精品解析：2026年北京市朝阳区中考一模考试数学试题

北京市朝阳区九年级综合练习（一） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 传统建筑中的窗格不仅具有实用功能，更承载着深厚的文化寓意与审美价值，下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个六边形的每个外角都是，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 不透明的袋子中装有个红球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年我国外贸进出口总额达亿元，其中出口总额亿元，增长了，进口总额亿元，增长了．2025年我国贸易顺差（顺差出口总额进口总额）用科学记数法表示为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 7. 如图，是内部一点．若以为圆心，长为半径画弧，分别与射线，交于点，（点，均不与点重合），连接，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为____________． 10. 分解因式：3a2+6ab+3b2=________________． 11. 方程的解为______________． 12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 13. 某集团校有20000名学生．为了解这些学生单次使用电子屏幕时长的分布情况，从中随机抽取了1000名学生，获得他们单次使用电子屏幕时长的数据（单位：），数据整理如下： 分组 人数 650 157 101 63 29 根据以上信息，估计该集团校20000名学生单次使用电子屏幕时长不超过的人数为________． 14. 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如下表所示： 温度 0 10 20 声音传播的速度 331 337 343 研究发现，在一定条件下，是的一次函数，函数关系为（，为常数，且）．当温度为时，声音传播的速度为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，点的坐标为，与轴交于点，点在边上，将沿直线翻折，得到．若点恰好落在轴上，则的面积为________． 16. 某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分．该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分． （1）积分最低的球队负________场； （2）积分排名第三的球队最低积________分， 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式且的值． 20. 如图，在中，点在边上，，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（）的值既小于函数的值，也大于0，直接写出的取值范围． 22. 某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 23. 某学校举办了七、八年级智能机器人应用比赛，比赛包括机器人基础知识、结构搭建、编程控制、综合应用四个分项，采用百分制记录比赛成绩（成绩取整数，单位：分），比赛分为两个阶段． （1）第一阶段为机器人基础知识比赛，该校七、八两个年级智能机器人应用代表队各有8名学生参赛，对他们的成绩进行描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的折线图： b．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数分别为，91，方差分别为，18． 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为________； ②________18；（填“”“”或“”） （2）七、八年级各选派基础知识比赛成绩前三名的学生，参加第二阶段结构搭建、编程控制、综合应用的比赛，部分数据如下： 年级 学生 基础知识 结构搭建 编程控制 综合应用 平均数 方差 七年级 A 91 93 96 95 93.75 3.6875 B 92 92 92 97 93.25 4.6875 C 96 92 88 八年级 D 98 90 92 96 10 E 95 92 93 95 93.75 1.6875 F 94 91 91 95 92.75 3.1875 ①表中的值为________； ②根据比赛成绩，学校对这六名学生进行最后的排序，排序标准为：平均数较大的优先；若平均数相等，则综合应用成绩较高的优先；若综合应用成绩也相等，则方差较小的优先．按上述标准排序后，这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，则表中所有可能的值为________． 24. 如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）过点作，交的延长线于点，交于点．若，，求的长． 25. 小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 1 11 16 21 26 31 36 … 0.5 1.1 2.4 5.1 10.6 21.7 44 88.7 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示： （1）表中的值为________； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线； （3）根据以上信息，解决下列问题： ①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案________；（填写“一”“二”或“三”） ②可以推断，从第________天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若对于，，总有，同号，且，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． （1）根据题意补全图形，并证明； （2）过点作直线的垂线，垂足为，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为． （1）如图，． ①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为________； ②点，，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围； （2）已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市朝阳区九年级综合练习（一） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 传统建筑中的窗格不仅具有实用功能，更承载着深厚的文化寓意与审美价值，下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：将图形沿某直线对折，直线两边的部分能够重合，则该图形称为轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形称为中心对称图形；据此求解即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A，，数轴上右边的数大于左边的数，在的右边，，本项错误； B，，两数相加，符号由绝对值较大的数决定，离原点远，，，，本项错误； C，，两数相乘，同号为正，异号为负，，本项错误； D，，绝对值指表示的数与原点的距离，离原点越远，绝对值越大，本项正确，符合题意． 