4个红球,2个黄球(除颜色外完全相同),掷一枚质地均匀的骰子1次,如果点 数为i(i=1,2,3,4,5,6),则从该箱子中一次性取出i个球.规定:依据i个球中红球的个 数,判定甲的得分X,每一个红球记1分;依据i个球中黄球的个数,判定乙的得分Y,每一 个黄球记2分.比如:若一次性取出了2个红球,2个黄球,则判定甲得分X=2,乙得分Y= 4.则在1次掷骰子取球的游戏中,P X>Y = ▲ . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a(2-cosB)=b(1+cosA). (1)证明:b+c=2a; (2)若△ABC 的面积为 3 4bc ,证明△ABC 为等边三角形. 16.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,E 为PC 的中点,PA=AD,PD⊥BE. (1)证明:平面PAD⊥平面ABCD; (2)若PD=AD,直线PB 与平面PDA 所成角的正切值 等于2,求平面ABE 与平面PBC 夹角的余弦值. 17.(15分) 已知双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 7 2 ,且点A(4,3)在双曲线C 上, (1)求C 的方程; (2)若直线l交C 于P,Q 两点,∠PAQ 的平分线与x 轴垂直,求证:l的倾斜角为定值. )页4共(页3第 题试学数 18.(17分) 已知函数f(x)=xex-a,a∈R. (1)讨论f(x)零点的个数; (2)若|f(x)|>ax(lnx+1),求实数a 的取值范围. 19.(17分) 将所有正整数按照如下规律形成数阵: 第1行 1 2 3 ...... 7 8 9 第2行 10 11 12 ...... 97 98 99 第3行 100 101 102 ...... 997 998 999 第4行 1000 1001 1002 ...... 9997 9998 9999 ............ (1)将数列 3n+1 与数列 2n 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 an ,试确定a6 在该数阵中的位置; (2)将数阵中所有相邻两位数字(从左到右)出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变,得 到一个新数阵,记新数阵第n 行中正整数的个数为bn. (ⅰ)求b1,b2,b3; (ⅱ)求bn. )页4共(页4第 题试学数 2025年高考模拟考试 数学试题参考答案 2025.04 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C 8.A 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。 9.ACD 10.ABD 11.ACD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 13. -2 14. 1- 5 2 15. 11 30 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)证明:由正弦定理得sinA(2-cosB)=sinB(1+cosA), 2分…………………………… 即2sinA-sinAcosB=sinB+sinBcosA, 所以2sinA=sinB+sinAcosB+cosAsinB, 所以2sinA=sinB+sinC, 4分………………………………………………………………… 由正弦定理得2a=b+c. 6分………………………………………………………………… (2)证明:因为 1 2bcsinA= 3 4bc ,所以sinA= 3 2 , 8分………………………………………… 因为2a=b+c,所以A 为锐角,所以A= π 3. 9 分…………………………………………… 由余弦定理得a2=b2+c2-bc, 10分………………………………………………………… 又a= b+c 2 ,代入化简得b=c, 12分…………………………………………………………… 所以a=b=c, 所以△ABC 为等边三角形. 13分……………………………………………………………… 16.(1)证明:设F 为PD 的中点,连接AF,EF, 因为E 为PC 的中点,所以EF//CD,EF= 1 2CD , 又AB//CD,AB=CD,所以EF//AB,EF= 1 2AB , 所以AF 与BE 必相交. 2分…………………………………………………………………… 因为PA=AD,所以AF⊥PD, 又PD⊥BE,所以PD⊥平面ABEF, 3分…………………………………………………… 所以PD⊥AB, 4分…………………………………………………………………………… )页5共(页1第 案答考参题试学数 又AD⊥AB,PD∩AD=D,所以AB⊥平面PAD, 5分…………………………………… 又AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD. 6分…………………………………… (2)解:设O,G 分别为AD,BC 的中点,因为PA=AD=PD,所以PO⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以PO⊥平面ABCD,所以PO⊥OA,PO⊥OG,又OA⊥OG, 所以,以O 为坐标原点,OA,OG,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z轴, 建立空间直角坐标系. 8分……………………………………………………………………… 由(1)知AB⊥平面PAD,所以∠APB 即为直线PB 与平面PDA 所成的角, 9分……… 所以tan∠APB= AB AP=2 ,设AP=2,则AB=4, 所以A(1,0,0),B(1,4,0),C(-1,4,0),D(-1,0,0),P(0,0,3). 10分………………… 因为PD⊥平面ABEF,所以平面ABE 的法向量为m=PD→=(-1,0,- 3). 11分…… 设平面PBC 的法向量为n=(x,y,z), 又BC→=(-2,0,0),PB→=(1,4,- 3), 所以 n·BC→=-2x=0 n·PB→=x+4y- 3z=0 , 取n=(0,3,4), 13分……………………………………… 所以平面ABE 与平面PBC 夹角的余弦值为 |cos<m,n>|= |m·n| |m||n|= 43 2× 19 = 2 57 19 . 15 分…………………………………………… 17.(1)解:由题意得 c a= 7 2 16 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 3分………………………………………………………………………………… 解得a2=4,b2=3 所以C 的方程为 x2 4- y2 3=1. 4 分……………………………………………………………… (2)证明:由题意知l的斜率必存在,设l:y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2). 联立 y=kx+m x2 4- y2 3=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得(3-4k 2)x2-8kmx-4m2-12=0, 5分………………………………… )页5共(页2第 案答考参题试学数 所以x1+x2= 8km 3-4k2 ,x1x2= -4m2-12 3-4k2 . 7分……………………………………………… 因为∠PAQ 的平分线与x 轴垂直,所以kAP+kAQ= y1-3 x1-4 + y2-3 x2-4 =0, 9分……………… 即(x2-4)(y1-3)+(x1-4)(y2-3)=0, 亦即(x2-4)(kx1+m-3)+(x1-4)(kx2+m-3)=0, 展开得2kx1x2+(m-4k-3)(x1+x2)-8(m-3)=0, 11分……………………………… 所以2k× -4m2-12 3-4k2 +(m-4k-3)× 8km 3-4k2 -8(m-3)=0, 化简得(k+1)(4k+m-3)=0. 13分………………………………………………………… 由题意知直线l:y=kx+m 不过点A(4,3),所以4k+m-3≠0, 所以k=-1,故l的倾斜角为定值 3π 4. 15 分………………………………………………… 18.解:(1)f(x)=0时,a=xex 令g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex 1分…………………………………………………… 所以,x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增 2分… 又x<0时,g(x)<0,x→-∞时,g(x)→0;x=-1时,g(x)=- 1 e , x→+∞时,g(x)→+∞ 3分…………………………………………………………………… 所以,①当a<- 1 e 时,f(x)无零点 4分……………………………………………………… ②a=- 1 e 或a≥0时,f(x)有1个零点 5分…………………………………………… ③当- 1 e<a<0 时,f(x)有2个零点 6分……………………………………………… (2)当a≤0时,由x>0得f(x)>0 所以,|f(x)|>ax(lnx+1)等价于xex-a>ax(lnx+1)对x∈(0,+∞)恒成立 7分…… 即,ex>a(lnx+ 1 x+1 )对x∈(0,+∞)恒成立 8分………………………………………… 令h(x)=lnx+ 1 x+1 ,x>0,则h'(x)= x-1 x2 ∴h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增 ∴h(x)≥h(1)=2,又ex>0 9分……………………………………………………………… ∴ex>a(lnx+ 1 x+1 )对x∈(0,+∞)恒成立 所以,a≤0时成立 10分………………………………………………………………………… )页5共(页3第 案答考参题试学数 当a>0,x∈(0, 1 e )时,ax(lnx+1)<0,显然成立. 