3. 若一个六边形的每个外角都是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，六边形有个外角，结合每个外角相等的条件即可计算的值． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该六边形有个外角，且每个外角都相等， ∴． 4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根列方程求解即可. 【详解】由题意得∆=0， ∴4-4k=0， 解得k=1， 故选：A. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况求未知数的值，正确掌握一元二次方程的根的三种情况：方程有两个不相等的实数根时∆>0，方程有两个相等的实数根时∆=0，方程没有实数根时∆<0. 5. 不透明的袋子中装有个红球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定总球数和红球的个数，代入概率公式即可得到结果． 【详解】解：∵袋子中共有个红球个绿球， ∴球的总个数为， ∴可得随机摸出个球是红球的概率为． 6. 2025年我国外贸进出口总额达亿元，其中出口总额亿元，增长了，进口总额亿元，增长了．2025年我国贸易顺差（顺差出口总额进口总额）用科学记数法表示为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的应用，先根据公式计算顺差，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：亿元． 7. 如图，是内部一点．若以为圆心，长为半径画弧，分别与射线，交于点，（点，均不与点重合），连接，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长至点D，由题意可得，根据等边对等角得到，，因此，，再由角的和差即可求解． 【详解】解：延长至点D， 由题意可得， ∴，， ∴， ， ∴ ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】通过表示,,,, 进行比较，在表示，,的面积进行比较． 【详解】当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 联立方程组得，整理得， 设，， ∴，， 当时，方程为即， ∴， 解得，， ∴，， ∴,,， 此时，所以①说法错误；②正确； ， 当时，即时，， 所以③正确； ， ∴， ∴④正确． 【点睛】本题主要考查直线与横纵坐标轴的交点，直线和反比例函数的交点，以及三角形相关的面积计算，熟练掌握函数相关的知识点是解决本题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：若在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数为非负数，即 ， 解得． 10. 分解因式：3a2+6ab+3b2=________________． 【答案】3（a+b）2 【解析】 【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2． 【详解】3a2+6ab+3b2=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2． 故答案为:3（a+b）2． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 11. 方程的解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解． 【详解】解： ， ∴， 经检验：是原方程的解． 故答案为：x=3． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据找到符合的数值即可．　 【详解】解：， 取，， 则，， ， 故命题“若，则”是假命题． 13. 某集团校有20000名学生．为了解这些学生单次使用电子屏幕时长的分布情况，从中随机抽取了1000名学生，获得他们单次使用电子屏幕时长的数据（单位：），数据整理如下： 分组 人数 650 157 101 63 29 根据以上信息，估计该集团校20000名学生单次使用电子屏幕时长不超过的人数为________． 【答案】13000 【解析】 【分析】先由表格得出抽取1000名学生样本中单次使用电子屏幕时长不超过15min的人数，再求出该组数据的频率，最后用该集团校学生总人数乘以该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由表格可得，随机抽取的1000名学生中，单次使用电子屏幕时长不超过15min的人数为650人， ∴该组数据的频率为， ∴估计该集团校20000名学生单次使用电子屏幕时长不超过15min的人数为：． 14. 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如下表所示： 温度 0 10 20 声音传播的速度 331 337 343 研究发现，在一定条件下，是的一次函数，函数关系为（，为常数，且）．当温度为时，声音传播的速度为________． 【答案】340 【解析】 【分析】利用表格中给出的两组对应值，通过待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入解析式计算得到对应的值． 【详解】解：已知，， 由表格数据，当时，，代入得 ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，，代入得 ， 解得， ∴与的函数解析式为， 将代入解析式，得 ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，点的坐标为，与轴交于点，点在边上，将沿直线翻折，得到．若点恰好落在轴上，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标为，四边形是正方形，可以求出正方形的边长为，、，利用勾股定理求出的长度为，从而可知，设，即可求出，利用勾股定理列方程求出的值，再根据三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：点的坐标为，四边形是正方形， 点的坐标为，， ，， ， 由折叠可知， ， ，， 设，则有， 由折叠可知， ， ， 解得：， ， ． 16. 某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分．该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分． （1）积分最低的球队负________场； （2）积分排名第三的球队最低积________分， 【答案】 ①. 3 ②. 4 【解析】 【分析】（1）先确定每支球队共比赛4场，结合积分规则分析最低积分1分的组成，即可得到负场数； （2）要使排名第三的球队积分最低，需让前两名积分尽可能高，再结合各队积分均不同的条件，构造验证得到第三的最低积分． 