当a>0,x∈[ 1 e ,+∞)时, |f(x)|>ax(lnx+1)等价于xex-a>ax(lnx+1)或xex-a<-ax(lnx+1) 即e x a>lnx+ 1 x+1 或e x a<-lnx+ 1 x-1 11 分……………………………………………… 对于,e x a<-lnx+ 1 x-1 ,取x=1,得 e a<0 ,与a>0矛盾,故不成立 13分………………… 对于e x a>lnx+ 1 x+1 ,即1 a> lnx+ 1 x+1 ex ,对x∈[ 1 e ,+∞)恒成立 14分………………… 令t(x)= lnx+ 1 x+1 ex ,x∈[ 1 e ,+∞),则t'(x)= - 1 x2 -lnx-1 ex <0 15分………………… ∴t(x)在[ 1 e ,+∞)内单调递减 ∴t(x)≤t( 1 e )=e 1-1e 所以,0<a<e 1 e-1 16分………………………………………………………………………… 综上,实数a 的取值范围是(-∞,e 1 e-1) 17分………………………………………………… 19.解:(1)设3m+1=2n, 1分……………………………………………………………………… 因为,2n = 3-1 n =C0n·3n+C1n·3n-1· -1 +C2n·3n-2· -1 2+…+Cn-1n ·3· -1 n-1+Cnn· -1 n, 所以,m= C0n·3n+C1n·3n-1· -1 +C2n·3n-2· -1 2+…+Cn-1n ·3· -1 n-1+Cnn· -1 n-1 3 , 3分…………………………………………………………………………………………… 所以,当且仅当n 为偶数时,m 可以取得正整数, 所以,当且仅当n 为偶数时,数列有公共项, 所以,an=22n,故a6=212=4096, 4分………………………………………………………… 所以,a6 是数阵第4行,第97个数. 5分……………………………………………………… (2)(ⅰ)当n=1时,显然b1=9. 6分…………………………………………………………… 当n=2时,第2行2位数有90个,其中只有12去掉.故b2=9×10-1=89. 7分………… 当n=3时,第3行3位数有900个,其中有两种情况去掉: 百位和十位分别为12,此时有10个;十位和个位分别为12,此时有9个. )页5共(页4第 案答考参题试学数 故b3=900-19=881. 9分……………………………………………………………………… (ⅱ)当n>2时,将第n+1行bn+1 个符合条件的n+1位正整数分为两类: ①个位数字不等于2时,个位数字有9种取法,前面n 位数有bn 种取法,这时n+1位正整 数中有9bn 个; 10分…………………………………………………………………………… ②个位数字等于2时,前面n 位数有bn 种取法,但这bn 个n+1位正整数中十位数字等于1 的bn-1 个正整数要去掉.故个位数字等于2且十位数字不等于1的n+1位正整数有bn- bn-1 个. 11分…………………………………………………………………………………… 综上,由加法原理知bn+1=10bn-bn-1. 12分………………………………………………… 设bn+1-xbn= 10-x bn- 1 10-xbn-1 , 所以,x= 1 10-x ,即x2-10x+1=0, 解得x=5±26, 13分………………………………………………………………………… 所以,bn+1-5+26 bn 是首项为b2-5+26 b1=44-186,公比为5-26的等比数列; bn+1- 5-26 bn 是首项为b2- 5-26 b1=44+186,公比为5+26的等比数列; 所以,bn+1- 5+26 bn= 44-186 5-26 n-1, bn+1- 5-26 bn= 44+186 5+26 n-1, 所以,当n>2时,bn= 116+27 5+26 n-1- 116-27 5-26 n-1 6 , 15分……… 经检验,当n=1时,b1=9也成立 当n=2时,b2=89也成立. 16分……………………………………………………………… 综上,bn= 116+27 5+26 n-1- 116-27 5-26 n-1 6 . 17 分…………………… )页5共(页5第 案答考参题试学数 2025年高考模拟考试 数学试题 2025.04 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A= x|x2-x-2>0 ,B= x|y=lg(x-1) ,则(∁RA)∩B= A.[-1,1) B.(1,2) C.(1,2] D.[-1,+∞) 2.已知1-2i是关于x 的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根,则|a+bi|= A.2 B.3 C.5 D.29 3.已知圆锥的体积为 22π 3 ,其侧面展开图是一个圆心角为2π 3 的扇形,则该圆锥的底面半径为 A. 1 2 B.1 C.2 D.2 4.若函数f x = 1 2 x2-ax 在 1,+∞ 上单调递减,则实数a 的取值范围是 A.a≤2 B.a≥2 C.a≤1 D.a≥1 5.已知 an 为等比数列,且a1=1,则“a5=2”是“a9=4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数f x =sinωx- 3cosωx+ 3ω>0 在区间 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 上有且仅有3个零点,则实数 ω 的取值范围是 A.[ 14 3 ,20 3 ) B.[4, 16 3 ) C.[4, 22 3 ] D.[4, 22 3 ) )页4共(页1第 题试学数 7.若圆x2+y2-2ax-2y-1=0关于直线x+by-2=0对称,其中a>0,b>0,则 1 a+ 4a+1 b 的最小值为 A.2 B. 5 2 C.4 D.2+25 8.已知F 是椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的右焦点,直线y= 4 3x 交C 于A,B 两点,若AF⊥BF, 则椭圆C 的离心率为 A. 5 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 3 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 9.已知A,B 为随机事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下列结论正确的是 A.若A,B 互斥,则P(A∪B)=0.9 B.若A,B 相互独立,则P(AB)=0.2 C.若A,B 相互独立,则P(A∪B)=0.7 D.若P(B|A)=0.5,则P(B|A)=0.3 10.已知函数f(x)=cosx-sin(cosx)-1,则下列结论正确的是 A.f(x)的图象关于y 轴对称 B.2π是f(x)的一个周期 C.f(x)在[0,π]上为增函数 D.f(x)<- 2 2 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,点P 在正方体的内切球表面上运动,且满足 BP//平面ACD1,则下列结论正确的是 A.BP⊥B1D B.点P 的轨迹长度为π C.线段BP 长度的最小值为 6 6 D.BP→·BC1 → 的最小值为1- 3 3 )页4共(页2第 题试学数 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知函数f(x)= 4x+1,x≤1, -log2(x+1),x>1, 则f(f(12))的值为 ▲ . 13.已知抛物线C:x2=4y 的焦点为F,P 为C 上的动点,点A(1,-1),则 |PF| |PA| 取最小值时, 直线PA 的斜率为 ▲ . 14.箱子中装有4个红球,2个黄球(除颜色外完全相同),掷一枚质地均匀的骰子1次,如果点 数为i(i=1,2,3,4,5,6),则从该箱子中一次性取出i个球.规定:依据i个球中红球的个 数,判定甲的得分X,每一个红球记1分;依据i个球中黄球的个数,判定乙的得分Y,每一 个黄球记2分.比如:若一次性取出了2个红球,2个黄球,则判定甲得分X=2,乙得分Y= 4.则在1次掷骰子取球的游戏中,P X>Y = ▲ . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a(2-cosB)=b(1+cosA). (1)证明:b+c=2a; (2)若△ABC 的面积为 3 4bc ,证明△ABC 为等边三角形. 16.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,E 为PC 的中点,PA=AD,PD⊥BE. (1)证明:平面PAD⊥平面ABCD; (2)若PD=AD,直线PB 与平面PDA 所成角的正切值 等于2,求平面ABE 与平面PBC 夹角的余弦值. 17.(15分) 已知双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 7 2 ,且点A(4,3)在双曲线C 上, (1)求C 的方程; (2)若直线l交C 于P,Q 两点,∠PAQ 的平分线与x 轴垂直,求证:l的倾斜角为定值. )页4共(页3第 题试学数 18.(17分) 已知函数f(x)=xex-a,a∈R. (1)讨论f(x)零点的个数; (2)若|f(x)|>ax(lnx+1),求实数a 的取值范围. 19.(17分) 将所有正整数按照如下规律形成数阵: 第1行 1 2 3 ...... 7 8 9 第2行 10 11 12 ...... 97 98 99 第3行 100 101 102 ...... 997 998 999 第4行 1000 1001 1002 ...... 9997 9998 9999 ............ (1)将数列 3n+1 与数列 2n 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 an ,试确定a6 在该数阵中的位置; (2)将数阵中所有相邻两位数字(从左到右)出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变,得 到一个新数阵,记新数阵第n 行中正整数的个数为bn. (ⅰ)求b1,b2,b3; (ⅱ)求bn. )页4共(页4第 题试学数