【详解】解：每两支参赛球队均要比赛一场，每支球队共比赛场． （1）已知积分最低的球队积1分，根据积分规则，1分只能是 ，即该队0胜1平3负，因此负场数为3． （2）设五支球队按积分从高到低为，其中积1分，要使积分最低，需让积分尽可能高． 安排四战全胜，积分；负于，战胜，积分，满足积分不同． 再安排比赛结果：负于，平，得1分，符合要求；负于，平，得分；负于，平，胜，得分． 此时积分排序为 ，所有积分均不同，符合题意． 若积3分，则第四位只能是2分，无论如何安排，都会出现积分重复或第三名为更高积分的球队，因此最低积4分． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式，再取它们解集的公共部分，就是不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式且的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，由，可得：，利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】解： ， ， ， 原式． 20. 如图，在中，点在边上，，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（）先证出四边形是平行四边形，再证出即可． （）根据四边形是菱形得到，结合解三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设交于点． 由（1）得，，，，． ， ． 在中，． ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，以及解三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（）的值既小于函数的值，也大于0，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将和代入函数解析式，得到关于、的方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先求出第（1）问中的具体解析式，然后根据当时，，分类讨论即可． 【小问1详解】 将交点和代入，得， 解得． ∴，． 【小问2详解】 由(1)得原函数为， 根据题意，当时，不等式组 ，对所有恒成立； ∵， ∴， 当时，， 要对所有成立，得​； ∵， ∴， 若，左边随增大而增大，当足够大时，，不满足恒成立； 若，恒成立，满足要求． 综上，的取值范围是． 22. 某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 【答案】甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元 【解析】 【分析】设未知数表示两种名著的单价，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲种名著的单价为元，则乙种名著的单价为元， 根据题意，得， 解得， 则， 故甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元． 23. 某学校举办了七、八年级智能机器人应用比赛，比赛包括机器人基础知识、结构搭建、编程控制、综合应用四个分项，采用百分制记录比赛成绩（成绩取整数，单位：分），比赛分为两个阶段． （1）第一阶段为机器人基础知识比赛，该校七、八两个年级智能机器人应用代表队各有8名学生参赛，对他们的成绩进行描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的折线图： b．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数分别为，91，方差分别为，18． 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为________； ②________18；（填“”“”或“”） （2）七、八年级各选派基础知识比赛成绩前三名的学生，参加第二阶段结构搭建、编程控制、综合应用的比赛，部分数据如下： 年级 学生 基础知识 结构搭建 编程控制 综合应用 平均数 方差 七年级 A 91 93 96 95 93.75 3.6875 B 92 92 92 97 93.25 4.6875 C 96 92 88 八年级 D 98 90 92 96 10 E 95 92 93 95 93.75 1.6875 F 94 91 91 95 92.75 3.1875 ①表中的值为________； ②根据比赛成绩，学校对这六名学生进行最后的排序，排序标准为：平均数较大的优先；若平均数相等，则综合应用成绩较高的优先；若综合应用成绩也相等，则方差较小的优先．按上述标准排序后，这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，则表中所有可能的值为________． 【答案】（1）①；②； （2）①94；②96，97 【解析】 【分析】（1）①根据中位数的定义即可得； ②方法一：先求出平均数，再求出方差即可；方法二：根据折线图观察七、八年级的成绩波动的大小关系即可； （2）①根据算术平均数的计算公式即可得； ②先求出的取值范围，再结合为整数求出的值，然后根据排序标准逐个分析即可． 【小问1详解】 解：①七年级参赛学生基础知识比赛成绩从小到大排序为， ∴其中位数； ②方法一：七年级基础知识比赛成绩的平均数为， ∴其方差． 方法二：从折线图可看出七年级成绩波动比八年级小，所以七年级成绩的方差更小，即． 【小问2详解】 解：①． ②由题意得：， 解得， ∵为整数， ∴或或， 当时，学生C成绩的平均数为， 方差为， 此时C会排在F后面，不符合题意，舍去； 当时，学生C成绩的平均数为， ∵， ∴此时后面三名学生的排序为B，C，F，符合题意； 当时，学生C成绩的平均数为， 方差为， ∴此时后面三名学生的排序为B，C，F，符合题意； 综上，表中所有可能的值为96，97． 24. 如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）过点作，交的延长线于点，交于点．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． ， ． ， ． ． ． 直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线、矩形的判定与性质、勾股定理以及三角函数： （1）连接，利用等边对等角和直角三角形性质，经角度代换算出，从而得出结论； （2）作于点，构造矩形和直角三角形，设，结合三角函数和已知条件求出长度，因，进而得到长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点． ，． ， ． ， ． ． 四边形是矩形． ． ， ． 设，则． ， ． ，． ． ， ． ． 在中，， ． ． 25. 小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 1 11 16 21 26 31 36 … 0.5 1.1 2.4 5.1 10.6 21.7 44 88.7 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示： （1）表中的值为________； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线； （3）根据以上信息，解决下列问题： ①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案________；（填写“一”“二”或“三”） ②可以推断，从第________天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 【答案】（1）6 （2） 解：如图，曲线即为所求； （3）①一；②9 【解析】 【分析】（1）由图象可得，是关于x的一次函数，然后由待定系数法求解函数解析式，即可求解； （2）描点、连线即可作图； （3）①分别计算三个方案前4天的投资总回报，再比较即可； ②先求出第八天的三个方案的投资总回报，再求出第九天的三个方案的投资总回报，进行比较即可． 【小问1详解】 解：由图象可得，是关于x的一次函数， ∴设解析式为 当， ∴ 解得 ∴， ∴当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①前4天方案一的投资总回报：（元）； 前4天方案二的投资总回报：（元）； 前4天方案三的投资总回报：（元）， 因为， 故选方案一； ②第八天，方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则方案一、方案二的投资总回报为（元）； 方案三的投资总回报为（元）， 此时； 第九天方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则第九天方案一、方案二的投资总回报为（元）； 对于方案三的数据，可发现后一天的数据大概是前一天数据的两倍，则第九天投资回报约为元， 那么第九天方案三的投资总回报约为（元）， 因为 故第九天开始选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若对于，，总有，同号，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式进行求解即可； （2）先推导出抛物线经过点，，，分类讨论：①若，②若，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：由可知，抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 解：，， ∴， ，即， 当时，， ∵，同号， ∴ ∴ ∵ ∴ 当时， ∵，同号， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴恒成立 综上所述，的取值范围是或． 27. 如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． （1）根据题意补全图形，并证明； （2）过点作直线的垂线，垂足为，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：补全的图形如图所示： 证明：线段绕点顺时针旋转得到线段，， ， ， 即． （2） 解：． 证明：如图，连接，作交的延长线于点． 根据题意可知，由（1）知， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，通过“同角减去公共角”证明两角相等； （2）通过两次证明全等和等腰三角形三线合一的性质，完成线段的等量代换，然后证明倍数关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为． （1）如图，． ①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为________； ②点，，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围； （2）已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值． 【答案】（1）①，；②或； （2）或，的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考察图形的旋转性质与点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系： 1．旋转的本质：线段绕点逆时针旋转得到．因为，故的长度恒为1， 2．“旋转线段”的判定：线段是点的旋转线段，等价于旋转后的线段与定圆（圆心，半径）有公共点． 问题转化：第（1）问：已知旋转后的位置，反推原线段的参数． 第（2）问：线段平行于轴且中点轨迹已知，转化为在直线上滑动．通过计算与圆相交的临界位置，确定参数的范围． 距离计算：利用勾股定理计算和，并根据的不同取值范围讨论（较小值）的最大值． 【小问1详解】 解：如图， 线段：端点和旋转后得、， ∵线段，故点在上，线段为点的旋转线段， 线段：端点和旋转后得、， ∵，∴点在上，线段为点的旋转线段， 线段：端点和旋转后得、， ∵，， ∴线段上的点到圆心的距离最小值为2，线段在圆外，线段不是点的旋转线段． ②∵，，， ∴， 线段绕点逆时针旋转．旋转后得，， ∴线段所在直线方程为， 如图： 点在圆上时，即， ∴， 解得：，， 点在圆上时，即， ∴， 解得：，， 结合图形可知： 当时，点在的下沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的下沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 当时，点在的上沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的上沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 综上所述：当或时，线段为点的旋转线段． 【小问2详解】 解：∵，线段平行于轴，中点为， 设点在点的左侧，则，， 线段绕点逆时针旋转．旋转后得，， 如图： ∴在直线上， 当在圆上时，，即，解得：，， 当在圆上时，，即，解得：，， 由图可知，当增大时，沿竖直方向向上平移， 当时，点在的下沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的下沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 当时，点在的上沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的上沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 综上所述：当或时，线段为点的旋转线段． ∵，， ①当时，，，即点在直线下方，点在直线上方，如图： 当垂直平分时，，取最大值为（或）， ∴，解得：， ， ②当时，，，即点、都在直线上方，如图： 此时， 当时，取最大值，最大为，即， ∵ ∴的最大值． 【点睛】这道题的核心在于理解“旋转线段”与“旋转距离”的定义，并将其转化为几何位置关系问题． 几何变换的代数化：旋转的坐标变换公式是解题关键（例如：点绕原点逆时针旋转变为，需结合平移处理）． 数形结合（临界法）：求解或的取值范围时，核心是找到临界状态（即线段的端点恰好落在圆上）． 分类讨论思想：在求的最大值时，需要根据相对于点的位置（即的大小）分情况讨论：跨越直线，或完全在直线同侧．最终通过比较得出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $